天津科技大学高等数学检测题一二答案docx.docx
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天津科技大学高等数学检测题一二答案docx
一、填空题
二、选择题
三、计算题
ln|y|=|ln(l+x2)+lnC1;\y\=C^l+x2,所以,y=C^l+x2(C=+C^.
2.
解:
分离变量心=妙,两端同时积分,有3"^
3,2_
e?
',所以旦二=Ce^(C=±e3G).
3+y
3.解:
也=(1—x)(l+y2),分离变量史上=(1_了)山;,两端同时积分,有dx1+y
1jr
arctany=x-—x2+C,"各尤=0,y=l代入得。
=言
]7C
所求特解为arctany=x-—x2+—.
四、解:
方程两边同时对x求导,有f(x)=-2V(x)-x2fV).分离变量为
齐草=(一」?
—2)dx,积分得通解ln|f(x)|=--21n|x|+C.
用x=l代入原式,得初始条件f(l)=l,再代入通解中,得C=-1,所以
--21n|x|-l1--1
/(x)=ex=—exx
一、填空题
1.x=e^<>)d>[j2(y)e^b)dJdy+C];2.1,0;
3.y=e-'(x+C):
4.y2=2x2(2+lnx):
5.y=2(e'-x-1).
二、选择题
1.(A);2.(B);3.(C);4.(A).
三、计算题
1.解:
方程写成—这是齐次方程,
AxXX
令”=’,则y=xu,—=侃+x—,代入原方程得
xdxdx
u+x—=uVau,分离变量——=—,两端同时积分,有
dxx
Cx+l
In|lnw-1|=In\x\+InCj,于是
]nu-l=Cx,即u=eCx+1(C=±CJ,通解为y=xe
2.
解:
方程写成y'--y=—,这是一阶线性方程,由通解公式,有xInx
J—-―Ax+。
)=x(ln|lnx|+C)
xInx]‘
由初始条件y(e)=0,得C=0,所求特解为y=iln|lnM.
四、解:
由已知,有-y'=三二飞,即y'—』=-1,这是一阶线性方程,
XX
当尤〉0时,通解为
dri
*dx+C)=x(C-j一)=x(C-Inx);
当x<0时,通解为
一、填空题
13
1.y=—x-sinx+Gx+Q;
61
2.y=x(lnx-1)+C{x+C2y=x\nx-^-Cix-\-C2;
3.y=Cyln|x|+C2;4.y=—In|cos(x+(?
!
)!
+C2;5.y=—x3H—x+1.
62
二、选择题
1.(A);2.(C);3.(D).
三、计算题
1.解:
设y'=p(x),则y"=p\x),方程变^j(l-x2)p,-xp=0,分离变量解
得,p=
iG,即y=业=/。
=,通解为v=C]arcsinx+C2.
Vl-x2dxV1-X2-
积分得,Inp+Iny=InG,即py=G,由初始条件知G=f,于是y'y=^x>
即ydy=?
,得|y2=|x+C,再由初始条件知C=:
特解为y2=x+i.
些-上+G,
XX
2.解:
设V=p(y),则y"=pp',方程变为yp+p2=0,即——二0,dypy
3.解:
方程两端同时积分,有y'==-牛+丁芝二-
Inx1
山y'(l)=0,得G=1,于是y'=l——-——;
xx
rInx1x,1]2]„
y=J
(1)dx=x—Inx—Inx+C2>
xx2
由y(l)=l,得。
2=0,所以特解为y=工一!
1112x—lnx.
一、填空题
1.y=CXcosca)c+C2sincox:
2.Q+C2e^x+ex:
3.y=-(^6'¥+Ce"'v)+ev.
x一
二、选择题
1.(C);2.(D).
三、计算题
1.解:
该方程是二阶齐次线性微分方程,设山=子,y2=x2lnx.
将力代入方程有2子—6尸+4》2=0,于是乂=子是方程的解;
将y2代入方程有x2(21nx+3)-3x(2xlnx+x)+4x2Inx=0,y2也是方程解.
又y2/Ji=Inx不恒为常数,于是力,光线性无关,
所以,y=Clx2+C2x2Inx,是方程x2y"-3xy'+=0的通解.
2,解:
将乂=y[=0,y'2=y"=e,代入方程y"-y'=0恒成立,又
yjy2=e-%不恒为常数,所以函数乂=1,y2=e"是齐次线性微分方程y"-y'=0的两个线性无关解.将(y*)'=a(x+l)e\(y*)"=a(x+2)e"代入方程y"-y'=e,有ae,=e",得a=l,所以非齐次线性微分方程y"-y'=ex的通解为y=G+C2ex+xe\
四、证明:
将y=:
2(了)一>13)代入y"+P(x)y'+0x)y=o
左式=[y;+P(x)y'2+Q(x)y2]-[yf+P(x)y\+Q(x)]
=f(x)-f(.r)=0=右式.
所以,函数y=无(x)-H(x)是齐次线性方程方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0的解.
一、填空题
1.y〃-5<+6y=0,y=C^-x+C2e3v;
2.y"+4y=0,y=C,cos2x+C2sin2x;
3.(Cj+C2x)e',y,,-2y,+y=0.
二、选择题
1.(C);2.(C).
三、计算题
1.解:
特征方程是r2-4r=0,特征根为匕=0,^=4,通解为)=。
1+。
2。
4'.
2.解:
特征方程是r2+6r+13=0,特征根为气2=-3±21,
通解为y=e~3x(C\cos2x+C2sin2x).
3.解:
特征方程是户+尸=0,特征根为“=0,尸2,3=±私
通解为y=G+cosx+C3sinx.
4.解:
特征方程是/_5,一36=0,特征根为,12=±2,乌4=±3,
通解为y=Cje3x+C2e~3x+C3cos2x+C4sin2x.
四、解:
特征方程是4r2+4r+l=0,特征根为r=-上(二重根),通解为
2
y=(G+C2x)e-?
'.将初始条件v(0)=2,矿(0)=0代入通解中可以得到
G=2,1?
=1,故特解为y=(2+x)e='.
五、解:
特征方程r2-4r+3=0,特征根=l,r2=3,通解为y=C,ex+C2e3x,由y(0)=2,y'(0)=l,得弓=:
。
2=一故所求积分曲线为y=:
W一
一、填空题
1.Axe~x;2.Ax+Bcos2x+Csin2x;3.x-2;4.—sinx.
2
二、选择题
1.(D);2.(B)・
三、计算题
1.解:
特征方程是/'2+4=0,特征根为小2=±2,,
齐次方程的通解为P=C;cos2x+C2sin2x,
设非齐次方程的一个特解为y*=A,
代入原方程可以求得,A=2,
故原方程的通解为y=Gcos2x+C2sin2x+2.
2.解:
特征方程是/'2_4r+4=0,特征根为*=「2=2,
对应齐次方程的通解为P=(G+C2x)e2x,
设非齐次方程的一个特解为y*=Ax2e2^,
代入原方程可以求得A=l,
故原方程的通解为y=(G+C2x)e2x+x2e2x.
3.解:
特征方程是r2-2r=0,特征根为/•】=0,r2=2,
对应齐次方程的通解为Y=Cl+C2e2x,
对方程y"-2y'=ex,设一个特解为y;=Ae",代入方程,有
—Aex=e",得=—1,于是y;=—e'.
对方程y"-2y'=-4x,设一个特解为y;=x(Bx+C)=Bx2+Cx,代入方程,有23—2C—4Bx=—4x,得B=C=1,于是y;=/+x.
所以,微分方程y"-2y'=e-4x的一个特解是y*=y;+y;=x2+x-e'v
故微分方程w—2y'=e,—4x的通解是y=Cx+C2e2v+x2+x-e\4.解:
特征方程是r2-l=O,特征根为*,2=±1,
对应齐次方程的通解为Y=Ge,+C2e-V,
设非齐次方程的一个特解为y*=x(Ax+B)e',
代入原方程可以求得A=1,B=,
故原方程的通解为y=C.e+C2e~x+x(x-l)ev,
y'=Ce,—C2e-'+(x2+x-l)e,,将初始条件y(0)=0,y'(0)=1代入上两
C.+Co=0,
1-得到
[G—g-i=i,|
故原方程的特解为y=eA-e-'+x(x-l)ev.
天津科技大学《高等数学》(五)检测题8-1答案
一、填空题
1.2a-14b+6c;2.+-(2,-1,2);3.3,
3333
4.2^2;5.,|z0|;
二、选择题
三、解答题
►►►►►**►►I*►
1.解:
由MN=MA+AB+BN,MN=MC+CD+DN,^MN=-(AB+CD),
而AB-(O,-6,—3)、而=(4,-2,1),于是MN=(2,-4,-1).
或由中点坐标公式,得M、N点坐标为M(l,5,5/2)、N(3,1,3/2)
于是MN=(,2,-4,-1).
2.解:
设e=(cosa,cosa,cos2tz),由cos2a+cos2a+cos22a=1,有2cos2«-sin22a=0,即cos2ar(l-2sin2a)=0,所以
a=—或a=生(a=色舍去),于是e=(0,0,—1)或e=寸2,o).
2442'2'
3.解:
山\ABf=6-+(-2)2+(-3)2=49,|AC|2=(-2)2+32+(-6)2=49,|bc|2=(-8)2+52+(—3)2=98,有|ab|=\ac\及|ab|2+|ac|2=|bc|2,所以,三角形ABC是等腰直角三角形.
天津科技大学《高等数学》(五)检测题8-2答案
一、填空题
1.2,(7,—4,—13);2.2,arccos-.—;
V21
3.k(l,1,-2)(上是任何实数);4.V26.
二、选择题
1.(A);2.(B);3.(C);4.(D).
三、解答题
1.解:
a-b=(m+2n)-(3m-n)=3lml2+5m-«-2|n|2
=3|刑②+5同.同cos。
一2同2=3+5-8=0.
2.解:
a-b=8,a-c=8,于是(a-&)c-(a-c)&=8(c-&)=-8j-24^;
1=-8z-5j+E,(axb)xc=-8
31
3.解:
|m|2=(a+b+c)-(a+b+c)
=鄙+时2+同2+2(a-b+a-c+b-c)=14,所以|m|=V14.
_a-u_a-a+a-b+a-c_1_1_V14
=丽==同=而=亍
天津科技大学《高等数学》(五)检测题8-3答案
一、填空题
1.(x—l)2+(y+l)2+(z—2)2=6;2.y2+z2=(l+x2)2,y=l+x2+z2;
3.x2-z2=l,Z,单叶旋转双曲面;4.圆锥面;
二、选择题
1.(B);2.(B);3.(C);4.(D).
天津科技大学《高等数学》(五)检测题8-4答案
一、填空题
1.3—f=i6;2.]2C=1,
[y=0;
3.x—y=0;4.x—2y+z=6;5.B=C=Q,A^Q.
二、选择题
1.(C);2.(C);
三、解答题
1.解:
取法向量-(-2,2-1)x(1,-3,2)=(1,3,4),
平面方程为(x—l)+3(y—0)+4(z—2)=0,即x+3y+4z=9.
2.解:
取法向量n=n1xAB=(l,1-1)x(1,1,1)=2(1,-1,0),
平面方程为3-1)一3—1)+O(z—1)=0,即X—y=0.
3.解:
设所求平面方程为三+工+旦=1,由到原点的距离是6,有ala3a
代入方程-+^+—-1并化简,得所求平面为6x+3y+2z=±42.ala3a
天津科技大学《高等数学》(五)检测题8-5答案
一、填空题
1.(1,—3,—5);2.==一;3.x=v=z;
3-24
4.N=H=W;5,0.
1-22
二、选择题
1.(D);2.(B).
三、解答题
1.解:
取孑=&X亓2=(1,1,-2)X(1,2,—1)=(3,-1,1),
所求直线方程为—=土2=—.3-11
2.解:
在直线上取一点M0(4,-3,0),并取所求平面的法向量为
n,=sxMM0-(5,2,1)x(1,-4,2)=(8,-9,-22),
所求平面方程为8(%-3)-9(y-1)-22(z+2)=0,即8x—9y—22z=59.
3.解:
设所求平面方程为x+2y—z—l+/U=0,将点M代入有3—4=0,
得4=3,于是所求方程为x+2y+2z=l.
x—1v—27—3
4.解:
设所求直线方程为"=匕上由与已知直线垂直,有
_i_?
7-3
m+〃+p=O①;又设与z轴交点为(0,0,z0),有一=——=—②,
mnp
X—1V—27—3
由①、②两式得〃=2mp=-3m,所求直线方程是一=—=12-3
天津科技大学《高等数学》
(五)检测题9-1答案
一、填空题
1.m2+2m,+y-1;2.|(x,y)|x2 3.((x,y)|x2+y2<1,x>0};4.((x,y)\y=±x}. 二、选择题 1.(B);2.(C);3.(D); 三、解答题 1.解: 令"=x+y,v=—.! UiJx=—^―,y=-^-.于是 X1+V"1+V "2(1—v) 1+V y(")=f(x+y,-)=x2-y2=(X 2. 解: f(tx,ty)=+( (2,2,1f2,2,1 x+y 手<或< y>x>0;y 于是,定义域为: D=((x,y)|(x2+y2<1,y>x>Q) 或(x2+y2<1,y>x>0)). 天津科技大学《高等数学》(五)检测题9-2答案 填空题 3. 4.1; 选择题 "如L.yf-y,yxl.yyy 2.解: ——=—sin——Vxcos—•(——)=—sincos—; dx2^1xxxx2』xxxy/xx W=-Lcos(2x—f);—=—=cos(2x-r). ar2dxdtdtdx 所以,+=—cos(2x—f)+cos(2x—f)=0. 天津科技大学《高等数学》(五)检测题9-3答案 一、填空题 1.-0.119,-0.125;2.(v+-)dx+.r(l-^r)dy; yy- 3.sec2r+r(21nr+1); 二、选择题 At-r11/27\/-0侃 解: 由〃=—zln(x+y),有一=2dx 山变量2的对称性,得R=产,;又票=lnj.『+y2. dyx+ydz 所以,du=严,dx+形dy+hiJ「2+)2也x+yx+y 4.解: 用代入法,z=arctanU+V,u-v dz_1(w-v)-(w+v)_v du]|(以+u)2(w-v)2u2+v2u-v 8z_1(z/-v)+(w+v)_u dv]|(H+u)2(u-v)2u2+v2 u-v 天津科技大学《高等数学》(五)检测题9-4答案 一、填空题 1Y 1.—2yf]'+xe%2.2矿J—cos—f;; '一yy a2』Z子 3.—e;4.;; x+zy(x+z) 二、选择题 1.(B);2.(A);3.(C). 三、解答题 1健■=y・广(子—=2xyf\x2-y2) .云―――f2(%2-/)' y2)+2y2f,(『_y2) 四一f\x2-y2) J_3z+£5z=M|f+2y2广=J_ xdxydyf2yf2y2' 2-解: -/=f;-y+f;-2x=yf;+2xf;. OX f-4=y(yfn+2xfn)+2f;+2x(yf;i+2xf"2) =y2fi"l+4xyf^+4x2f^+2f;. W=fi'+,(而一2成;)+2戒弗—2g)oxoy =W[+2(/—y2)f,_4wM+k. 即^xyz? +2^xyz=yz^-+xz.解得虫=岸切应E. dyoydyJx夹-yz 天津科技大学《高等数学》(五)检测题9-5答案 1.解: 以x为参数,于是2yy'(x)=4,2zz'(x)=—1,在点M(l,2,一1)处, y'⑴=1,z'⑴=1/2.取切线方向向量T=2(1,y'(l),z'(l))=(2,2,1), 切线方程为: 土1=虹2=土; 221 法平面方程为: 2(x—l)+2(y—2)+(z+l)=0,即2x+2y+Z=5. 2.解: 设切点为A/3o,yo,Zo),F(x,y,z)=2x2+4y2+z2-4, 取法向量万=? (玲,=|(4x0,8%,2z())=(2x0,4%,), 由切平面与已知平面平行,有艾=? =,,即了。 =2光,Zo=2y°, 代入椭球面方程,得为=±1/2,x0==±1, 切平面方程为: 2(x±l)+2(y±l/2)+(z±l)=0,即2x+2y+z±4=0. 3.解: 设所求点为A/3o,yo,Zo),则法向量万=(z;,z;"一1»=(为双0,—1),根据已知,有=号-,得x()=—3,=-1,z0=xoyo=3, 切平面方程为: (x+3)+3(y+1)+(z—3)=0,即尤+3y+z+3=0;法线方程为: 三U=y±l=w. 131 天津科技大学《高等数学》(五)检测题9-6答案 一、填空题 1-(2,-2),8;2.(-1,1),0;3..z(—,—)=—; 二、选择题 1.(A);2.(C)3.(C);4.(B); 三、解答题 1.解: 设两直角边分别为X、y,三角形面积为=,条件x2+y2=12. ^L(x,y)=xy+2(x2+y2-Z2),(0 直角二角形面积为A有最大值,于是在斜边长为Z的直角二角形中,以等边直角二 I2角形面积最大,最大面积为Amax=—. 2.解: 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z.则表面积 A=xy+2(x+y)z(.x>0,y>0,z>0).约束条件为xyz=V.设L(x,y,z)=xy+2(x+y)z+A(xyz-V),由 Lrx=y+2z+加=0, Lfy=x+2z+Axz=0, Lrz=2(x+y)+/bey=0,、W=V, 得惟一可疑点x=y=^V,z=|V2V.由实际意义,体积一定时,长方体表面积A有最小值.所以,当水箱的长、宽都为灯,高为**而时,最省材料. 3.解: 用z表示销售收入减去广告费用,则 z(x,y)=15+13x+3ly-Sxy-2x2-10y2,(x>0,y>0). f=13—8y-4尤=0, (1)山< zv(.r,y)=31-8x-20y=0, 得惟一驻点x=0.75(万元),y=1.25(万元). 由实际意义,z有最大值.于是,在不限定广告费用时,当报纸广 告费为0.75万元,电视广告费为1.25万元时,广告策略最优. (2)当广告费用限定为1.5万元时,即约束条件是x+y=1.5, 设L(x,y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2+2(x+y-1.5),山 L[(x,y)=13-8y-4x+2=0, x+y=1.5, 得惟一可疑点x=Q(万元),y=1.5(万元). 由实际意
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