人教版初二数学下册待定系数法确定一次函数的解析式.docx

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人教版初二数学下册待定系数法确定一次函数的解析式

一次函数第

课时

课题

待定系数法确定一次函数的解析式.

版本

人教版八年级下册

作者

王广学

工作单位

加乐中学

教材

分析

　学生通过画图接受一次函数图象是直线这一事实，在实践中体会“两点法”的简便作图法，借助直观的图形，来发现一次函数图象在直角坐标系中的位置与k、b的关系，向学生渗透数形结合的数学思想。

它既是正比例函数的图象和性质的拓展，又是后面学习“一次函数与方程、不等式”的基础，在本章中起着承上启下的作用。

学情

分析

学生初次接触函数知识，理解掌握有一定难度，认知上有困惑，特别是数形结合是学生初次接触，学习上有很大的困难，将数转化为形是学习的关键也是难点。

教学

目标

　1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式.

　2.了解两个条件确定一个一次函数的解析式,一个条件确定一个正比例函数的解析式.

　3.掌握一次函数的简单应用.

　1.经历用待定系数法求一次函数解析式的过程,提高研究数学问题的技能.

　2.能根据函数的图象确定一次函数的表达式,体验数形结合,具体感知数形结合思想在一次函数中的应用.

　能把实际问题抽象为数学问题,也能把所学的知识运用于实际,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类的历史发展作用.

教学重、难点

重点:

用待定系数法求一次函数解析式.

【难点】　能利用一次函数图象解决有关的实际问题.

教学设计思路

（一）教法：

1.自主探究新知，合作互动解疑：

通过学生描点作图发现问题、分析问题，并通过小组合作进一步归纳总结。

2.直观教学法：

利用多媒体展示来激发学生的学习兴趣，把抽象的知识直观展现，逐步把学生从感性认识引领到理性认识的思考。

（二）学法：

1.自主探究。

充分激发学生的主动意识和进取精神，倡导自主探究的学习方法。

2.合作探究。

让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，从而改变学生学习的方式，发展创新思维能力。

（三）教学程序：

1.提问复习，引入新知。

2.自主学习，合作探究。

3.当堂讲练，巩固新知。

4.课堂小结，反思提高。

教学环节

导入一:

问题1

　正比例函数y=kx（k≠0）解析式中,如果确定了k的值,正比例函数的解析式就确定了,那么必须知道什么样的条件?

　学生思考,讨论交流后总结方法:

　只需知道正比例函数的一对对应值或正比例函数图象上的一个点坐标代入解析式求出k的值.

　问题2

　一次函数关系式y=kx+b（k≠0）,如果知道了k与b的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件才能求出k和b呢?

　教师引导,若知道一次函数的一对对应值或一次函数图象上的一个点的坐标,可以求出k和b的值吗?

你觉得应该具备什么样的条件?

　学生思考,讨论交流.

　教师归纳总结:

只需知道一次函数的两对对应值或一次函数图象上的两个点坐标代入解析式,得到两个关于k,b的方程求出k,b的值.

导入二:

已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂质量是4千克的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式.

　教师引导思考:

这个问题中的不挂物体时弹簧的长度是6厘米和挂质量是4千克的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,与一次函数关系式中的x,y有什么关系?

　学生思考,讨论交流并回答:

　不挂物体时弹簧的长度是6厘米和挂质量是4千克的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,相当于知道了两对对应值:

当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.

　你将如何求出函数关系式?

　1.待定系数法的概念

　思路一

　提问:

已知一个一次函数当自变量x=-2时,函数值y=-1,当x=3时,y=-3.能否写出这个一次函数的解析式呢?

　学生先尝试解决,交流后,教师讲评.

　根据一次函数的定义,可以设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）,问题就归结为如何求出k与b的值.

　由已知条件x=-2时,y=-1,得-1=-2k+b;由已知条件x=3时,y=-3,得-3=3k+b.

　两个条件都要满足,即解关于k,b的二元一次方程组:

解得

　所以一次函数的解析式为y=-

x-

.

　教师根据以上过程,给出待定系数法的概念:

　像上述过程,先设出解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到解析式的方法,叫做待定系数法.

　探究:

求一次函数y=kx+b的解析式,需要具备几个条件才可以求出k和b的值?

　学生结合上述的解题过程,总结用待定系数法求一次函数解析式的具体方法:

　由于一次函数y=kx+b有k和b两个待定系数,因此用待定系数法时需要根据两个条件列关于k和b的二元一次方程组,解方程组后就能确定一次函数的解析式.

　思路二

　提问:

当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.你将如何求出上述问题中的函数关系式?

　学生独立完成后,交流展示:

　解:

设y与x的函数关系式为y=kx+b.

　所以

解得

　因此这个一次函数的解析式为y=0.3x+6.

　方法总结:

先设一次函数解析式,然后把两对对应值分别代入一次函数解析式,得到两个关于k,b的方程,构成方程组,解方程组求出k,b的值即可确定一次函数的解析式,这就是我们本节课要学习的求一次函数解析式的方法——待定系数法.

　2.用待定系数法求一次函数的解析式

　提问:

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤是怎样的?

　学生归纳:

（1）设出函数解析式的一般形式为y=kx+b.

（2）把自变量x与函数y的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.

　（3）解方程或方程组,求出待定系数的值.

　（4）写出所求函数的解析式.

　①已知一次函数的两对对应值,求一次函数解析式.

　（补充）已知一次函数y=kx+b,当x=5时,y=4,当x=-2时,y=-3,求这个一次函数的解析式.

　〔解析〕　由于一次函数y=kx+b有k和b两个待定系数,因此用待定系数法,把x=5时,y=4和x=-2时,y=-3分别代入函数解析式,得到两个关于k和b的二元一次方程组成的二元一次方程组.解方程组后就能确定一次函数的解析式.

　解:

由题意可知

解得

∴这个一次函数的解析式为y=x-1.

　②已知一次函数图象上的两个点的坐标,求一次函数的解析式.

　（教材例4）已知一次函数的图象过点（3,5）与（-4,-9）,求这个一次函数的解析式.

　〔解析〕　求一次函数y=kx+b的解析式,关键是求出k,b的值.因为图象过点（3,5）与（-4,-9）,所以这两个点的坐标适合解析式,从而得到关于k,b的二元一次方程组,解方程组求出k,b即可确定一次函数解析式.

　解:

设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）.

　因为y=kx+b的图象过点（3,5）与（-4,-9）,所以

　解方程组得

　所以这个一次函数的解析式为y=2x-1.

　③已知一次函数的图象,求一次函数的解析式.

　（补充）已知一次函数的图象如图所示,写出函数的解析式.

　讨论:

（1）根据图象你能得到哪些信息?

（2）你能找到确定一次函数解析式的条件吗?

　学生按要求通过讨论,可以发现:

（1）函数的图象是一条直线,因此该函数是一次函数,并且图象经过点（0,4）,（2,0）;

（2）一次函数y=kx+b,从“形”看,图象经过x轴上横坐标为2的点、y轴上纵坐标是4的点.从“数”看,坐标（2,0）,（0,4）满足解析式,可以得到关于k和b的二元一次方程组,解方程组求出k和b即可确定函数解析式.

　解:

设所求的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）.

　因为直线经过点（2,0）,（0,4）,

　所以把这两点坐标代入解析式,得

　解得

　所以所求的一次函数的解析式是y=-2x+4.

　思考:

前面我们学习了根据一次函数解析式画图象的方法,现在我们又学习根据一次函数的图象求一次函数的解析式,你认为两者有何关系?

　学生通过对比,交流讨论.

　师生整理归纳:

　已知一次函数的解析式画图象与已知一次函数的图象求解析式,二者的解题过程的关系如下:

函数解析式y=kx+b

满足条件的两定点（x1,y1）,（x2,y2）

一次函数的图象直线l

　3.解决与一次函数相关的实际问题

　（教材例5）“黄金1号”玉米种子的价格为5元∕kg,如果一次购买2kg以上的种子,超过2kg部分的种子价格打8折.

（1）填写下表:

购买量∕kg

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

…

付款金额∕元

…

（2）写出付款金额关于购买量的函数解析式,并画出函数图象.

　探究:

（1）付款金额与什么有关?

种子价格是固定的吗?

它与什么有关?

种子的价格是如何确定的?

（2）函数的图象是一条直线吗?

为什么?

　学生独立思考,交流讨论,总结:

（1）付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的,它与购买量有关.设购买种子数量为xkg,当0≤x≤2时,种子价格为5元/kg;当x>2时,其中有2kg种子按5元/kg计价,其余的（x-2）kg即超出2kg的部分种子按4元/kg（即8折）计价.因此,写函数解析式与画函数图象时,应对0≤x≤2和x>2分段讨论.

（2）在画实际问题中的一次函数图象时,要考虑自变量的取值范围,画出的图象往往不再是一条直线.

　学生完成解题过程,教师点评:

　解:

（1）

购买量∕kg

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

…

付款金额∕元

2.5

5

7.5

10

12

14

16

18

…

（2）设购买种子数量为xkg,付款金额为y元.

　当0≤x≤2时,y=5x;当x>2时,y=4（x-2）+10=4x+2.

　y与x的函数解析式也可合起来表示为y=

　函数图象如图所示.

　进一步引导学生根据函数图象思考:

（1）一次购买1.5kg种子,需付款多少元?

（2）一次购买3kg种子,需付款多少元?

　教师让学生思考后回答,并总结:

对于分段函数问题,特别要注意相应的自变量的变化区间.

　[知识拓展]　确定实际问题中的一次函数关系式时,首先要将实际问题转化为数学问题,即建立数学模型;其次是建立函数与自变量的关系式,要注意确定自变量的取值范围.

　师生共同回顾本节课所学的主要内容:

　1.求一次函数解析式的一般步骤有:

①设出一次函数解析式y=kx+b（k≠0）,②将两个点的坐标代入,得二元一次方程组,③解方程组求出k和b的值,④写出答案.

　2.一次函数解析式的确定通常有下列几种情况:

（1）利用待定系数法,根据两对x和y的值,列出方程组确定k,b的值,进而求出一次函数的解析式.

（2）根据图象上两点坐标求出一次函数的解析式.

　1.已知一次函数y=kx+b,当x=-4时y=9,当x=6时y=-1,则此函数的解析式为　　　　. 

　解析:

把x=-4,y=9和x=6,y=-1分别代入y=kx+b,得到关于k和b的二元一次方程组,解方程组求出k和b的值即可确定函数解析式.故填y=-x+5.

　2.一条平行于直线y=-3x的直线交x轴于点（2,0）,则该直线与y轴的交点是　　　　. 

　解析:

因为所求直线与直线y=-3x平行,所以可设直线的解析式为y=-3x+b,因为该直线与x轴交于点（2,0）,所以点（2,0）适合解析式,求出b的值即可确定直线解析式.再求当x=0时y的值,即可求出直线与y轴的交点坐标.故填（0,6）.

　3.如图所示,求直线AB对应的函数解析式.

　解:

设直线解析式为y=kx+b.

　因为直线过点（0,3）,（2,0）,所以

　解得

　所以一次函数解析式为y=-

x+3.

　4.如图所示,折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系的图象.根据图象,写出该函数的解析式.

　解:

根据图象可知:

当0≤x≤3时,y=7.当x>3时,设y与x的函数解析式为y=kx+b,因为直线y=kx+b经过点（3,7）,（8,14）,所以

解得

所以一次函数解析式为y=

x+

.故y与x的函数解析式合起来表示为y=

　第3课时

　1.待定系数法

　2.用待定系数法求一次函数的解析式

　例1　　例2　　例3

　3.与一次函数相关的实际问题

　例4

一、教材作业

【必做题】

　教材第95页练习第1,2题;教材第99页习题19.2第7,8题.

【选做题】

　教材第100页习题19.2第14题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.一次函数的图象经过点A（-2,-1）,且与直线y=2x-3平行,则此函数的解析式为　　（　　）

A.y=x+1　　B.y=2x+3

C.y=2x-1　　D.y=-2x-5

2.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（2,4）和点B（-2,-8）,这个一次函数的解析式为　　　　. 

3.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则它的函数关系式为　　　　. 

4.（2015·湖州中考）已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=-2时,y=-4.求这个一次函数的解析式.

【能力提升】

5.A（1,4）,B（2,m）,C（6,-1）在同一条直线上,则m的值为　　（　　）

A.2　　B.3　　C.4　　D.5

6.已知一条直线经过点A（0,6）,且平行于直线y=-2x+1.

（1）求这条直线的函数解析式;

（2）若这条直线经过点B（m,2）,求m的值.

7.已知一次函数的图象如图所示,求出它的函数关系式.

8.已知直线m与直线y=2x+1的交点的横坐标为2,与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1,求直线m的函数关系式.

9.（2015·益阳中考）如图所示,直线l上有一点P1（2,1）,将点P1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点P2,点P2恰好在直线l上.

（1）写出点P2的坐标;

（2）求直线l所表示的一次函数的表达式;

（3）若将点P2先向右平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点P3.请判断点P3是否在直线l上,并说明理由.

10.为缓解用电紧张的矛盾,某电力公司制定了新的用电收费标准,每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示,根据图象求y与x的关系式.

【拓展探究】

11.（2015·江西中考）甲、乙两人在100米直道AB上练习匀速往返跑,若甲、乙分别在A,B两端同时出发,分别到另一端点掉头,掉头时间不计,速度分别为5m/s和4m/s.

（1）在坐标系中,虚线表示乙离A端的距离s（单位:

m）与运动时间t（单位:

s）之间的函数图象（0≤t≤200）,请在同一坐标系中用实线画出甲离A端的距离s与运动时间t之间的函数图象（0≤t≤200）.

（2）根据

（1）中所画图象,完成下列表格:

两人相遇次数（单位:

次）

1

2

3

4

…

n

两人所跑路程之和（单位:

m）

100

300

…

（3）①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m内,s与t的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;②求甲、乙第6次相遇时t的值.

【答案与解析】

1.B（解析:

设此函数解析式为y=kx+b,因为与直线y=2x-3平行,所以k=2,因为直线经过A（-2,-1）,所以（-2,-1）满足解析式,求出b的值即可.）

2.y=3x-2（解析:

根据题意,可知（2,4）和（-2,-8）满足一次函数解析式y=kx+b,得到关于k和b的二元一次方程组,解方程组求出k和b即可确定函数解析式.）

3.y=

x-3（解析:

由图象可知点（2,0）,（0,-3）满足函数y=kx+b的解析式,可以得到关于k和b的方程组,解方程组求出k和b即可确定函数解析式.）

4.解:

设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）,将x=3,y=1和x=-2,y=-4分别代入y=kx+b,得

解这个方程组,得

∴所求一次函数的解析式为y=x-2.

5.B（解析:

设直线y=kx+b,由于直线经过点A（1,4）,C（6,-1）,因此（1,4）,（6,-1）满足解析式y=kx+b,得到关于k和b的二元一次方程组,解方程组求出k和b确定解析式,再求当x=2时y的值即求出m的值.）

6.解:

（1）因为直线平行于直线y=-2x+1,所以可设直线的解析式为y=-2x+b,由题意可知（0,6）满足y=-2x+b,得b=6.因此一次函数解析式为y=-2x+6.　

（2）把y=2代入y=-2x+6,得x=2.因此m=2.

7.解:

设直线解析式为y=kx+b.由图象可知点（-1,2）,（1,-4）满足y=kx+b,所以

解得

所以函数解析式为y=-3x-1.

8.解:

设直线m的解析式为y=kx+b.把x=2代入y=2x+1得y=5,则直线m与直线y=2x+1的交点为（2,5）;把y=1代入y=-x+2得x=1,则直线m与直线y=-x+2的交点为（1,1）.则（2,5）,（1,1）满足解析式y=kx+b,所以

解得

所以直线m的解析式为y=4x-3.

9.解:

（1）P2（3,3）.　

（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）,∵点P1（2,1）,P2（3,3）在直线l上,∴

解得

∴直线l所表示的一次函数的表达式为y=2x-3.　（3）点P3在直线l上.由题意知点P3的坐标为（6,9）,∵2×6-3=9,∴点P3在直线l上.

10.解:

设线段OA的解析式为y=kx,直线AB的解析式为y=ax+b,由题意得（50,25）满足y=kx,得k=

所以当0≤x≤50时,y与x的函数解析式为y=

x.由题意可知（50,25）,（100,70）满足y=ax+b,所以

解得

所以当x>50时,y与x的函数解析式为y=

x-20.

11.解:

（1）如下图:

（2）填表如下:

两人相遇次

数（单位:

次）

1

2

3

4

…

n

两人所跑路程

之和（单位:

m）

100

300

500

700

…

200n-100

（3）①s甲=5t（0≤t≤20）,s乙=-4t+100（0≤t≤25）.②由表格可得甲、乙两人第6次相遇时,他们所跑的路程之和为200×6-100=1100（m）,t=1100÷（5+4）=

（s）,∴第6次相遇时t=

s.

　本节课把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索、合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总结升华”为主线,使学生亲身体验一次函数特征的探索,培养学生的数形结合能力,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.

　在教学过程中,高估了学生对与一次函数相关的实际问题的理解能力,主要困难在于对一次函数的分段讨论理解不透彻,根据实际问题中自变量的取值范围画图象掌握不牢固.

握解决问题的方法.