故选:
B.
点评:
本题考查利用指数式和对数式的运算进行比较大小,考查运算求解能力,属于基础题.
4.已知椭圆的焦点为,.过点的直线与交于,两点.若的周长为8,则椭圆的标准方程为().
A.B.C.D.
答案:
C
首先根据椭圆的定义可得的周长为,求得,根据题中所给的焦点坐标,得到,根据椭圆中的关系求得,得到结果.
解:
根据椭圆的定义知的周长为,
∴,又,,∴,
∴椭圆的标准方程为.
点评:
该题考查的是有关椭圆的问题,涉及到的知识点有椭圆的定义,椭圆方程的求解,属于基础题目.
5.已知向量,是两个非零向量,且.则与的夹角为()
A.B.C.D.
答案:
D
将各项平方,再根据向量的夹角公式求解即可.
解:
设与的夹角为,由,得,
∴,
∴,∵,∴.
故选:
D
点评:
本题主要考查了根据平面向量的模长以及数量积求解夹角的问题,属于基础题.
6.已知正项等比数列的首项,前项和为.且,,成等差数列,则().
A.8B.C.16D.
答案:
A
由,,成等差数列可得,即,然后解出即可.
解:
设等比数列的公比为,因为,,成等差数列,
所以,所以
所以,即,解得或
因为,所以,所以
故选:
A
点评:
本题考查的是等差等比数列的基本运算,考查了学生的计算能力,较简单.
7.执行如图所示的程序框图,若输出的值为,那么判断框中应填入的关于的判断条件是()
A.B.C.D.
答案:
B
列出循环的每一步,结合循环的最后一步和倒数第二步可得出判断条件.
解:
第一次循环,判断条件不成立,,;
第二次循环,判断条件不成立,,;
第三次循环,判断条件不成立,,;
第四次循环,判断条件不成立,,.
判断条件成立,输出的值为.
由上可知,不满足判断条件,满足判断条件,符合条件的判断条件为.
故选:
B.
点评:
本题考查利用程序框图选择判断条件,一般要列举出算法的每一步,结合最后一次循环和倒数第二次循环来确定判断条件,考查推理能力,属于中等题.
8.我国著名数学家华罗庚先生曾说:
数缺形时少直观,形缺数时难人微,数形结合百般好,割裂分家万事休.在数学的学习和研究中.常用函数的图象研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数,的图象大致为().
A.B.
C.D.
答案:
B
由函数的解析式,,令时,求得,利用二次函数的性质,求得函数的最小值,结合选项,利用排除法,即可求解.
解:
由题意,函数,
当时,可得,排除C、D;
又由,
当时,函数取最小值,排除A.
故选:
B.
点评:
本题主要考查了函数图象的识别,其中解答中根据函数的解析式,合理赋值,以及结合二次函数的性质,利用排除法求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
9.希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是:
在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若和均是素数,素数对称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为()
A.B.C.D.
答案:
B
先分析20以内的素数,再分析其中孪生素数的对数,再分别求解所以可能的情况种数以及孪生素数的对数求概率即可.
解:
20以内的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从中任取两个共有种可能,其中构成孪生素数的有3和5,5和7,11和13共3对,
∴16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率.
故选:
B
点评:
本题主要考查了古典概型的问题,需要根据题意分析总的情况数以及满足条件的基本事件数.属于基础题.
10.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若对满足的,,有,则().
A.B.C.D.
答案:
B
由三角函数平移规则可得,所以,可得,,,,结合即可求出参数的值;
解:
解:
因为,
所以.因为,,所以和的值中,一个为1,另一个为,不妨取,,则,,,,,,得.
因为,所以,故当时,,则.
故选:
B
点评:
本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.
11.已知函数,其导函数为,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为()
A.(0,1)B.C.D.
答案:
C
求出,然后将条件可转化为对任意的恒成立,令,分和两种情况讨论,每种情况求出的单调性即可得出答案.
解:
由题意得,
所以对任意的恒成立等价于对任意的恒成立,
即对任意的恒成立.
令,则,
当时,,则在上单调递减,
所以,符合题意;
当时在上单调递减,在上单调递增,
所以,不合题意.
所以实数的取值范围为.
故选:
C
点评:
本题考查的是利用导数解决不等式恒成立问题,考查了学生的转化能力,属于中档题.
12.已知四边形是边长为5的菱形,对角线(如图1),现以为折痕将菱形折起,使点达到点的位置.棱,的中点分为,,且四面体的外接球球心落在四面体内部(如图2),则线段长度的取值范围为()
A.B.C.D.
答案:
A
由题意可知的外心在中线上,设过点的直线平面,同理,的外心在中线上.设过点的直线平面,由对称性易知直线,的交点在直线上.点为四面体的外接球球心,令,根据三角函数的定义可得,及,即可得解;
解:
解:
如图,由题意可知的外心在中线上,设过点的直线平面,易知平面,同理,的外心在中线上.设过点的直线平面,则平面.
由对称性易知直线,的交点在直线上.
根据外接球的性质,点为四面体的外接球球心.
易知,,而,,∴.
令,显然,∴.
∵,∴,又,
∴,即,
综上所述,.
故选:
A
点评:
本题考查立体几何中多面体的外接球的相关计算,三角函数的定义的应用,属于中档题.
二、填空题
13.已知等差数列的前项和为,,,则公差______.
答案:
1
将均化归到用表示,即可求得
解:
因为,则,得,
又,消去,得.
故答案为:
1
点评:
本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式,属于容易题.
14.已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为60°,若的面积为,则该圆锥的体积为______.
答案:
可设底面半径为,作出示意图,根据已知关系求出圆锥的底面半径和高,求得圆锥的体积.
解:
作示意图如图所示,设底面半径为,与圆锥底面所成角为60°,则,
则,又,所成角的余弦值为,
则,
则,解得,
故圆锥的体积为.
故答案为:
点评:
本题线面角的概念,三角形的面积公式和圆锥的体公式,属于容易题.
15.已知函数,若存在,,且,使得,则实数的取值范围为______.
答案:
先对讨论,作示意图后,容易得到符合题意,再对分析,可得到答案.
解:
当时,函数的示意图如图所示
可知在,必存在,,使;
当时,则,可知时存在,符合题意;
当时,则,即时,在附近,必存在,,使;
当时,,故示意图如图所示
故不存在,,且,使得,
综上可得.
故答案为:
点评:
本题考查了分段函数存在性问题,分类讨论、数形结合思想的应用,合理分类是解决问题的关键.
16.设,分别是双曲线:
的左、右焦点,点在此双曲线上,点到直线的距离为,则双曲线的离心率为______.
答案:
写出直线的方程,由点到直线距离公式可求得,然后把点坐标代入双曲线方程得关于的一个方程,结合可求得,从而可得离心率.
解:
依题意,,,即.
到距离,∴,
又,.∴,∴.
故答案为:
.
点评:
本题考查求双曲线的离心率,解题关键是求出,方法是直接法,由点到直线距离公式求得,代入双曲线上点的坐标得关于的方程,结合的值解得,则可计算离心率.
三、解答题
17.为了调查-款项链的销售数量(件)与销售利润(万元)之间的相关关系,某公司的市场专员作出调查并将结果统计如下表所示:
(件)
3
4
5
6
8
10
(万元)
3
2
4
6
7
8
(1)请根据上表数据计算,的线性回归方程;
(2)估计销售利润为10万元时,此款项链的销售数量是多少?
(结果保留两位小数)
(注:
)
答案:
(1)
(2)此款项链的销售数量万件
(1)根据题意分别计算与即可.
(2)由
(1)有,再代入求解即可.
解:
解:
(1)依题意,,.
,
∴;
故回归直线方程为.
(2)当时,解得,即销售利润为10万元时,此款项链的销售数量万件.
点评:
本题主要考查了线性回归方程的求解方法,需要根据题意分别计算对应的参数得出方程.同时也考查了根据回归方程的实际意义运用.属于基础题.
18.中,内角,,的对边分别是,,,,,.
(1)求的值;
(2)若为中点,求的长.
答案:
(1)3
(2)
(1)由求出,根据,并借助二倍角公式,求出,再利用正弦定理,即可得解;
(2)根据,并借助二倍角公式,求出,再利用三角形的内角和及两角和的余弦公式,求出,最后利用余弦定理,即可得解.
解:
(1),,
由,得,
,
由正弦定理,可得,
所以,的值为3.
(2),
,
在中,由余弦定理得
,
解得,
所以.
点评:
本题考查的是解三角形问题,涉及的知识点包括二倍角公式、两角和的余弦公式、正弦定理以及余弦定理,熟记公式并准确计算是解题关键,属于中档题.
19.如图,直棱柱中,底面是菱形,,点,是棱,的中点,,是棱,上的点,且.
(1)求证:
平面平面;
(2)求证:
平面.
答案:
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(1)由,证明平面,从而得面面垂直;
(2)取中点,上一点,,连接,,,证明则四边形为平行四边形,得与平行且相等,再由与平行且相等,得与平行且相等,得平行四边形,从而有,得证线面平行.
解:
证明:
(1)∵底面为菱形,∴.
又平面,平面,∴,,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
(2)取中点,上一点,,连接,,,则,∴四边形为平行四边形,∴.
又,四边形是平行四边形,∴,∴,四边形为平行四边形,∴,
∵平面,平面,∴平面.
点评:
本题考查证明面面垂直,证明线面平行,掌握面面垂直和线面平行的判定定理是解题关键,证明时定理的条件要一一列举出来.
20.已知定点(为正常数),为轴负半轴上的一个动点,动点满足,且线段的中点在轴上.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设为曲线的一条动弦(不垂直于轴).其垂直平分线与轴交于点.当