高考数学竞赛 平面向量教案讲义8.docx

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高考数学竞赛平面向量教案讲义8

2019-2020年高考数学竞赛平面向量教案讲义（8）

一、基础知识

定义1既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f

定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。

定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。

定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：

投影可能为负值）。

定理4平面向量的坐标运算：

若a=（x1,y1）,b=（x2,y2），

1．a+b=（x1+x2,y1+y2）,a-b=（x1-x2,y1-y2），

2λa=（λx1,λy1）,a·（b+c）=a·b+a·c，

3．a·b=x1x2+y1y2,cos（a,b）=（a,b0）,

4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.

定义5若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。

由此可得若P1，P，P2的坐标分别为（x1,y1）,（x,y）,（x2,y2），则

定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=（h,k）的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。

设p（x,y）是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。

定理5对于任意向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,|a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】因|a|2·|b|2-|a·b|2=-（x1x2+y1y2）2=（x1y2-x2y1）2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：

本定理的两个结论均可推广。

1）对n维向量，a=（x1,x2,…,xn），b=（y1,y2,…,yn），同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

（x1y1+x2y2+…+xnyn）2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：

本定理的两个结论均可推广。

1）对n维向量，a=（x1,x2,…,xn）,b=（y1,y2,…,yn），同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

（x1y1+x2y2+…+xnyn）2。

2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向与例题

1．向量定义和运算法则的运用。

例1设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：

例2给定△ABC，求证：

G是△ABC重心的充要条件是

例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

2．证利用定理2证明共线。

例4△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。

求证：

O，G，H为共线

，且OG：

GH=1：

2。

3．利用数量积证明垂直。

例5给定非零向量a,b.求证：

|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.

例6已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。

求证：

OECD。

4．向量的坐标运算。

例7已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：

AF=AE。

三、基础训练题

1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②（a·b）·c=（a·c）·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a,b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n；⑤若，且a,b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=（8,1）在b=（-3,4）上的投影为-4。

2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：

①；②；③；④与，相等的有__________.

3．已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0，则|x|+|y|=__________.

4．设s,t为非零实数，a,b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.

5．已知a,b不共线，=a+kb,=la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________条件.

6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且，BM与CN交于D，若，则λ=__________.

7．已知不共线，点C分所成的比为2，，则__________.

8．已知=b,a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.

9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=（1,-1）,若，c·b=4，则b的坐标为__________.

10．将向量a=（2,1）绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.

11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问与的夹角取何值时的值最大？

并求出这个最大值。

12．在四边形ABCD中，

，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题

1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足

则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。

2．在△ABC中，，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.

3．非零向量，若点B关于所在直线对称的点为B1，则=__________.

4．若O为△ABC的内心，且

，则△ABC的形状为__________.

5．设O点在△ABC内部，且，则△AOB与△AOC的面积比为__________.

6．P是△ABC所在平面上一点，若

，则P是△ABC的__________心.

7．已知

，则||的取值范围是__________.

8．已知a=（2,1）,b=（λ,1），若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.

9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为__________.

10．已知集合M={a|a=（1,2）+λ（3,4）,λ∈R}，集合N={a|a=（-2,-2）+λ（4,5）,λ∈R},mjMN=__________.

11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，

（1）求y=f（x）的解析式及定义域；

（2）求的取值范围。

12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得

成公差小于零的等差数列。

（1）试问点P的轨迹是什么？

（2）若点P坐标为（x0,y0）,为与的夹角，求tan.

五、联赛一试水平训练题

1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p,q满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.

2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a,b,c.O为平面内任意一点，则=___________（用a,b,c,x,y,z表示）.

3．已知平面上三个向量a,b,c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1（k∈R），则k的取值范围是___________.

4．平面内四点A，B，C，D满足

，则的取值有___________个.

5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则

取值的集合是___________.

6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC的角，若sinA·+sinB·+sinC·，则点O为△ABC的___________心.

7．对于非零向量a,b,“|a|=|b|”是“（a+b）（a-b）”的___________条件.

8．在△ABC中，，又（c·b）：

（b·a）：

（a·c）=1：

2：

3，则△ABC三边长之比|a|：

|b|：

|c|=____________.

9．已知P为△ABC内一点，且，CP交AB于D，求证：

10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令

，求证：

（1）2p=b+c-a；

（2）H为△O1O2O3的外心。

11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=（a1,a2）为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T（x）=-x+2（x·a）a（x∈V）确定，

（1）对于V的任意两个向量x,y,求证：

T（x）·T（y）=x·y；

（2）对于V的任意向量x，计算T[T（x）]-x；

（3）设u=（1,0）；，若，求a.

六、联赛二试水平训练题

1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？

证明你的结论。

2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：

AC=CN：

CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.

3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：

直线PQ与RS互相垂直。

4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：

HG。

5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？

6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的AiOAj，这里的i,j为1至n中不同的自然数，求证：

其中至少有n-1个不是锐角。

7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：

（1）OBDF，OCDE，

（2）OHMN。

8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作

，求证△ABC为正三角形。

9．在平面上给出和为的向量a,b,c,d，任何两个不共线，求证：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

2019-2020年高考数学竞赛排列组合与概率教案讲义（13）

一、基础知识

1．加法原理：

做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2乘法原理：

做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

3．排列与排列数：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n（n-1）…（n-m+1）=,其中m,n∈N,m≤n,

注：

一般地=1，0！

=1，=n!

。

4．N个不同元素的圆周排列数为=（n-1）!

。

5．组合与组合数：

一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示：

6．组合数的基本性质：

（1）；

（2）；（3）；（4）

；（5）

；（6）。

7．定理1：

不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。

[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。

反之B中每一个解（x1,x2,…,xn）,将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。

故定理得证。

推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为

推论2从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为

8．二项式定理：

若n∈N+,则（a+b）n=

.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。

9．随机事件：

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p（A）,0≤p（A）≤1.

10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p（A）=

11.互斥事件：

不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。

如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一个发生的概率为

p（A1+A2+…+An）=p（A1）+p（A2）+…+p（An）.

12．对立事件：

事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。

由定义知p（A）+p（）=1.

13．相互独立事件：

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

14．相互独立事件同时发生的概率：

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即p（A•B）=p（A）•p（B）.若事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p（A1•A2•…•An）=p（A1）•p（A2）•…•p（An）.

15.独立重复试验:

若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.

16.独立重复试验的概率:

如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn（k）=•pk（1-p）n-k.

17．离散型随机为量的分布列：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。

如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi（i=1,2,…）的概率p（ξ=xi）=pi，则称表

ξ

x1

x2

x3

…

xi

…

p

p1

p2

p3

…

pi

…

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=（x1-Eξ）2•p1+（x2-Eξ）2•p2+…+（xn-Eξ）2pn+…为ξ的均方差，简称方差。

叫随机变量ξ的标准差。

18．二项分布：

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p（ξ=k）=,ξ的分布列为

ξ

0

1

…

xi

…

N

p

…

…

此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B（n,p）.若ξ～B（n,p），则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.

19.几何分布：

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p（ξ=k）=qk-1p（k=1,2,…），ξ的分布服从几何分布，Eξ=，Dξ=（q=1-p）.

二、方法与例题

1．乘法原理。

例1有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？

2．加法原理。

例2没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？

3．插空法。

例310个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？

4．映射法。

例4如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：

a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？

5．贡献法。

例5已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。

6．容斥原理。

例6由数字1，2，3组成n位数（n≥3），且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：

这样的n位数有多少个？

7．递推方法。

例7用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：

能构造出多少个这样的n位数？

8．算两次。

例8m,n,r∈N+，证明：

①

9．母函数。

例9一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0。

从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：

每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为xx，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。

10．组合数的性质。

例10证明：

是奇数（k≥1）.

例11对n≥2,证明：

11．二项式定理的应用。

例12若n∈N,n≥2，求证：

例13证明：

12．概率问题的解法。

例14如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问：

恰好有k件是次品的概率是多少？

例15将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。

例16甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：

在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？

例17有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。

从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。

求：

（1）取出3张卡片都写0的概率；

（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。

三、基础训练题

1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。

2．在正xx边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。

3．用1，2，3，…，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。

4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。

5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。

6．今天是星期二，再过101000天是星期_________。

7．由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项。

8．如果凸n边形（n≥4）的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。

9．袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k（1≤k≤a+b）次取到黑球的概率为_________。

10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，…，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。

11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。

他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。

12．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。

13．a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式。

14．已知i,m,n是正整数，且1

证明：

（1）；

（2）（1+m）n>（1+n）m.

15.一项“过关游戏”规定：

在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关。

问：

（1）某人在这项游戏中最多能过几关？

（2）他连过前三关的概率是多少？

（注：

骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体）

四、高考水平训练题

1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。

2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。

3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。

4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。

5．一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n个车站（n>1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。

6．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。

7．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。

8．二项式（x-2）5的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。

9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？

（颠倒后相同的算同一种）

10．在1，2，…，xx中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。

11．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，…，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_________。

12．某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m（m≥n）名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。

13．某地现有耕地10000公顷