《91UP行测考点精讲》之整除问题.docx
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《91UP行测考点精讲》之整除问题
整除问题
知识框架
在公务员考试中,数的整除性质被广泛应用在运算里,同时在行程、工程等问题中,很多时候都需要用到整除性质。
整除问题一般只考两个方面,考生只需牢牢掌握这两个方面,便可轻松搞定这类问题。
核心点拨
1、题型简介
数的整除性质被广泛应用在数学运算里。
一般情况下题目会给出某个N位数能被M个数整除的已知条件,求解这个N位数。
2、核心知识
如果a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,称a能被b整除(或者说b能整除a)。
数a除以数b(b≠0),商是整数或者有限小数而没有余数,称a能被b除尽(或者说b能除尽a)。
整除是除尽的一种。
(1)整除的性质
A、如果数a和数b能同时被数c整除,那么a±b也能被数c整除。
如:
36,54能同时被9整除,则它们的和90、差18也能被9整除。
B、如果数a能同时被数b和数c整除,那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。
如:
63能同时被3、7整除,则63也能被3和7的最小公倍数21整除。
C、如果数a能被数b整除,c是任意整数,那么积ac也能被数b整除。
如:
58能被29整除,则58乘以任意整数的积,例如58×5,也能被29整除。
D、平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9。
E、若一个数能被两个互质数的积整除,那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
F、若一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(2)整除特征
表1常见数字整除的数字的特性表
特点
举例
被2整除的数字
末位数为0、2、4、6、8
2能被2整除,故422能被2整除
被3(或9)整除的数字
各位数字之和能被3(或9)整除
1+5+6=12能被3整除,
故156能被3整除
被4(或25)整除的数字
末两位数字能被4(或25)整除
48能被4整除,故348能被4整除
被8(或125)整除的数字
末三位数字能被8(或125)整除
544能被8整除,
故2544能被8整除
被5整除的数字
末位数字是0或5
0能被5整除,故430能被5整除
被7(或13)整除的数字
末三位与末三位之前的数字之
差能被7(或13)整除(对于
位数较多的数字,可反复使用)
322-14=308能被7整除,
故14322能被7整除
被11整除的数字
奇数位数字之和与偶数位数字
之和的差能被11整除。
(9+5)-(6+8)=0,能被11整除,
故9658能被11整除
被10n(n为正整数)
整除的数字
末n位数字为0
560能被10整除
被其他合数整除的数字
将该合数进行因数分解,
能同时被分解后的互质因数整除
被28整除的数字,
需同时被4和7整除。
3、核心知识使用详解
(1)三个连续的自然数之和(积)能被3整除。
(2)实际生活中很多事物的数量是以整数为基础来计量的,这一点在解题的过程中需要考生自己来发掘。
(3)1能整除任何整数,0能被任何非零整数整除。
夯实基础
1、整除的性质
例1:
(2010.浙江)
一个四位数“□□□□”分别能被15、12和10除尽,且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365,问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少?
A.17
B.16
C.15
D.14
【答案】C
【解析】[题钥]
“问四位数‘□□□□’中四个数字的和是多少?
”,要先求得这个四位数,而求这个数要根据“分别能被15、12和10除尽,且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365”,可设该数为x,列方程求解。
[解析]
设这个四位数为x,
根据题意列方程:
解得x=5460,
则这个四位数的四个数字之和为5+4+6+0=15。
因此,选C。
2、整除特征
例2:
六位数x2010y能被88整除,则x,y的取值是多少?
A.x-9,y=4
B.x=7,y=4
C.x=9,y=8
D.x=8,y=4
【答案】B
【解析】[题钥]
“六位数x2010y能被88整除”,能被88整除的数的特点不明显,故先将88分解为互质的两因数乘积88=8×11,则该六位数必能同时被8和11整除。
[解析]
能被8整除的数:
末三位数字能被8整除,
即10y能被8整除,
故y=4;
能被11整除的数:
奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,
奇数位数字之和-偶数位数字之和=x+0+0-(2+1+y)=x-y-3=x-4-3=x-7
要让x-7能被11整除,x=7;
因此,选B。
进阶训练
1.整除的性质
例3:
(2008.浙江)
在自然数1至50中,将所有不能被3除尽的数相加,所得的和是:
A.865
B.866
C.867
D.868
【答案】C
【解析】[题钥]
“在自然数1至50中,将所有不能被3除尽的数相加,”由于不能被3整除的数的规律不好找寻,所以可以考虑从“在自然数1至50中,能被3整除的数相加所得的和入手
[解析]
在自然数1至50中,能被3整除的数,即个位数字之和为3的倍数;
“在自然数1至50中,能被3整除的数”有3、6、9、12、15、18……故可以转化为首项为3,末项为48,项数为16,公差为3的等差数列;
在自然数1至50中,能被3整除的数的和——等差数列求和:
;
自然数1至50的和——等差数列求和:
;
在自然数1至50中,不能被3整除的数的和:
在自然数1至50中,不能被3整除的数的和
=自然数1至50的和-在自然数1至50中能被3整除的数的和
=
-
=
该值的尾数为7。
因此,选C。
例4:
(2007.国考)
有一食品店某天购进了6箱食品,分别装着饼干和面包,重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。
该店当天只卖出一箱面包,在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍,则当天食品店购进了()公斤面包。
A.44
B.45
C.50
D.52
【答案】D
【解析】[题钥]
“在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍”,可知,剩余5箱食品的重量能被3整除。
[解析]
6箱食品的总重量:
8+9+16+20+22+27=102,能被3整除;
卖出的一箱面包的重量:
由整除的性质(如果数a和数b能同时被数c整除,那么a±b也能被数c整除)可知,6箱食品的总重量,能被3整除,剩余5箱食品的重量能被3整除,卖出的一箱面包的重量必为3的倍数,
即卖出的一箱面包重量只能为9或27公斤;
剩下的食品重量:
剩下的食品重量为102-9=93或102-27=75公斤;
剩下的面包重量:
其中剩下的面包为93÷3=31或75÷3=25公斤;
面包的总重量:
则共有面包31+9=40或25+27=52公斤;
因此,选D。
2.整除特征
例5:
(2008.海南)
下列四个数都是六位数,X是比10小的自然数,Y是零,一定能同时被2、3、5整除的数是多少?
A.XYXYXY
B.XXXYXX
C.XYYXYY
D.XYYXYX
【答案】A
【解析】[题钥]
“一定能同时被2、3、5整除的数是多少?
”,该数能同时被2、3、5整除,则尾数只能为0,且各个位数之和应能被3整除。
[解析]
能被2整除的数:
末位数为0、2、4、6、8;
能被5整除的数:
末位数字是0或5;
故既能被2整除又能被5整除的数:
末位数字是0;
而根据题意,Y是零并且X和Y不能同时为零,则Y只能为尾数,
因此排除B、D;
能被3整除的数:
各个位数之和应能被3整除,A项的各位数之和为3X,一定能被3整除;
C项的各位数之和为2X,不一定能被3整除;
因此,选A。
例6:
一张旧发票上写有72瓶饮料,总价为x67.9y元,由于两头的数字模糊不清,分别用x、y表示,每瓶饮料的单价也看不清了,那么x=()。
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】[题钥]
“一张旧发票上写有72瓶饮料,总价为x67.9y元”,注意到x67.9y应该能被72整除。
故先将72分解为互质的两因数乘积72=8×9,则该数必能同时被8和9整除。
[解析]
能被8整除的数:
末三位数字能被8整除,
“79y”能被8整除,
求得,y=2;
能被9整除的数:
各位数字和能被9整除,
求得,x=3
所以,选C。
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