故a1=0,a2=1,a3=2,…,an=n-1.
5.(文)(2010·揭阳市模拟)某农场,可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物,且产品全部供应距农场d(km)(d<200km)的中心城市,其产销资料如表:
当距离d达到n(km)以上时,四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高.(经济效益=市场销售价值-生产成本-运输成本),则n的值为________.
作物
项目
水果
蔬菜
稻米
甘蔗
市场价格(元/kg)
8
3
2
1
生产成本(元/kg)
3
2
1
0.4
运输成本(元/kg·km)
0.06
0.02
0.01
0.01
单位面积相对产量(kg)
10
15
40
30
[答案] 50
[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4,则y1=50-0.6d,y2=15-0.3d,y3=40-0.4d,y4=18-0.3d,
由
⇒50≤d<200,故n=50.
(理)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.
[答案] -8
[解析] 解法1:
由已知,定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点,又f(x)在区间[0,2]上为增函数,所以方程f(x)=m(m>0)在区间[0,2]上有且只有一个根,不妨设为x1;
∵f(x1)=-f(-x1)=-[-f(-x1+4)]=f(-x1+4),∴-x1+4∈[2,4]也是一个根,记为x2,
∴x1+x2=4.
又∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴f(x)是周期为8的周期函数,
∴f(x1-8)=f(x1)=m,不妨将此根记为x3,
且x3=x1-8∈[-8,-6];同理可知x4=x2-8∈[-6,-4],
∴x1+x2+x3+x4=x1+x2+x1-8+x2-8=-8.
解法2:
∵f(x)为奇函数,且f(x-4)=-f(x),
∴f(x-4)=f(-x),以2-x代入x得:
f(-2-x)=f(-2+x)
∴f(x)的图象关于直线x=-2对称,
又f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于直线x=2也对称.
又f(x-8)=f((x-4)-4)=-f(x-4)=f(x),
∴f(x)的周期为8.
又在R上的奇函数f(x)有f(0)=0,f(x)在[0,2]上为增函数,方程f(x)=m,在[-8,8]上有四个不同的根x1、x2、x3、x4.
∴必在[-2,2]上有一实根,不妨设为x1,∵m>0,∴0≤x1≤2,∴四根中一对关于直线x=2对称一对关于直线x=-6对称,故x1+x2+x3+x4=2×2+2×(-6)=-8.
6.(文)某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元.每公斤原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需消耗原材料400公斤,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管).
(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少,并求出这个最小值.
[解析]
(1)每次购买原材料后,当天用掉的400公斤原材料不需要保管,第二天用掉的400公斤原材料需保管1天,第三天用掉的400公斤原材料需保管2天,第四天用掉的400公斤原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天.
∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为
y1=400×0.03[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x.
(2)由
(1)可知,购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+1.5×400x=6x2+594x+600(元),
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y=
+6x+594=2
+594=714.
当且仅当
=6x,即x=10时,取得等号.
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少,最少费用为714元.
(理)当前环境问题已成为问题关注的焦点,2009的哥本哈根世界气候大会召开后,为减少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程,原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,或者说非常小.请根据以下数据:
①当前汽油价格为2.8元/升,市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米;②当前液化气价格为3元/千克,一千克液化气平均可跑15~16千米;③一辆出租车日平均行程为200千米.
(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱);
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元,请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱.
[解析]
(1)设出租车行驶的时间为t天,所耗费的汽油费为W元,耗费的液化气费为P元,
由题意可知,W=
×2.8=
(t≥0且t∈N)
×3≤P≤
×3 (t≥0且t∈N),
即37.5t≤P≤40t.
又
>40t,即W>P,所以使用液化气比使用汽油省钱.
(2)①令37.5t+5000=
,解得t≈545.5,
又t≥0,t∈N,∴t=546.
②令40t+5000=
,解得t=750.
所以,若改装液化气设备,则当行驶天数t∈[546,750]时,省出的钱等于改装设备的钱.
7.(文)甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系:
x=2000
.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
(2)在乙方年产量为t吨时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?
[解析]
(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为:
w=2000
-st(t≥0)
因为w=2000
-st=-s(
-
)2+
,
所以当t=
2时,w取得最大值.
所以乙方取得最大利润的年产量t=
2吨
(2)设甲方净收入为v元,则v=st-0.002t2,
将t=
2代入上式,得到甲方纯收入v与赔付价格s之间的函数关系式:
v=
-
,
又v′=-
+
=
,
令v′=0得s=20.
当s<20时,v′>0;
当s>20时,v′<0.
所以s=20时,v取得最大值.
因此甲方向乙方要求赔付价格s=20(元/吨)时,获最大纯收入.
(理)(2010·济南一中)2009年,浙江吉利与褔特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议,吉利计划投资20亿美元来发展该品牌.据专家预测,从2009年起,沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2009年销售量为20000辆),销售利润每辆每年比上一年减少10%(2009年销售利润为2万美元/辆).
(1)第n年的销售利润为多少?
(2)求到2013年年底,浙江吉利能否实现盈利(即销售利润超过总投资,0.95≈0.59).
[解析]
(1)∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆,
∴沃尔沃汽车的销售量构成了首项为20000,公差为10000的等差数列{an}.
∴an=10000+10000n.
∵沃尔沃汽车的销售利润按照每辆每年比上一年减少10%,因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2,公比为1-10%的等比数列{bn}.∴bn=2×0.9n-1.
第n年的销售利润记为cn,则cn=an·bn=(10000+10000n)×2×0.9n-1.
(2)设到2013年年底,浙江吉利盈利为S,则
S=20000×2+30000×2×0.9+40000×2×0.92+50000×2×0.93+60000×2×0.94①
0.9S=20000×2×0.9+30000×2×0.92+40000×2×0.93+50000×2×0.94+60000×2×0.95②
①-②得,0.1S=20000×2+20000×(0.9+0.92+0.93+0.94)-60000×2×0.95,
解得S=10×(220000-320000×0.95)≈31.2×104>(20+1.5)×104.
所以到2013年年底,浙江吉利能实现盈利.
1.(2010·江苏南通九校)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则
+
的取值范围是( )
A.(3.5,+∞)B.(1,+∞)
C.(4,+∞)D.(4.5,+∞)
[答案] B
[分析] 欲求
+
的取值范围,很容易联想到基本不等式,于是需探讨m、n之间的关系,观察f(x)与g(x)的表达式,根据函数零点的意义,可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4的交点的横坐标,因为指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数,故其图象关于直线y=x对称,又因直线y=-x+4垂直于直线y=x,指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4的交点的横坐标之和是直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍,这样即可建立起m,n的数量关系式,进而利用基本不等式求解即可.
[解析] 令ax+x-4=0得ax=-x+4,令logax+x-4=0得logax=-x+4,
在同一坐标系中画出函数y=ax,y=logax,y=-x+4的图象,结合图形可知,n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍,由
,解得x=2,所以n+m=4,
因为(n+m)
=1+1+
+
≥4,又n≠m,故(n+m)
>4,则
+
>1.
2.(2011·温州十校模拟)已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( )
A.(0,2)B.(0,8)
C.(2,8)D.(-∞,0)
[答案] B
[解析] 当m≤0时,显然不合题意;当m>0时,f(0)=1>0,①若对称轴
≥0即0②若对称轴
<0,即m>4,只要Δ=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0即可,即4综上03.定义域为D的函数f(x)同时满足条件:
①常数a,b满足a
A.1对B.2对
C.3对D.4对
[答案] C
[分析] 由“k级矩形”函数的定义可知,f(x)=x3的定义区间为[a,b]时,值域为[a,b],可考虑应用f(x)的单调性解决.
[解析] ∵f(x)=x3在[a,b]上单调递增,
∴f(x)的值域为[a3,b3].
又∵f(x)=x3在[a,b]上为“1级矩形”函数,
∴
,解得
或
或
,
故满足条件的常数对共有3对.
[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型,它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力,而这恰是学生后续学习必须具备的能力,解决这类问题的关键是先仔细审题,弄清“定义”的含义,把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识.然后加以解决.
4.如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于x轴的直线l:
x=t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若函数y=f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是( )
[答案] C
[解析] A、B、D的面积都是随着t的增大而增长的速度越来越快,到t=
时,增长的速度又减慢,而C图则从t=
开始匀速增大与f(t)不符.
5.(2010·天津文,4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
[答案] C
[解析] ∵f(0)=-1<0,f
(1)=e-1>0,
即f(0)f
(1)<0,
∴由零点定理知,该函数在区间(0,1)内存在零点.
6.(2010·福建理,4)函数f(x)=
的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 令x2+2x-3=0得,x=-3或1
∵x≤0,∴x=-3,令-2+lnx=0得,lnx=2
∴x=e2>0,故函数f(x)有两个零点.
7.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0.
①有三个实根
②当x<-1时,恰有一实根
③当-1④当0⑤当x>1时,恰有一实根
正确的有________.
[答案] ①②
[解析] ∵f(-2)=-5.99<0,f(-1)=0.01>0,
即f(-2)·f(-1)<0,
∴在(-2,-1)内有一个实根,结合图象知,方程在(-∞,-1)上恰有一个实根.所以②正确.
又∵f(0)=0.01>0,结合图象知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根,所以③不正确.
又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,f
(1)>0.所以f(x)=0在(0.5,1)上必有一