用一元二次方程解决实际问题分层练习题应用题分类汇总.docx
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用一元二次方程解决实际问题分层练习题应用题分类汇总
用一元二次方程解决实际问题分层练习题(应用题分类汇总)
练习一:
传播问题、握手问题和数字问题
A基础题
知识点1 传播问题
1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后会有81台电脑被感染,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则x满足的方程是(B)
A.1+x2=81B.(1+x)2=81
C.1+x+x2=81D.1+x+(1+x)2=81
2.(大同一中期末)有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A)
A.1+x+x(1+x)=100B.x(1+x)=100
C.1+x+x2=100D.x2=100
3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支?
解:
设每个支干长出x个小分支,根据题意,得
1+x+x2=111.
解得x1=10,x2=-11(舍去).
答:
每个支干长出10个小分支.
知识点2 握手问题
4.新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡,则全组送贺卡共72张,此小组人数为(C)
A.7B.8C.9D.10
5.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?
学习以下解答过程,并完成填空.
解:
设应邀请x支球队参赛,则每队共打(x-1)场比赛,比赛总场数用代数式表示为
x(x-1).
根据题意,可列出方程
x(x-1)=28.
整理,得x2-x-56=0.
解得x1=8,x2=-7.
合乎实际意义的解为x=8.
答:
应邀请8支球队参赛.
6.一条直线上有n个点,共形成了45条线段,求n的值.
解:
由题意,得
n(n-1)=45.
解得n1=10,n2=-9(舍去).
答:
n等于10.
知识点3 数字问题
7.一个两位数,个位数字比十位数字少1,且个位数字与十位数字的乘积等于72,则这个两位数是98.
8.若两个连续整数的积是56,则它们的和是±15.
9.一个两位数,个位数字比十位数字大3,且个位数字的平方刚好等于这个两位数,求这个两位数是多少?
解:
设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x-3),由题意,得
x2=10(x-3)+x.
解得x1=6,x2=5.
当x=6时,x-3=3;
当x=5时,x-3=2.
答:
这个两位数是36或25.
B中档题
10.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有飞机场(B)
A.4个B.5个C.6个D.7个
11.在一次商品交易会上,参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同,会议结束后统计共签订了78份合同,问有多少家公司出席了这次交易会?
解:
设有x家公司出席了这次交易会,根据题意,得
x(x-1)=78.
解得x1=13,x2=-12(舍去).
答:
有13家公司出席了这次交易会.
12.如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和是多少?
解:
设最小数为x,则最大数为x+16,根据题意,得x(x+16)=192.
解得x1=8,x2=-24(舍去).
故这9个数为8,9,10,15,16,17,22,23,24.
所以这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
13.(襄阳中考)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
解:
(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人,则
1+x+x(x+1)=64.
解得x1=7,x2=-9(舍去).
答:
每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)64×7=448(人).
答:
第三轮将又有448人被传染.
C综合题
14.
(1)6位新同学参加夏令营,大家彼此握手,互相介绍自己,这6位同学共握手多少次?
小莉是这样思考的:
每一位同学要与其他5位同学握手5次,6位同学握手5×6=30次,但每两位同学握手2次,因此这6位同学共握手15次.依此类推,12位同学彼此握手,共握手66次;
(2)我们经常会遇到与上面类似的问题,如:
2条直线相交,最多只有1个交点;3条直线相交,最多有3个交点;…;求20条直线相交,最多有多少个交点?
(3)在上述问题中,分别把人、线看成是研究对象,两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系,要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数.它们都是满足一种相同的模型.请结合你学过的数学知识和生活经验,编制一个符合上述模型的问题;
(4)请运用解决上述问题的思想方法,探究一个多边形的对角线的条数可能为20条吗?
一个多边形的对角线的条数可能为28条吗?
解:
(2)每一条直线最多与其他19条直线相交,20条直线相交有20×19=380个交点,但每两条直线相交2次,因此这20条直线相交,最多有
=190个交点.
(3)答案不唯一,如:
现有12个乒乓球队参加乒乓球循环赛(每个队都要与其他队比赛1场),共需比赛多少场?
(4)若这个n边形的对角线条数为20条,则有
=20.
解得n1=8,n2=-5(舍去).
故一个多边形的对角线的条数可能是20条.
若这个n边形的对角线条数为28条,则有
=28.
整理,得n2-3n-56=0.
因为Δ=32+4×1×56=233,
所以n=
.
因为
为无理数,而对角线的条数是有理数,
所以不存在一个多边形的对角线的条数为28条.
练习二 增长率问题
A基础题
知识点1 平均变化率问题
1.(安徽中考)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足(D)
A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16
C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16
2.(阳泉市平定县月考)共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放1000辆单车,计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,则所列方程正确的为(A)
A.1000(1+x)2=1000+440B.1000(1+x)2=440
C.440(1+x)2=1000D.1000(1+2x)=1000+440
3.(巴中中考)巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于有关部门关于房地产的新政策出台后,部分购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同,求平均每次下调的百分率.
解:
设平均每次下调的百分率为x,根据题意,得
5000(1-x)2=4050.
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).
答:
平均每次下调的百分率为10%.
4.(广东中考)某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
解:
设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x,根据题意,得
400×(1+10%)(1+x)2=633.6.
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:
3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.
知识点2 市场经济问题
5.(泰安中考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?
设每盆多植x株,则可以列出的方程是(A)
A.(3+x)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=15
6.(达州中考)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经调査,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,则每件童装应降价多少元?
设每件童装应降价x元,可列方程为(40-x)(20+2x)=1__200.
7.某商店从厂家以21元/件的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖(350-10a)件,但物价局限定每件加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?
每件商品的售价为多少元?
解:
由题意,得(a-21)(350-10a)=400,
解得a1=25,a2=31.
∵物价局限定每件加价不能超过进价的20%,
∴每件商品的售价不超过25.2元.
∴a=31不合题意,舍去.
∴350-10a=350-10×25=100.
答:
需要卖出100件商品,每件商品的售价为25元.
B中档题
8.(黔西南中考)某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个,如果每月的增长率x相同,那么(C)
A.50(1+x2)=196B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
9.(兰州中考)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是(B)
A.(1+x)2=
B.(1+x)2=
C.1+2x=
D.1+2x=
10.据报道,某省农作物秸秆的资源巨大,但合理利用量十分有限,2015年的利用率只有30%,大部分秸秆被直接焚烧了,假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使2017年的利用率提高到60%,求每年的增长率.(取
≈1.41)
解:
设该省每年产出的农作物秸秆总量为1,合理利用量的增长率为x,由题意,得
1×30%·(1+x)2=1×60%.
解得x1≈0.41=41%,x2≈-2.41(不合题意,舍去).
答:
该省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%.
11.(菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具,按照控制固定成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时售出,据市场调查:
每个玩具按480元销售时,每天可销售160个;若销售单价每降低1元,每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元,问这种玩具的销售单价为多少元时,厂家每天可获利润20000元?
解:
设销售单价为x元,由题意,得
(x-360)[160+2(480-x)]=20000.
整理,得x2-920x+211600=0.
解得x1=x2=460.
答:
这种玩具的销售单价为460元时,厂家每天可获利润20000元.
12.一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买一批树苗,园林公司规定:
如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗?
解:
∵60棵树苗售价为120×60=7200(元)<8800元,
∴该校购买树苗超过60棵.
设该校共购买了x棵树苗,由题意,得
x[120-0.5(x-60)]=8800,
解得x1=220,x2=80.
当x=220时,120-0.5×(220-60)=40(元)<100元,舍去.
当x=80时,120-0.5×(80-60)=110(元)>100元,
∴x=80.
答:
该校共购买了80棵树苗.
C综合题
13.(常德中考)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分,下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话.
请问:
(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少?
(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包?
解:
(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x,依题意,得
400(1+x)2=484.
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:
2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%.
(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元,依题意,得
2y+34+y=484,解得y=150.
所以484-150=334(元).
答:
甜甜在2017年六一收到微信红包为150元,她妹妹收到微信红包为334元.
练习三 几何图形问题
A基础题
知识点1 一般图形的问题
1.(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(B)
A.x(x-10)=900B.x(x+10)=900
C.10(x+10)=900D.2[x+(x+10)]=900
2.(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是(B)
A.100m2B.64m2
C.121m2D.144m2
3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm,面积是7cm2,则它的两条直角边长分别为2__cm,7__cm.
4.(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是12m.
5.(深圳中考)一个矩形周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时,长、宽分别为多少?
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗?
请说明理由.
解:
(1)设矩形的长为x厘米,则宽为(28-x)厘米,依题意,有
x(28-x)=180.
解得x1=10(舍去),x2=18.
则28-x=28-18=10.
答:
长为18厘米,宽为10厘米.
(2)设矩形的长为y厘米,则宽为(28-y)厘米,依题意,有
y(28-y)=200.
化简,得y2-28y+200=0.
∴Δ=282-4×200=784-800=-16<0.
∴原方程无实数根.
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形.
知识点2 边框与甬道问题
6.(兰州中考)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长,设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为(C)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18
D.x2+3x+16=0
7.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644平方米,则道路的宽应为多少米?
设道路的宽为x米,则可列方程为(C)
A.100×80-100x-80x=7644
B.(100-x)(80-x)+x2=7644
C.(100-x)(80-x)=7644
D.100x+80x=356
8.如图所示,相框长为10cm,宽为6cm,内有宽度相同的边缘木板,里面用来夹相片的面积为32cm2,则相框的边缘宽为多少厘米?
解:
设相框的边缘宽为xcm,根据题意,得(10-2x)(6-2x)=32.
整理,得x2-8x+7=0,
解得x1=1,x2=7.
当x=7时,6-2×7=-8<0,不合题意,舍去.
答:
相框的边缘宽为1cm.
易错点 忽视根的合理性,忘记验根
9.(大同一中期末)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
解:
设AB=x,则BC=100-4x(BC≤25).
根据题意,得x(100-4x)=400,
解得x1=5,x2=20.
当x=5时,100-4x=80,不满足BC≤25,不合题意,舍去;
当x=20时,100-4x=20.
所以AB为20米,BC为20米.
B中档题
10.(高平特力期中)如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是(A)
A.(32-2x)(20-x)=570
B.32x+2×20x=32×20-570
C.(32-x)(20-x)=32×20-570
D.32x+2×20x-2x2=570
11.(襄汾期末)如图,在长为70m,宽为40m的长方形花园中,欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示),要使观赏路面积占总面积的
,则路宽x应满足的方程是(C)
A.(40-x)(70-x)=2450
B.(40-x)(70-x)=350
C.(40-2x)(70-3x)=2450
D.(40-2x)(70-3x)=350
12.在一幅长50cm,宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个矩形挂图的面积是1800cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程为x2+40x-75=0.
13.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1.在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是288m2?
解:
设矩形温室的宽为xm,则长为2xm.根据题意,得
(x-2)(2x-4)=288.
解得x1=-10(不合题意,舍去),x2=14.
所以2x=2×14=28.
答:
当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288m2.
C综合题
14.已知,如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5cm?
(3)在问题
(1)中,△PBQ的面积能否等于7cm2?
说明理由.
解:
(1)设x秒后,△PBQ的面积等于4cm2.根据题意,得
x(5-x)=4.
解得x1=1,x2=4.
∵当x=4时,2x=8>7,不合题意,舍去.
∴x=1.
答:
1s后,△PBQ的面积等于4cm2.
(2)设y秒后,PQ=5cm,则
(5-y)2+(2y)2=25.
解得y1=0(舍去),y2=2.
∴y=2.
答:
2s后,PQ的长度等于5cm.
(3)设a秒后,△PBQ的面积等于7cm2.根据题意,得
a(5-a)=7.
此方程无解.
∴△PBQ的面积不能等于7cm2.
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