高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件教学案新人教A版.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件教学案新人教A版
1.2充分条件与必要条件
[核心必知]
1.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材P9~P11的内容,回答下列问题.
(1)判断教材P9上方的两个命题的真假,并思考:
①当x>a2+b2成立时,一定有x>2ab成立吗?
提示:
一定有x>2ab成立.
②当ab=0成立时,一定有a=0成立吗?
提示:
不一定,也可能b=0.
(2)阅读教材P11“思考”的内容,并思考:
①若p成立,一定有q成立吗?
提示:
一定有q成立.
②若q成立,一定有p成立吗?
提示:
一定有p成立.
2.归纳总结,核心必记
(1)充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
推出关系
p⇒q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
(2)充要条件
一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.
[问题思考]
(1)x>3是x>5的充分条件吗?
提示:
不是.因为x>3
x>5,但x>5⇒x>3,因此x>3是x>5的必要条件.
(2)如果p是q的充分条件,则p是唯一的吗?
提示:
不唯一,如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.
(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则A与B的关系怎样?
提示:
A=B.
[课前反思]
(1)充分条件的定义是:
;
(2)必要条件的定义是:
;
(3)充要条件的定义是:
.
[思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p,则q”、“若q,则p”的真假性有什么关系?
名师指津:
当命题“若p,则q”为真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件;当命题“若q,则p”为真命题时,q是p的充分条件,p是q的必要条件;当上述两个命题都是真命题时,p是q的充要条件.
讲一讲
1.判断下列各题中p是q的什么条件.
(1)在△ABC中,p:
A>B,q:
BC>AC;
(2)p:
x>1,q:
x2>1;
(3)p:
(a-2)(a-3)=0,q:
a=3;
(4)p:
a
<1.
[尝试解答]
(1)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC;反之,若BC>AC,则A>B.因此,p是q的充要条件.
(2)由x>1可以推出x2>1;由x2>1,得x<-1,或x>1,不一定有x>1.因此,p是q的充分不必要条件.
(3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件.
(4)由于a
>1;当b>0时,
<1,故若a
<1;当a>0,b>0,
<1时,可以推出a
<1时,可以推出a>b.因此p是q的既不充分也不必要条件.
充分、必要条件的判断方法
判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件,同时要注意反证法的运用.
练一练
1.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.
(1)p:
四边形的对角线相等,q:
四边形是平行四边形;
(2)p:
(x-1)2+(y-2)2=0,q:
(x-1)(y-2)=0.
解:
(1)∵四边形的对角线相等
四边形是平行四边形,四边形是平行四边形
四边形的对角线相等,
∴p是q的既不充分也不必要条件.
(2)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)·(y-2)=0,
而(x-1)(y-2)=0
(x-1)2+(y-2)2=0,
∴p是q的充分不必要条件.
[思考] 如何证明“p是q的充要条件”?
名师指津:
证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p,则q”和“若q,则p”都是真命题.
讲一讲
2.证明:
a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0垂直的充要条件.
[尝试解答]
(1)(充分性)当b=0时,如果a+2b=0,那么a=0,此时直线ax+2y+3=0平行于x轴,直线x+by+2=0平行于y轴,它们互相垂直.
当b≠0时,直线ax+2y+3=0的斜率k1=-
,直线x+by+2=0的斜率k2=-
,若a+2b=0,则k1·k2=
·
=-1,两直线垂直.
(2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在,则k1·k2=
·
=-1,所以a+2b=0.
若两直线中直线的斜率不存在,且互相垂直,则b=0,且a=0,所以a+2b=0.
综上,“a+2b=0”是“直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直”的充要条件.
一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.
练一练
2.求证:
关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明:
(充分性):
因为a+b+c=0,
所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-a-b=0,
即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
(必要性):
因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.
所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
已知p:
A={x|p(x)成立},q:
B={x|q(x)成立}.
[思考1] 若p是q的充分条件,则A与B有什么关系?
名师指津:
A⊆B.
[思考2] 若p是q的充分不必要条件,则A与B有什么关系?
名师指津:
A
B.
[思考3] 若p是q的充要条件,则A与B有什么关系?
名师指津:
A=B.
[思考4] 若p是q的既不充分也不必要条件,则A与B有什么关系?
名师指津:
B
A,且A
B.
讲一讲
3.已知p:
-2≤x≤10,q:
1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
[尝试解答] p:
-2≤x≤10,q:
1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}
{x|-2≤x≤10},
故有
或
解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,可以先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解. 练一练 3.若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解: p: -2≤x≤10,q: 1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件, 设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以A B. 所以 或 解不等式组得m>9或m≥9,所以m≥9, 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 4.本讲中p、q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件? 解: 因为p: -2≤x≤10,q: 1-m≤x≤1+m(m>0). 若p是q的充要条件,则 方程组无解. 故不存在实数m,使得p是q的充要条件. —————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————— 1.本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断,难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围. 2.本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误,见讲1和讲3. 3.本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断充分条件与必要条件的方法,见讲1. (2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 若A⊆B,则p是q的充分条件,若A B, 则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件,若B A, 则p是q的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 若A⊆B,且B⊆A,则p既不是q的充分条件, 也不是q的必要条件 其中p: A={x|p(x)成立},q: B={x|q(x)成立}. 4.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,见讲3. 课时达标训练(三) [即时达标对点练] 题组1 充分、必要条件的判断 1.“数列{an}为等比数列”是“an=3n(n∈N*)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 选B 当an=3n时,{an}一定为等比数列,但当{an}为等比数列时,不一定有an=3n,故应为必要不充分条件. 2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 选A 由a+b=0可知a,b是相反向量,它们一定平行;但当a∥b时,不一定有a+b=0,故应为充分不必要条件. 3.“实数a=0”是“直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 选C 当a=0时,两直线方程分别为x=1和2x=1,显然两直线平行;反之,若两直线平行,必有1×(-2a)=(-2a)×2,解得a=0,故应为充要条件. 4.“sinA= ”是“A= ”的__________条件. 解析: 由sinA= 不一定能推得A= ,例如A= 等;但由A= 一定可推得sinA= ,所以“sinA= ”是“A= ”的必要不充分条件. 答案: 必要不充分 题组2 充要条件的证明 5.函数y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是 ( )
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