步步高 通用理届高三二轮专题突破 专题五 第3讲.docx
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步步高通用理届高三二轮专题突破专题五第3讲
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点,若在客观题中出现通常用定义法,若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第
(1)问中.
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法:
将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法:
将直线方程与双曲线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
①若a≠0,当Δ>0时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当Δ<0时,直线与双曲线相离.
②若a=0时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法:
将直线方程与抛物线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
①当a≠0时,用Δ判定,方法同上.
②当a=0时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.
2.有关弦长问题
有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=|x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:
|x2-x1|=,
|y2-y1|=.
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式).
3.弦的中点问题
有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.
4.轨迹方程问题
(1)求轨迹方程的基本步骤:
①建立适当的平面直角坐标系,设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法).
②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系.
③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化.
④化简整理方程——简化.
⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性.
(2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:
将几何关系直接翻译成代数方程;
②定义法:
满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程;
③代入法:
把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系;
④交轨法:
写出两条动直线的方程直接消参,求得两条动直线交点的轨迹;
(3)注意①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形,而轨迹方程则是代数表达式.步骤②⑤省略后,验证时常用途径:
化简是否同解变形,是否满足题意,验证特殊点是否成立等.
考点一 求轨迹方程
例1
(2013·辽宁)
如图,抛物线C1:
x2=4y,C2:
x2=-2py(p>0).点M(x0,
y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,
A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.
(1)求p的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
解
(1)因为抛物线C1:
x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为,故切线MA的方程为y=-(x+1)+.
因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是
y0=-(2-)+=-,①
y0=-=-.②
由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A,B(x2,),x1≠x2,
由N为线段AB中点知
x=,③
y=.④
切线MA、MB的方程分别为
y=(x-x1)+.⑤
y=(x-x2)+.⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为
x0=,y0=.
因为点M(x0,y0)在C2上,即x=-4y0,
所以x1x2=-.⑦
由③④⑦得x2=y,x≠0.
当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.
因此AB中点N的轨迹方程为
x2=y.
(1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为圆锥曲线,则可考虑用定义法或待定系数法求解.
(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时,可以用相关点法,利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面:
一是准确定位,即确定联动点,动点的轨迹可能与多个动点相关,但要抓住与其一起联动的点;二是找准关系,即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系,然后代入联动点所在曲线方程求解.
设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且=2,⊥.
(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C上的点,且||,||,||成等差数列,当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时,求B点坐标.
解
(1)设N(x,y),则由=2,得P为MN的中点,所以M(-x,0),P(0,).
又⊥得·=0,=(-x,-),
=(1,-),所以y2=4x(x≠0).
(2)由
(1)知F(1,0)为曲线C的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点P0(x0,y0)到F的距离等于其到准线的距离,即|P0F|=x0+,
所以||=x1+,||=x2+,||=x3+,
根据||,||,||成等差数列,得x1+x3=2x2,
直线AD的斜率为==,
所以AD中垂线方程为y=-(x-3),
又AD中点(,)在直线上,代入上式得=1,
即x2=1,所以点B(1,±2).
考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题
例2
已知椭圆C:
+=1经过点(0,),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点,点A、F、B在直线x=4上的射影依次为D、K、E.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l交y轴于点M,且=λ,=μ,当直线l的倾斜角变化时,探求λ+μ的值是否为定值?
若是,求出λ+μ的值;否则,说明理由;
(3)连接AE、BD,试探索当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD是否相交于定点?
若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.
(1)待定系数法;
(2)用直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y后可得点A,B的横坐标的关系式,然后根据向量关系式=λ,=μ把λ,μ用点A,B的横坐标表示出来,只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值,否则就不是定值;(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况,看两条直线AE,BD的交点坐标,如果直线AE,BD相交于定点的话,这个特殊位置时的交点就是这个定点,这样只要证明直线AE,BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点,否则两直线就不相交于定点.
解
(1)依题意得b=,e==,a2=b2+c2,
∴a=2,c=1,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)因直线l与y轴相交,故斜率存在,设直线l方程为
y=k(x-1),求得l与y轴交于M(0,-k),
又F坐标为(1,0),设l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
又由=λ,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),
∴λ=,同理μ=,
∴λ+μ=+=
==-.
所以当直线l的倾斜角变化时,直线λ+μ的值为定值-.
(3)当直线l斜率不存在时,直线l⊥x轴,则ABED为矩形,由对称性知,AE与BD相交于FK的中点N,
猜想,当直线l的倾斜角变化时,
AE与BD相交于定点N,
证明:
由
(2)知A(x1,y1),B(x2,y2),
∴D(4,y1),E(4,y2),当直线l的倾斜角变化时,首先证直线
AE过定点,
∵lAE:
y-y2=(x-4),
当x=时,y=y2+·
=
=
=
==0.
∴点N在直线lAE上.
同理可证,点N也在直线lBD上.
∴当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD相交于定点.
(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.
(2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:
y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:
y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明:
直线l过定点.
(1)解 如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中
点,
∴|O1M|=,
又|O1A|=,
∴=,
化简得y2=8x(x≠0).
又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
(2)证明 由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
将y=kx+b代入y2=8x中,
得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.
其中Δ=-32kb+64>0.
由根与系数的关系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以=-,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③
将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此时Δ>0,
∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).
考点三 圆锥曲线中的最值范围问题
例3
(2013·浙江)如图,点
P(0,-1)是椭圆C1:
+=1(a>b>0)
的一个顶点,C1的长轴是圆C2:
x2+y2=4的直径.l1,l2是过点
P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭
圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
解
(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)
设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,
则直线l1的方程为y=kx-1.
又圆C2:
x2+y2=4,
故点O到直线l1的距离
d=,
所以|AB|=2=2.
又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.
由
消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,
故x0=-.
所以|PD|=.
设△ABD的面积为S,则S=·|AB|·|PD|
=,
所以S=≤
=,
当且仅当k=±时取等号.
所以所求直线l1的方程为y=±x-1.
求最值及参数范围的方法有两种:
①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;②由题目条件和结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域.
已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O,从每条曲线上的各取两个点,其坐标如下表所示:
x
1
-
4
y
-3
0
-6
1
(1)求C1,C2的标准方程;
(2)过点A(m,0)作倾斜角为的直线l交椭圆C1于C,D两点,且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部,求m的取值范围.
解
(1)先判断出(-,0)在椭圆上,进而断定点(1,-3)和(4,-6)在抛物线上,故(,1)在椭圆上,所以椭圆C1的方程为+=1,抛物线C2的方程为y2=9x.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l的方程为y=(x-m),
由
消去y整理得2x2-2mx+m2-6=0,
由Δ>0得Δ=4m2-8(m2-6)>0,
即-2 而x1x2=,x1+x2=m, 故y1y2=(x1-m)·(x2-m) =[x1x2-m(x1+x2)+m2] =. 欲使左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部, 则·>0, 又F(-2,0),即·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2) =x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4>0. 整理得m(m+3)>0, 即m<-3或m>0.② 由①②可得m的取值范围是(-2,-3)∪(0,2). 1.求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. (2)求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示).检验方法: 研究运动中的特殊情形或极端情形. 2.定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以直接推理求出定值,也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果. 3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法: 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决; (2)代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1、F2,过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点,且△EGF2的周长为4. (1)求椭圆C的方程; (2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B,设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|-|<时,求实数t的取值范围. 解 (1)由题意知椭圆的离心率e==, ∴e2===,即a2=2b2. 又△EGF2的周长为4,即4a=4,∴a2=2,b2=1. ∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0. 设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 由, 得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. 由Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得k2<. x1+x2=,x1x2=, ∵+=t, ∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x==,y==[k(x1+x2)-4k]=. ∵点P在椭圆C上, ∴+2=2, ∴16k2=t2(1+2k2). ∵|-|<,∴|x1-x2|<, ∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<, ∴(1+k2)[-4·]<, ∴(4k2-1)(14k2+13)>0, ∴k2>. ∴ ∵16k2=t2(1+2k2),∴t2==8-, 又<1+2k2<2,∴ ∴-2 ∴实数t的取值范围为(-2,-)∪(,2). (推荐时间: 70分钟) 一、选择题 1.已知方程+=1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆,则k的取值范围是( ) A.k<1或k>3B.1 C.k>1D.k<3 答案 B 解析 若椭圆焦点在x轴上,则, 解得1 2.△ABC的顶点A(-5,0)、B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( ) A.-=1B.-=1 C.-=1(x>3)D.-=1(x>4) 答案 C 解析 如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线 的右支,方程为-=1(x>3). 3.设M(x0,y0)为抛物线C: x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交,则y0的取值范围是( ) A.(0,2)B.[0,2] C.(2,+∞)D.[2,+∞) 答案 C 解析 依题意得: F(0,2),准线方程为y=-2, 又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交,且|FM|=|y0+2|, ∴|FM|>4,即|y0+2|>4, 又y0≥0,∴y0>2. 4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( ) A.2B.3C.6D.8 答案 C 解析 设P(x0,y0),则 +=1,即y=3-, 又因为F(-1,0), 所以·=x0·(x0+1)+y=x+x0+3 =(x0+2)2+2, 又x0∈[-2,2],即·∈[2,6], 所以(·)max=6. 5.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是( ) A.(0,+∞)B.(,+∞) C.(,+∞)D.(,+∞) 答案 B 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c, PF1=r1,PF2=r2. 由题意知r1=10,r2=2c, 且r1>r2,2r2>r1, ∴2c<10,2c+2c>10, ∴ ∴e2====; e1====. ∴e1·e2==>. 二、填空题 6.直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是________. 答案 m≥1且m≠5 解析 ∵方程+=1表示椭圆, ∴m>0且m≠5. ∵直线y=kx+1恒过(0,1)点, ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有: +≤1,m≥1, ∴m的取值范围是m≥1且m≠5. 7.设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,1·2的值等于________. 答案 -2 解析 易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2面积最大. 此时,F1(-,0),F2(,0),不妨设P(0,1), ∴1=(-,-1),2=(,-1), ∴1·2=-2. 8.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为________. 答案 -1 解析 过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为A,交y轴于B,由抛物线方程为y2=4x得焦点F的坐标为(1,0),准线为x=-1,则由抛物线的定义可得 d1+d2=|PA|-|AB|+d2=|PF|-1+d2, |PF|+d2大于或等于焦点F点P到直线l, 即|PF|+d2的最小值为=, 所以d1+d2的最小值为-1. 9.(2013·安徽)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________. 答案 [1,+∞) 解析 以AB为直径的圆的方程为x2+(y-a)2=a, 由得y2+(1-2a)y+a2-a=0. 即(y-a)[y-(a-1)]=0,由已知解得a≥1. 三、解答题 10.已知直线x-2y+2=0经过椭圆C: +=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l: x=分别交于M,N两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求线段MN的长度的最小值. 解 (1)如图,由题意得椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为 D(0,1),即a=2,b=1. 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)直线AS的斜率显然存在且不为0, 设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0),解得M(,),且将直线方程代入椭圆C的方程, 得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. 设S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)·x1=. 由此得x1=,y1=,即S(,). 又B(2,0),则直线BS的方程为y=-(x-2), 联立直线BS与l的方程解得N(,-). ∴|MN|==+≥2=. 当且仅当=,即k=时等号成立,故当k=时,线段MN的长度的最小值为. 11.(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M: (x+1)2+y2=1,圆N: (x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A、B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 解 (1) 设圆P的半径为r, 则|PM|=1+r,|PN|=3-r, ∴|PM|+|PN|=4>|MN|, ∴P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,左顶点除外, 且2a=4,2c=2,∴a=2,c=1, ∴b2=a2-c2=3. ∴P的轨迹曲线C的方程为+=1(x=-2). (2)由 (1)知: 2r=(|PM|-|PN|)+2≤|MN|+2=4, ∴圆P的最大半径为r=2.此时P的坐标为(2,0). 圆P的方程为(x-2)2+y2=4. ①当l的方程为x=0时,|AB|=2, ②设l的方程为y=kx+b(k∈R), 解之得: 或. ∴l的方程为y=x+,y=-x-. 联立方程化简: 7x2+8x-8=0 ∴x1+x2=-,x1x2=-, ∴|AB|==. 12.设椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点M到直线+=1的距离d=,O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,证明: 点O到直线AB的距离为定值; (3)在 (2)的条件下,试求△AOB的面积S的最小值. (1)解 由e=,得c=a,又b2=a2-c2, 所以b=a,即a=2b. 由左顶点M(-a,0)到直线+=1, 即bx+ay-ab=0的距离d=, 得=,即=, 把a=2b代入上式,得=,解得b=1. 所以a=2b=2,c=. 所以椭圆C的方程为+
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