5份第十三讲七年级行程问题常见题型分析1213.docx
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5份第十三讲七年级行程问题常见题型分析1213
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第十三讲七年级行程问题常见题型分析
目的要求:
弄清行程问题中基本的量:
速度、时间、路程。
这三个量之间的关系是,在此基础上利用图形帮助学生弄清数量关系,找到等量关系列出方程。
重难点:
找到等量关系列出方程
在列方程解应用题问题中,行程问题是一个必不可少的内容,也是比较难的一个内容。
一、弄清行程问题中基本的量和它们之间的关系。
行程问题中有三个基本量:
速度、时间、路程。
这三个量之间的关系是:
路程=时间×速度变形可得到:
速度=路程/时间时间=路程/速度这三个量的作用是知道其中两个就可以表示第三个。
二、行程问题常见类型
1、普通相遇问题。
2、追及(急)问题。
3顺(逆)水航行问题。
4、跑道上的相遇(追急)问题
三、行程问题中的等量关系
所谓等量关系就是意义相同的量能用等量连接的关系。
若路程已知,则应找时间的等量关系和速度的等量关系;若速度已知,则应找时间的等量关系和路程的等量关系;若时间已知,则找路程的等量关系和速度的等量关系。
在航行问题中还有两个固定的等量关系,就是:
顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度+水流速度
四、分类举例
例1:
小明每天早上要在7:
50之前赶到距离家1000米的学校去上学。
小明以80米/分的速度出发,5分钟后小明的爸爸发现他忘了带语文书。
于是,爸爸立即以180米/分的速度去追小明,并且在途中追上了他。
爸爸追小明用了多长时间?
分析:
此题中小明的速度,爸爸的速度均已告诉。
因此速度之间不存在等量关系。
我们只能在父子二人的时间和父子二人的路程上找等量关系。
由于小明比爸爸早出发5分钟,且相遇时在同一个时刻,因此相遇时爸爸比小明少用5分钟,可得时间的等量关系:
①爸爸的时间+5分钟=小明的时间当爸爸追上小明时,父子二人都是从家走到相遇的地点,故爸爸行的路程与小明行的路程相等。
得路程相等关系。
②爸爸路程=小明路程如果爸爸追上小明用了x分钟,则第一个相等关系得:
小明用了(x+5)分钟,带入第二个等量关系,可得方程180x=80(x+5)
例2:
甲乙两人在环形跑道上练习跑步。
已知环形跑道一圈长400米,乙每秒跑6米,甲的速度是乙的4/3倍。
⑴若甲、乙两人在跑道上相距8米处同时相向出发,经过几秒两人相遇?
⑵若甲在乙前8米处同时同向出发,那么经过多长时间两人首次相遇?
分析:
此题甲乙两人的速度均已告诉,因此我们只能在时间中找等量关系,在路程中找等量关系。
第⑴问是一个在环形跑道上的相遇问题。
由于两人反向同时出发,最后相遇。
故相遇时两人跑的时间是相等。
得到第一个等量关系:
①甲时间=乙时间由于两人出发时相距8米,所以当两人第一次相遇时,共跑了(400-8)米。
故可以得到第二个路程的等量关系②甲路程+乙路程=400-8设x秒后两人相遇,则相遇时乙跑了6x米,甲跑了6× 4/3 x米,代入第二个等量关系中可得方程6×4/3x+6x=400-8
第二问是一个环形跑道上的追急问题。
因两人同时出发,故当甲追上乙时,两人用时相同。
可得第一个时间等量关系①甲时间=乙时间
由于两人同向出发时相距8米,且速度较快的甲在前,故当两人第一次相遇时甲必须比乙多跑(400-8)米,可得第二个行程的等量关系②甲路程=乙路程+400-8
设X秒后甲与乙首次相遇,此时甲跑了6×4/3 x米,乙跑了6x米,代入第二个等量关系可得方程:
6×4/3 x=6x+400-8
例3:
一货轮航行于A、B两个码头之间,水流速度为3km/小时,顺水需2.5小时,逆水需3小时,求两码头之间的距离。
分析:
此题是一个航行问题,由于顺水所需时间,逆水所需时间均已告诉,所以我们只找速度等量关系,路程等量关系,而其速度的两个等量关系时固有的,即:
顺水速度=静水速度+水速、逆水速度=静水速度-水速。
对此提来讲就是①顺水速度=静水速度+3;②逆水速度=静水速度-3.路程关系是比较明显的,即:
③顺水路程=逆水路程
我们用③来列方程,那就是需要顺水时间、顺水速度、逆水时间、逆水速度,两个时间已知,只要放出静水速度为xkm/h,由①、②就可以分别列出表示出顺水速度=(x+3)km/h,逆水速度=(x+3)km/h,代入③可得方程:
2.5(x+3)=3(x-3)
我们看到设出来的未知数不是题中要问的,这就是间接设元。
若设出来的未知数正好是题中所要求的,那就是直接设元。
好多题都是间接设元比较简单。
此题若是直接设元会比较难。
例4:
一列火车匀速前进,从开进入300米长的隧道到完全驶出隧道共用了20秒,隧道顶部一盏固定的聚关灯照射火车10秒,这列火车的长度是多少?
分析:
此题的关键是把题意理解清楚。
“开始进入隧道到完全驶出隧道”的意思是火车进入隧道到火车完全离开隧道。
此过程火车行驶的路程应为隧道的长度与火车长度的和。
故可得第一个等量关系①火车路程=火车长度+300“聚光灯照射火车10秒”的意思是火车以它的速度10秒行进的路程是火车的长度。
故可得第二个等量关系②火车长度=火车速度×10设该火车的速度为x米/秒,则由②得火车长度为10x米。
代入第一个等量关系中,可得方程20x=10x+300
例5:
某行军总队以8千米/时的速度前进。
队末的通信员以12千米/时的速度赶到排头送一封信,送到后立即返回队尾,共用时14.4分钟。
求这支队伍的长度。
分析:
此题在通信员追上排头以前是一个追急问题。
从排头回到排尾是一个相遇问题。
我们应分着两种情形去考虑问题。
由时间共用14.4分钟可得一个等量关系:
①通信员追上排头的时间+通信员回到排尾的时间=14.4分钟
再由两个固定关系相遇路程/速度和=相遇时间追急路程/速度差=追击时间可得两个等量关系:
②相遇路程/8+12=相遇时间
③追急路程/12-8=追急时间
设队伍长x千米,则追急时间为 小时,相遇时间为 小时,代入第①个等量关系中可得方程 + = .
总之,利用列方程来解决问题的方法是数学里面一个重要思想,就是方程思想。
具体做法是从题中找出反映题中全部意义的所有等量关系,然后根据等量关系用字母代替未知数列出方程。
五、分类夯实基础 :
相遇问题:
若甲乙分别从两地同时出发相向而行,则相遇时甲乙路程之和等于两地的距离。
练习:
1、甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行,2小时后相遇。
已知甲每小时比乙每小时多走2千米,求甲,乙两人的速度。
2
A,B两地相距169千米,甲以42千米每时的速度从a驶向b地,出发30分钟后应故障停车修理,这时,乙车以39千米每时的速度从b地向a地驶来,已知甲排除故障用了20分钟,问乙车出发后经过多少时间与甲车相遇?
3、甲、乙两人同时同地同向而行,甲的速度是4千米/小时,乙的速度比甲慢,半小时后,甲调头往回走,再走10分钟与乙相遇,求乙的速度。
追及问题:
若甲乙分别从两地同时出发同向而行,则甲追上乙时甲乙路程之差等于两地的距离。
练习:
4、甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑6.5米,甲让乙先跑5米然后奋力去追,求几秒后甲追上乙?
5、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了1小时后,爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里,便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追,如果我和妈妈每小时行2千米,从家里到外婆家需要1小时45分钟,问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗?
三、航行问题顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度—水流速度
、一艘轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地,原路返回需要12小时才能到达甲地。
已知水流速度是每小时3千米,求甲、乙两地的距离?
四、环形跑道问题
(1)甲乙从同一地点同时同向出发,甲乙路程之差等于环形跑道的周长
(2)甲乙从同一地点同时背向出发,甲乙路程之和等于环形跑道的周长
练习;8、甲、乙两人在400米的环行形跑道上练习跑步,甲每秒跑5.5米,乙每秒跑4.5米。
(1)甲、乙同时同地同向出发,经过多长时间二人首次相遇?
(3)乙先跑10米,甲再和乙同向出发,还要多长时间首次相遇?
备选练习题
1.甲、乙二人从相距91千米的A、B两地相向而行,甲先出发1小时,二人在乙出发4小时后相遇,而甲每小时比乙快2千米,求甲、乙二人的速度?
2.某人骑车以每小时10千米的速度从甲地到乙地,返回时因事绕道而行,比去时多走8千米,虽然速度增加到了每小时12千米,但比去时还多用了10分钟,求甲、乙两地的距离?
3.一只船从一个码头顺流而下,再逆流而上,打算在8小时内回到原来出发的码头。
已知这只船在静水中的速度是10千米/时,水流的速度是2千米/时,那么这只船最多走多少千米就必须返回,才能在8小时内回到原来出发的码头?
4.一列匀速行驶的火车用26秒种通过了一个长256米的隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口),这列火车又以16秒的时间通过了一个长96米的隧道,求这列火车的长度?
5.某班学生以每小时4千米的速度从学校步行到校办农场参加劳动,走了1.5小时后,小王奉命回校取一件东西,他以每小时6千米的速度回校取了东西后,立即又以同样的速度追赶队伍,结果在距农场2千米处追上了队伍,求学校到农场的距离?
6.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了1小时后,爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里,便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追,如果我和妈妈每小时行2千米,从家里到外婆家需要1小时45分钟,问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗?
7..一列客车长200m,一列货车长280m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?
8.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时3.6Km,骑自行车的人的速度是每小时10.8Km。
如果一列火车从他们背后开来,它通过行人的时间是22秒,通过骑自行车人的时间是26秒。
(1)火车的速度为每秒多少米;
(2)求这列火车的身长是多少米。
9.一次远足活动中,一部分人步行,另一部分乘一辆汽车,两部分人同地出发。
汽车速度60公里/小时,我们的速度是5公里/小时,步行者比汽车提前1小时出发,这辆汽车到达目的地后,再回头接步行这部分人。
出发地到目的地的距离是60公里。
问:
步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇
10.某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米,可比预定的时间早到15分钟;若每小时行9千米,可比预定的时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?
11、甲上午6时步行从A地出发,于下午5时到达B地,乙骑自行车上午10时从A地出发,于下午3时到达B地,问乙是在什么时侧追上甲的
选做题:
8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机)其中一辆小汽车在距火车站10km的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有28分钟.这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h.人步行的平均速度是5km/h.
1、当小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内的4个人送往火车站,问四个人不行的距离为多少千米?
这八个人全部到达火车站需要多少分钟?
2、再设计一种方案,通过计算说明这8人能够在停止检票前赶到火车站.
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