从荡秋千谈非线性共振重点.docx
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从荡秋千谈非线性共振重点
從盪鞦韆談—非線性共振
壹、研究動機
有一次回家,看到路邊的幼稚園的小朋友在盪鞦韆競賽時,發現小腿擺動後,沒有人推,卻可以越盪越高,又由牛頓第三定律,作用力與反作用力在同一系統上相互平衡,為什麼盪鞦韆可以越盪越高呢?
於是激起了我們的研究興趣……
貳、研究主題
一、從盪鞦韆來探討越盪越高的原因。
二、探討物體擺動與振動的交替現象。
三、由擺動與振動之交替現象來探討能量的轉換。
四、由振動—擺動來探討相位,對能量傳遞的影響。
參、應用背景原理與名詞解釋
一、位能Ep=m*g*h,動能KE=1/2*m*v2。
二、單擺之頻率f=(1/2π)*√L/gL:
擺長g:
重力加速度。
三、彈簧振動頻率f=(1/2π)*√K/mm:
擺錘質量,K:
彈簧常數。
四、彈簧常數k:
使彈簧產生變形1公分所需之外力。
五、相位:
振動或擺動循環之相對位置
六、物體重心:
物體重量的集中點。
肆‧研究過程
一.盪鞦韆現象的觀察
取自:
物理園http:
//www.hk-phy.org/main_e.html
我們將實地現場盪鞦韆時的擺動現象加以整理結果如下
1-1用外力推動協助擺動(見實作錄影檔盪鞦韆1.avi)
(1)結果:
組別
施力作用方式
擺動情形
操作一
由高點向下擺動時推力
擺動振幅越來越大
操作二
由低點向上擺動時推力
擺動振幅越來越小
(2)討論:
由以上操作,我們從能量的觀點來看
(1)操作一推力方向與擺動方向相同,故施力的能力對原有擺動系統是加成作用,而擺動振幅越來越大。
(2)操作二因施力方向與擺動方向相反,故能量對原有擺動系統是抵消作用,而擺動振幅越來越小。
(3)若在操作一中由擺動兩端高點向下推動時更可加大擺動角度。
1-2沒有外力作用,用身體的姿勢改變來改變擺動。
如圖一及(見實作錄影檔盪鞦韆2.avi)
(一)
組別
身體姿勢之變換
擺動情形
操作一
擺動幅度越來越小
操作二
擺動幅度越來越小
操作三
擺動幅度越來越大
操作四
圖一
擺動幅度越來越小
擺動位置
A
B
C
B
A
(2)討論:
1.擺動過程中發現,操作一小腿彎曲不變,操作二小腿伸直不變,擺動時幅度越來越小,最後停止擺動。
2.操作三是當擺動由最低點上擺時小腿下放彎曲,由最高點下擺至最低點時小腿提高伸直,如此交替可使擺動振幅越來越大。
3.操作四是當擺動由最低點上擺時小腿提高伸直,由最高點下擺至最低點時小腿下放彎曲,如此交替則使擺動振幅越來越小。
4.由重心的觀念,我們認知,當身體姿勢的改變時,身體重心的位置也產生改變,操作一和操作二的物體對地面重心位置雖然不同,但卻保持固定,而操作三與操作四的實驗操作變因在於身體姿勢的交替改變,由前面重心的性質瞭解實驗操作變因,也就是於身體重心的交替改變。
所引起的不同結果。
二.盪鞦韆的模型實驗
實驗2-1由彈簧振動—擺動實驗模型的運動觀察
(1)步驟:
(見實作錄影檔實驗2—1.avi)
1.取一彈簧,一端銜接線段,一端銜接砝碼,再架於鞦韆架上,使其搖擺。
2.施力使彈簧產生垂直形變後,放鬆使產生上下振動,觀察整體運動情形。
圖二
3.調整棉線長度重複步驟2之操作。
如圖二
(2)結果:
組別
砝碼質量(g)
彈簧的長度(cm)
棉線長度(cm)
振動、擺動交替情形
1
270g
8cm
20cm以下
振動、不產生擺動
2
270g
8cm
30cm
振動、小角度擺動且交替
3
270g
8cm
35~40cm
振動、擺動角度變大且交替
4
270g
8cm
48cm
振動、擺動角度最大
5
270g
8cm
55~65cm
振動、擺動角度變小且交替
6
270g
8cm
75cm
振動、擺動角度變更小且交替
7
270g
8cm
85cm以上
振動、不產生擺動
(三)討論:
1、由實驗操作結果我們發現,砝碼質量固定,彈簧長度固定時,第四組組合可以使振動擺動交替最大角度。
2、實驗模型對照盪鞦韆操作,我們得到各對照結果如下:
人體質量=砝碼質量;(線段長度+彈簧長度)=鞦韆擺長;身體重心的改變=砝碼上、下振動。
實驗2-2:
(見實作錄影檔實驗2—2.avi)
由前面實驗我們得到,當懸掛砝碼質量270g,彈簧自然長度8cm,棉線長度48cm時之組合可以得到最大振動與最大擺動角度的交替變化,那我們分別改變砝碼質量及彈簧大小時,觀察是否仍然產生振動與擺動的現象。
(一)結果:
砝碼質量
(g)
彈簧自然長度(cm)
棉線長度(cm)
振動擺動交替情形
270g
8cm
48cm
振動擺動角度最大交替
100g
8cm
48cm
振動不產生擺動
270g
8cm
20cm以下,85cm以上
振動不產生擺動
270g
20cm
48cm
振動不產生擺動
(二)討論:
1.由實驗結果,我們發現,影響振動及擺動的交替作用的變因包括砝碼質量,彈簧性質,及擺動長度。
2.而由單擺頻率f=(1/2π)*√L/g的性質了解影響擺動頻率的變因只有擺長L,而彈簧振動頻率f=(1/2π)*√K/m的性質。
影響振動頻率的變因,包含了砝碼質量,及彈簧常數(彈簧性質)。
3.本實驗模型操作之運動是振動與擺動,視同一運動系統的交互作用結果。
實驗2-3:
為了了解產生振動與擺動交替情況時,振動與擺動頻率關係。
(一)、步驟(見實作錄影檔實驗2—3.avi)
1、在三組產生振動與擺動最大擺角交替之實驗組合中,分別單獨測量彈簧振動頻率。
2、同樣取本實驗中擺動時因彈簧伸縮造成之最大擺長及最短擺長,並懸掛該組中之砝碼質量,測量擺動頻率。
(二)、結果
組別
砝碼質量(g)
繩長
彈簧長度
振動頻率
最小擺長頻率
最大擺長頻率
擺動平均頻率
一
270
48cm
8cm
66次/分
36次/分
30次/分
33次/分
二
250
50cm
10cm
66次/分
36次/分
30次/分
33次/分
三
200
36cm
9cm
72次/分
37.8次/分
34.2次/分
36次/分
(三)、討論:
1、由實驗結果,我們發現彈簧振動的頻率接近於2倍的擺動頻率時,可得到最大共振。
2、這樣的結果驗證了我們在網路上查詢的結果,也符合盪鞦韆時,用外力推力的情形。
3、但若彈動頻率是擺動頻率的4倍8倍16倍...等,是否也產生振動與擺動的交替作用呢?
4、而利用身體姿勢的改變盪鞦韆,我們認為相同於砝碼彈簧的振動來產生擺動角度變大,其中人體姿勢的改變應該是相對於彈簧的振動改變效應,由實際的盪鞦韆中的觀察,鞦韆擺動一次人體姿勢也做兩次的交替改變!
實驗2-4:
(見實作錄影檔實驗2—4.avi)
由2-2的實驗結果,我們推論盪鞦韆是利用身體姿勢的改變來使鞦韆角度盪大,來更進一步證實想法,我們又設計了一簡單模型實驗操作。
(一)、步驟
1、馬達心軸固定一偏心圓柱,外環以銅絲懸掛銅塊之單擺,其頻率為馬達轉數二分之一。
2、單擺靜止啟動馬達,觀察單擺擺動情形
3、馬達靜止單擺偏轉擺動,觀察單擺擺動情形
4、偏轉單擺及啟動馬達,觀察單擺擺動情形
5、改變馬達轉數,重做步驟4
6、改變單擺擺長,重做步驟4、5,記錄之
(二)結果
順序
馬達
單擺頻率
單擺開始狀況
單擺持續運動情形
1
20轉/分
10
靜止
剛開始只上下振動後來擺角大小交替
2
0轉/分
10
擺動
擺角漸變小,終靜止
3
20轉/分
10
擺動
擺角變大變小交替
4
40轉/分
10
擺動
擺角漸變小,終靜止
5
20轉/分
20
擺動
擺角漸變小,終靜止
(三)、討論:
1、由以上的實驗操作我們也發現,只有在馬達轉速是單擺頻率的兩倍時,單擺才會持續的擺角大、小交替擺動。
2、我們的實驗設計目的,在使馬達的轉動提供偏心圓柱對單擺每一週期2次的垂直改變單擺上、下位置的改作用。
也相同和盪鞦韆每擺動一次身體改變兩次的身體體姿勢。
3、由馬達的持續轉動,並開始擺動後單擺持續的擺動,我們推論盪鞦韆可以越盪越高,可能是來自人體姿勢的改變所獲的能量。
4、由重心的觀念中,我們知道人體姿勢的改變,相物對於地面的重心位置高度也會產生改變,並且由位能觀念知道重心的改變,相對位能也改變,其持續擺動或越擺越大角度之能量自位能的轉換。
實驗2-5:
由盪鞦韆,彈簧振動一擺動模型實驗,及2-4偏心圓軸帶動單擺都觀察到會使擺動角度加大,我們也由實驗2-4實驗討論得到一切的擺動能量均因質心位置的,但質心位置的改變又如何能促成振動能量的轉換成擺動能量,我們繼續這部分的探討!
(一)、步驟
1繪製盪鞦韆擺動分析圖
2以動能、位能的轉換原理分析說明
(二)、結果
圖三:
盪鞦韆時身體姿勢沒有變化
(三)討論:
1、使擺動角度不變大的身體姿勢改變。
如圖三
(1)、身體姿勢固定盪鞦韆,如圖示A點的擺動至B點時A點的動能全部轉換成位能,動能→位能,公式:
1/2×m×V2=mgh;h=V2/2g
因身體姿勢沒有改變,所以單擺重心位置仍然在mc1處,故單擺由A到B處仍然上升h公分。
擺動一段時間後,因沒有增加新的能量輸入,故因空氣阻尼的摩擦等作用,終於停止擺動。
(2)、若身體姿勢不變,則同上分析身體重心由mc1擺到mc2,擺動上升距離h,因全部動能以全部轉換成位能,因此開始擺動之角度,已經是擺動過程中最大角度,且又沒有外加的能量,最後,因摩擦力、空氣阻力等因素使鞦韆擺動角度越來越小,終於停止。
2、使擺動角度變大的身體姿勢改變
當盪鞦韆擺動時,身體姿勢的交替位置如圖四、五示
(1)、但若因上擺過程中,我們分析發現在最低點A位置時雙腿伸直,身體直立,身體重心位置在mc1,當由A擺置B位置中,雙腿彎曲,身體後傾,到身體重心位置將由mc2下降Δh距離到mc3位置,但A點的動能只能使單擺上升h㎝,故mc3必須再上升Δh才能使動能全部轉換成位能,因此擺動角度加大,θ2>θ1。
如圖四示
圖五:
擺角角度變小的擺動姿勢改變
圖四:
擺角角度變大的擺動姿勢改變
圖四:
擺角角度變大
的擺動姿勢改變
(2)、盪鞦韆由B位置回到A位置時必須由人自行施力,雙腿抬高伸直,身體上仰,身體重心位置又上升Δh回到mc1位置則人對盪鞦韆輸入正功m*g*△h,增加能量以作為A到C位置時,增大擺動角度之能量如此交替所以鞦韆越盪越高。
(3)、但若因上擺過程中,我們分析發現在最低點A位置時雙腿下垂,身體直立,身體重心位置在mc1,當由A擺置B位置中,雙腿伸直,身體上仰,到身體重心位置將由mc2上升h距離到mc3位置,但A點的動能只能使單擺上升h㎝,故mc3必須再下降Δh才能使動能全部轉換成位能,因此擺動角度加大,θ2<θ1。
如圖五示
(4)、這樣的分析,符合了前面2-1、2-2、2-4實際的操作觀察結果
(5)、綜合本實驗分析,我們可將盪鞦韆、彈簧振動擺動及馬達轉動偏心圓軸其重心位置之改變作一相似之對照。
盪鞦韆
彈簧振動一擺動模型
馬達轉動偏心轉之擺動
重心位置之改變
盪鞦韆者自行改變姿勢
懸掛在彈簧上之物,上下振動
偏心圓軸帶動單擺上下之振動
實驗2-6:
彈簧振動與擺動交替的探討
一、由實驗過程中我們觀察盪鞦韆,彈簧振動—擺動及馬達帶動偏心圓軸帶動擺動,三種實驗操作中,能量的輸入形式分別為
實驗組別
開始能量輸入
能量輸入之持續性
盪鞦韆
人體重心改變
是(身體姿勢將變化)
彈簧振動一擺動
彈簧的伸張
是(彈簧上下振動)
馬達偏心圓軸帶動擺動
馬達偏心圓軸的拉伸力
是(馬達持續轉動)
二、由2—5的分析探討中我們了解由於重心位置配合擺動頻率的交替改變,產生能量來使擺動角度變大,但是由彈簧振動—擺動交替的實驗操作中及馬達轉動偏心圓軸的擺動實驗中,我們仍然發現擺動角度定由小→大→小→大,如此交替的改變,而擺角度又如何會有如此大小的交替呢?
實在是很有趣!
讓我們繼續探討!
(一)、步驟
1、觀察彈簧振動擺動模型,在振動與擺動交替作用時之運動狀況.並以圖形表示。
2、以彈簧位能與單擺動位能之相互轉換分析。
(二)、結果:
如圖十、十一、十二示
(三)、討論
1、由操作實驗觀察發現,彈簧未產生擺動時,振動振幅最大,當擺角漸漸增大時,振動振幅漸漸減小,當擺角最大時,彈簧停止振動,即彈簧位能變成擺動位能。
2、由前面實驗2—-6統計;知道,彈簧振動—擺動的操作能量是由拉伸了彈簧開始輸入,整個能量在振動一擺動間交替轉換,沒有再增加,終因空氣阻力而停止。
3、當擺角最大時,彈簧位能全部轉換成擺動位能,而當由最高點向下擺動時,彈簧振幅加大,而擺動位能又部分轉換成彈簧位能,而擺角又開始變小,最後,全部變成彈簧位能,只有振動沒有擺動,繼續又依實驗2-5之說明因重心位置的交替作用,開始加大擺動角度。
4、振動振幅與擺動振幅之變化
實驗2-7:
偏心圓柱垂直運動,形成擺動的共振,由實驗2—-4實驗結果,我們知道偏心圓柱之轉速,(也就是說上下運動的頻率)是2倍擺動頻率時,會產生擺動共振使擺角越來越大,但實驗時,不是每次都能如此,因此我們在觀察兩種不同操作結果的不同。
(一)、步驟:
1、使偏心圓柱,由如圖七示之位置啟動,並同時啟動馬達釋放單擺,觀察擺動情形
2、使偏心圓柱,由如圖八示之位置啟動,並同時釋放單擺,觀察擺動情形
圖八:
由高點釋放後單擺重心下降
圖七:
由低點釋放後單擺重心上升
圖九:
馬達帶動偏心圓柱帶動單擺重心上下
(二)、結果:
1、由圖七示,啟動馬達後之單擺角度越擺越大,但達某一最大擺角之後,擺角又漸漸變小,之後行程擺角由大→小→大→小交替變化。
2、由圖八示啟動馬達後之單擺角度變化與圖七相同。
(三)、討論:
1、由圖七所示的擺動,如同實驗2—5的分析,每次再最低點位置時單擺被偏心圓柱上提上高點,而上擺時,偏心圓柱下放單擺而使單擺質心下降,使擺動角度變大,而因馬達持續旋轉,持續對單擺輸入能量,因此單擺角度應持續加大,才是這與盪鞦韆時在最低點,將腿垂直,身體上仰而往上盪時,腿伸直,身體下傾,重心提升相同。
但是實際觀察結果卻是擺角大、小交替變化,與實驗2—5的能量轉換不符,因此我們再進一步實驗觀察發現,如圖九示,當擺動角度大時,因偏心位移,對單擺之振動作用減少,而使擺動角度變小,後又變大如此交替。
2、由圖八所示的擺動,每次在單擺上擺時,單擺被偏心圓柱下放至最低點。
而單擺下擺時,偏心圓柱上提單擺,而使單擺質心上提,因此擺角應該越來越小,但是實際操作上又與圖七相同,擺角仍然是大小的交替作用,如此與實驗2—5的分析不同,我們想進依步實驗觀察,但是因馬達轉動及擺動很快,我們無法明確的掌握運動的相位,所以無法驗證,指只是猜測可能是滑動造成相位的不確定吧!
3、圖七和圖八的實驗操作表示,振動與擺動的共振,除了頻率要成2倍關係外,振動的相位更是關鍵因素。
實驗2—8:
彈簧振動—擺動實驗模型運動型式的再探討
由實驗操作中,我們觀察到,振動頻率為2倍擺動頻率時,振動與擺動的交替,只發生在鉛直位置的振動開始,其他位置則不會發生,如下圖十、十一、十二示:
二結果:
(見實作錄影檔實驗2—8.avi)
圖十
圖十一
圖十二
三討論:
1、圖十一單擺運動方式相同於實驗2—5、2—7的:
因擺錘由B點下降到A點時,彈簧伸張下垂,重心下降,而到達C點時彈簧收縮,重心上提,依實驗2—5的分析相同,所以不能產生能量振動與擺動的交替,只有左右擺動終於因空氣阻力而停止;因此擺動角度越來越小
2、圖十和圖十二的運動型式相同,但圖十的單擺會產生振動與擺動交替運動,圖十二卻很奇怪!
我們比較了操作的差異,發現只有起始位置與拉伸彈簧的差別了,但釋放後的整個運動型式完全相同圖十,在鉛直位置拉伸彈簧,使振動引起擺動共振,使擺動加大,(實驗2—4,及2—5中證明),但圖十二的單擺傾斜一擺角並拉伸了彈簧後釋放,彈簧有上下的振動及擺動連續作用,但沒有振動-擺動交替作用。
3.我們詳細觀察發現,實際上,彈簧的振動變化也是有大→小→大→小的變化,由實驗2-5的分析表示的能量應該也有轉換成位能使擺角度變大,再加上原來的單擺偏轉的位能,使擺動持續進行,而不會振動擺動交替。
實驗2—9:
由能量與運動現象的觀察,我們知道,振動與擺動的交替現象,是能量交替傳輸的結果,並且由實驗2—8中我們發現,這種能量的傳輸也必須具備共振的條件,因而我們想進一步探討能量交替傳遞與共振之關係。
(一):
步驟:
(見實作錄影檔實驗2—9.avi)
1、相同頻率之彈簧,懸掛於強力橡皮筋上,如圖十三示
2、振動右側的彈簧,觀察兩側彈簧振動狀況
3、觀察橡皮筋擺動變化情形
4、改變兩彈簧之間距,重複步驟2、3之操作
5、改變另一彈簧之頻率條件,如圖示,重複步驟2、3、4之操作
圖十三
二結果
F1
F2
間隔距離
主動件
共振情形
交替週期(秒/次)
84次/分
84次/分
8cm
右單擺
左右動靜交替運動
5秒
84次/分
84次/分
13cm
右單擺
左右動靜交替運動
7秒
84次/分
84次/分
18cm
右單擺
左右動靜交替運動
14秒
84次/分
66次/分
10cm
右單擺
右單擺持續振動、左單擺週期性動靜交替振動
5秒
84次/分
66次/分
10cm
左單擺
左單擺持續振動、右單擺週期性動靜交替振動
5秒
三討論:
1、當相同頻率的彈簧可透過橡皮筋產生能量的交替傳遞,由實驗觀察發現兩彈簧懸吊之間隔距離越大時,能量交替的頻率就越慢,可見兩共振體間隔距離影響能量傳遞的頻率。
2、頻率不同的彈簧,主動彈簧只會產生能量部分傳遞,無論是左或是右件彈簧主動時,主動件會持續振動,而間諧性的把部分能量遞給被動彈簧,若兩頻率差距越大時,產生能量的傳遞越小。
3、由以上觀察我們發現能量傳遞是藉由橡皮筋傳遞,因此在能量傳遞的交替變化現象也可從橡皮筋的運動變化看出。
F1
F2
1
2
3
4
1
60次/分
60次/分
60次/分
72次/分
右例f1(次/分)
78
78
78
78
左例f2(次/分)
72
66
60
60
能量交替傳遞次序(次/分)
11
16
19
19
圖十四:
頻率不同之振動體
4、橡皮筋固定在兩端,因此中間懸掛彈簧振動時,形成半波波動,當
(1)、兩頻率相等時,f1=f2,橡皮筋的上、下頻率受主動彈簧的控制,若A點彈簧主動,則橡皮筋振動頻率與A點彈簧相同,A點彈簧下拉後釋放,則彈簧上振橡皮筋上彈,此時B點橡皮筋鬆弛,因此B點彈簧下振,而形成A.B兩點振動方向相反,其持續進行使B點振動越來越大,而A點越來越小,因兩側頻率相同,但方向(向為相差180度)相反,所以A點能量漸漸傳至B點彈簧,終於靜止,當A點靜止B點振幅最大時,B點也同上述原理在反方向傳回A點,如此交替循環,F1=F橡皮筋=F2。
如圖十五
(2)、兩頻率不相等時,F1不等於F2,當A點振動時,引起橡皮筋振動頻率與A點彈簧相同,但與B點彈簧的震動頻率不同,因此不會產生共振,所以B點彈簧只有在A.B兩點彈簧頻率最小公倍數的情況下才會產生些微振動,因此,B點產生間諧性振動,而A點彈簧能量不會全部傳至B點,而A點彈簧持續振動。
如圖十六、十七示
圖十七:
頻率不相等時,左邊主動時,左邊連續振動,右邊動、靜交替振動、
圖十六:
頻率不相等時,右邊主動時,右邊連續振動,左邊動、靜交替振動、
圖十五:
頻率相等時左右交替振動
伍.結論:
1、盪鞦韆可以不藉外人施力;越盪越高是因為盪鞦韆的人利用改變身體姿勢,以改變身體重心來儲存能量,使擺動角度增加。
2、盪鞦韆改變身體重心位置,由高點向下提升重心,而由低點向高點擺動時降低重心,這種變化就如同彈簧的振動加擺動共振作用,身體重心改變的頻率為擺動頻率的2倍,要使鞦韆越盪越高,除了共振頻率外,重心變換位置也需配合擺動位置,如同振動與擺動的相位同關係,共振條件除了頻率以外,相位也是關鍵因素。
3、盪鞦韆已改變重心位置使盪鞦韆越當越高,由牛頓第三定律,作用力應等於反作用力,應該是作用效應相互抵銷,但利用不同高度位置重心的改變,地球引力的作用來產生增加能量。
其實是符合牛頓第三定律及原理。
4、彈簧振動—擺動的交替中,角度變大的過程原理完全相似於盪鞦韆的過程,而擺動變振動的過程,為能量守恆及相位轉換的原理。
5、彈簧振動—擺動為交替過程,不是一種線性變化,而影響這種交替變化的因素包括相位.頻率.擺長.彈簧性質.擺垂質量等交互作用,這些因素我們在網路上查詢稱為”參量”,故稱為”參量共振”。
是非線性振動的一種。
6、我們探討彈簧振動—擺動的交替變化運動時,以運動型式分段實驗.觀察.探討,而實際上,這種交替變化是受各參量因素的影響連續交替的進行,所以各參量變因之間的相互影響,有待我們學習更多基本且基礎之事後,繼續探討。
陸.參考資料:
一、國中理化第四冊(國立編譯館)國立編譯館
二、振動理論及應用(曉園出版社)曉園出版社
三、動力學
四、物理園
網址:
http:
//www.hk-phy.org/main_e.html
五、NonlinearVibration.Pendulum
網址:
http:
//www.fam.dtu.dk/html/FVP/dima/Index.html
六、ThePendulumLab
網址:
http:
//monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/index.html
七、ComputerAnimationsofPhysicsProcesses
網址:
http:
//physics.nad.ru/Physics/English/index.htm
柒:
實驗活動照片
一、實驗項目:
彈簧振動—擺動能量交替實驗觀察。
二、實驗項目:
相同頻率振動體,能量交替的傳輸實驗觀察。
三、馬達帶動偏心圓軸,使單擺產生振動加大擺動角度實驗觀察。
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- 荡秋千 非线性 共振 重点