18函数yAsinωx+φ的图像二教案高中数学必修四北师大版.docx

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18函数yAsinωx+φ的图像二教案高中数学必修四北师大版

§8函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像

（二）

（教师用书独具）

●三维目标

1．知识与技能

掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期、单调性及最值问题的求法，理解函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称性．

2．过程与方法

通过利用函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像研究其性质，使学生掌握数形结合的思想方法，提高学生分析、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过对三角函数图像的分析和性质的研究，使学生体会数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣．

●重点难点

重点：

函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期、单调区间、最值问题．

难点：

函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称性．

（教师用书独具）

●教学建议

掌握正、余弦函数的性质是解决本节问题的关键，因此学习本节内容前，应先让学生回忆正、余弦函数的基本性质．由于作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像具有一定的复杂性，因此教师可利用计算机动态演示A、ω、φ对函数图像的影响，在此过程中让学生体会其周期性、单调性及对称性的变化，归纳出函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期规律及单调区间的一般形式．函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称性是本节的一个难点，教师应注意结合其周期性，借助于其图像帮助学生加以理解．

●教学流程

创设问题情境：

由y＝sinx到y＝Asin（ωx＋φ）的过程中，其性质发生了哪些变化？

⇒结合函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像，归纳其周期、单调性及最值的变化．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求三角函数周期的方法．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角函数单调区间的求法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握最值问题的求法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

课标解读

1.掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期，单调性及最值的求法．（重点）

2．理解函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称性．（难点）

函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的性质

定义域

R

值域

[－A，A]

周期

T＝

对称轴

方程

由ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）求得

对称

中心

由ωx＋φ＝kπ（k∈Z）求得

单调性

递增区间由

2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）求得；

递减区间由

2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π（k∈Z）求得.

求y＝Asin（ωx＋φ）的周期

　求下列函数的周期：

（1）y＝3sin（2x＋）＋1；

（2）y＝4sin（x－）－1；

（3）y＝|sinx|.

【思路探究】　

（1）

（2）用T＝求周期；（3）利用函数的图像来求周期．

【自主解答】　

（1）∵ω＝2，∴T＝＝＝π.

（2）∵ω＝，∴T＝＝10π.

（3）y＝|sinx|的图像如下：

由图像可知，T＝π.

1．型如y＝Asin（ωx＋φ）＋b的函数的周期为T＝.

2．求三角函数周期的方法

方法一：

公式法，利用函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b或函数y＝Acos（ωx＋φ）＋b的周期公式T＝来求；方法二：

图像法，利用三角函数的图像来求．形如函数y＝|Asin（ωx＋φ）|和y＝|Acos（ωx＋φ）|的周期通常用图像法，其周期为T＝，因此周期减半．

（2013·江苏高考）函数y＝3sin（2x＋）的最小正周期为________．

【解析】　函数y＝3sin（2x＋）的最小正周期T＝＝π.

【答案】　π

求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间

　已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0）．

（1）求函数的解析式；

（2）求出函数y的单调区间．

【思路探究】　由已知信息，结合图像确定ω，A和φ的值，然后视ωx＋φ为一体求出单调区间．

【自主解答】　

（1）由题意＝－＝π，T＝4π＝，

∴ω＝，A＝，∴y＝sin（＋φ），

当x＝，y＝时，即＝sin（×＋φ）．

∴＋φ＝2kπ＋（k∈Z），∴φ＝2kπ＋（k∈Z），

∵φ∈（－，），∴φ＝.∴y＝sin（＋）；

（2）∵当＋∈[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）时，y单调递增，

∴[4kπ－π，4kπ＋]（k∈Z）为增区间；

当＋∈[2kπ＋，2kπ＋π]（k∈Z）时，y单调递减，

∴[4kπ＋，4kπ＋π]（k∈Z）为减区间．

1．由已知条件确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式时，注意利用图像特征确定A和ω.

2．求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sinx的单调增（减）区间，求得函数的增（减）区间，当ω<0时，可用诱导公式化其为正．

求函数y＝2sin（－2x）的单调增区间．

【解】　y＝2sin（－2x）＝－2sin（2x－）．所以其单调增区间，就是y＝2sin（2x－）的减区间．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π得kπ＋≤x≤kπ＋，（k∈Z）

因此函数y＝2sin（－2x）的增区间为[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）．

求y＝Asin（ωx＋φ）的最值

　已知函数y＝a－bcos（2x＋）（b>0）的最大值为，最小值为－.

（1）求a，b的值；

（2）求函数g（x）＝－4asin（bx－）的最小值并求出对应x的集合．

【思路探究】　解答本题可依据题意，由最大值、最小值构造关于a，b的方程组，求出a，b，再根据

（1）求

（2）中g（x）的最小值及对应x的集合．

【自主解答】　

（1）∵x∈R，∴cos（2x＋）∈[－1,1]，

又∵b>0，∴－b<0，

∴当cos（2x＋）＝－1时ymax＝a＋b＝，

当cos（2x＋）＝1时ymin＝a－b＝－，

解方程组得a＝，b＝1.

（2）由

（1）知：

g（x）＝－2sin（x－）．

∵sin（x－）∈[－1,1]，

∴当sin（x－）＝1时g（x）取最小值－2.

此时x－＝2kπ＋，k∈Z，x＝2kπ＋，k∈Z

所以对应x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．

1．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b中影响最值的量是A的符号，b的大小以及x的范围．

2．对于函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（y＝Acos（ωx＋φ）＋b）的最大值、最小值问题，重点在于求解函数取得最大值、最小值时相应自变量x的取值集合，这时一定要把ωx＋φ看作一个整体，将其与函数y＝sinx（y＝cosx）相类比．

（2013·宁德高一检测）已知函数f（x）＝sin（2x－），x∈R.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数f（x）在区间[，]上的最小值和最大值．

【解】　

（1）T＝＝π.

（2）∵≤x≤，∴0≤2x－≤π，

∴－≤sin（2x－）≤1，

∴－1≤sin（2x－）≤，

∴f（x）在[，]上的最大值为，最小值为－1.

分类讨论思想在三角函数中的应用

　（12分）已知函数y＝asin（2x＋）＋b在x∈[0，]上的最大值为1，最小值为－5，求a，b的值．

【思路点拨】　先由x的范围确定sin（2x＋）的范围，再根据a的符号，讨论a，b的取值．

【规范解答】　由题意知a≠0.∵x∈[0，]，

∴2x＋∈[，]，2分

∴sin（2x＋）∈[－，1].4分

当a>0时，解得8分

当a<0时，解得11分

∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.12分

求参数a，b的取值问题，一般要根据题意列方程组，解方程组即可．当a，b是三角函数的系数时，a，b的正负影响三角函数的最大值和最小值，需要分类讨论．

1．函数y＝Asin（ωx＋φ）与y＝Acos（ωx＋φ）的周期均为T＝.

2．在研究函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，再根据函数y＝sinx的单调增（减）区间求解，但需注意A和ω的符号，从而正确确定函数的单调增（减）区间．

3．在研究y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ（k∈Z）时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ（k∈Z）时取得最小值.

1．函数y＝2sin（2x＋）＋1的最大值是（　　）

A．1　　　　　　　　B．2

C．3D．4

【解析】　由于x∈R，

∴－1≤sin（2x＋）≤1，

∴y≤2＋1＝3，故选C.

【答案】　C

2．函数y＝sin（2x＋）的最小正周期是（　　）

A.B．π

C．2πD．4π

【解析】　T＝＝π，故选B.

【答案】　B

3．函数y＝sin（3x－）的图像的一个对称中心是（　　）

A．（－，0）B．（－，0）

C．（，0）D．（，0）

【解析】　由3x－＝kπ（k∈Z）得x＝＋，k∈Z.

令k＝－2得，x＝－＋＝－，

∴函数图像的一个对称中心为（－，0），故选A.

【答案】　A

4．求函数y＝cos（x－）的单调减区间．

【解】　由2kπ≤x－≤2kπ＋π，（k∈Z）得2kπ＋≤x≤2kπ＋π（k∈Z），

∴函数的单调减区间为[2kπ＋，2kπ＋]（k∈Z）．

一、选择题

1．已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图像（　　）

A．关于点（，0）对称　　　B．关于直线x＝对称

C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称

【解析】　由于T＝＝π，∴ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋）．当x＝时，sin（＋）＝0，

∴该函数的图像关于点（，0）对称，故选A.

【答案】　A

2．函数y＝8sin（6x＋）取最大值时，自变量x的取值集合是（　　）

A．{x|x＝－＋，k∈Z}

B．{x|x＝＋，k∈Z}

C．{x|x＝，k∈Z}

D．{x|x＝＋，k∈Z}

【解析】　∵y的最大值为8，此时sin（6x＋）＝1，即6x＋＝2kπ＋（k∈Z），

∴x＝＋，（k∈Z），故选B.

【答案】　B

3．（2013·济南高一检测）若函数f（x）＝sinωx（ω>0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝（　　）

A．3B．2

C.D.

【解析】　由题意知，函数在x＝处取得最大值1，所以1＝sin，故选C.

【答案】　C

4．下列函数中，图像关于直线x＝对称的是（　　）

A．y＝sin（2x－）B．y＝sin（2x－）

C．y＝sin（2x＋）D．y＝sin（＋）

【解析】　验证法，当x＝时，A.sin（－）＝sin≠±1；B.sin（－）＝sin＝1，故选B.

【答案】　B

5．将函数y＝sin（2x＋）的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是（　　）

A．非奇非偶函数B．既奇又偶函数

C．奇函数D．偶函数

【解析】　将函数y＝sin（2x＋）的图像向右平移个单位后，得函数y＝sin[2（x－）＋]＝sin（2x－＋）＝sin2x，为奇函数，故选C.

【答案】　C

二、填空题

6．当－≤x≤时，函数f（x）＝sin（x＋）的最大值是________，最小值是________．

【解析】　∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π，

∵当x＋＝－，即x＝－时，f（x）min＝－，

当x＋＝，即x＝时，f（x）max＝.

【答案】　　－

7．关于f（x）＝4sin（2x＋）（x∈R）有下列结论：

①函数的最小正周期为π；

②表达式可改写为f（x）＝4cos（2x－）；

③函数的图像关于点（－，0）对称；

④函数的图像关于直线x＝－对称．

其中正确结论的序号为________．

【解析】