高考高三数学总复习专项强化训练三角函数与平面向量的综合应用.docx
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高考高三数学总复习专项强化训练三角函数与平面向量的综合应用
高三数学总复习专项强化训练
三角函数与平面向量的综合应用
一、选择题
1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,
),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则
tanθ=( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选B.因为a∥b,
所以sinθ-
cosθ=0,
即sinθ=
cosθ.故tanθ=
.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,-
),
n=(cos2B,2cos2
-1),且m∥n,则锐角B的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解.
【解析】选D.因为m∥n,
所以2sinB(2cos2
-1)=-
cos2B,
所以sin2B=-
cos2B,即tan2B=-
.
又因为B为锐角,所以2B∈(0,π).
所以2B=
所以B=
.
3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a与b一定满足( )
A.a与b的夹角等于α-βB.a⊥b
C.a∥bD.(a+b)⊥(a-b)
【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.
【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).
同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.
因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
故选D.
4.已知a=
b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围
是( )
A.(0,1)B.(0,1]C.(0,
)D.(0,
]
【解析】选C.因为a-b=
所以|a-b|=
=
=
=
因为θ∈(0,π),所以
∈
cos
∈(0,1).
故|a-b|∈(0,
).
5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=
·
=-2且a+b=5,则c等于( )
A.
B.
C.4D.
【解题提示】由已知cosC=
·
=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.
【解析】选A.由已知cosC=
·
=-2,
得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,
所以ab=8,
利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.
所以c=
.
故选A.
二、填空题
6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是 .
【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.
【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.
由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,
即sin(A+C)=2sinCcosA.
从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,
故sinAcosC-cosAsinC=0.
即sin(A-C)=0,又-π 所以A-C=0,即A=C. 由m⊥p可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C. 故三角形为等边三角形. 答案: 等边三角形 7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量 的夹角为α,则sinα的值为 . 【解析】设向量 与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+ = 且有sinβ= cosβ=- sinα=sin(π-α)=sin = sinβ- cosβ= × - × = . 答案: 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2 cosB-sin(A-B)sinB+ cos(A+C)=- 若a=4 b=5,则 在 方向上的投影为 . 【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos2 cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=- 得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=- 即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- . 则cos(A-B+B)=- 即cosA=- .
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