史上最全数列通项公式求法15种56879.docx
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史上最全数列通项公式求法15种56879
最全的数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式一一通项公式,在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
♦一、直接法
根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。
例1.根据下列数列的前几项,说出数列的通项公式:
1、1.3.7.15.31
2、1,2,5,8,12-
4、1,-1,1,-1
5、1、0、1、0
♦二、公式法
1利用等差数列或等比数列的定义求通项
t1S|n=1
2若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列ian}的通项an可用公式an=」求解.
S」……让2
(注意:
求完后一定要考虑合并通项)
例2.①已知数列1an[的前n项和&满足S^-2an(-1)n,n_1•求数列1an?
的通项公式.
②已知数列Q'的前n项和Sn满足&=n2•n-1,求数列订爲的通项公式
③已知等比数列^n1的首项a1=1,公比0:
:
:
q<1,设数列"bn?
的通项为0二a.「an-2,求数列
■bn1的通项公式。
③解读:
由题意,bn^an2-an3,又〈an[是等比数列,公比为q
•••bn=q(q1)qn‘=qn(q1)
♦三、归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律,然后正面证明。
例3.(2002年北京春季高考)已知点的序列An(xn,0),N*,其中x^0,x^a(a0),A3是线
段A1A2的中点,A是线段A2A3的中点,…,An是线段An/An4的中点,
(1)写出Xn与Xn^,Xn€之间的关系式(门-3)。
(2)设an二Xn1-Xn,计算a「,由此推测&匚的通项公式,并加以证明。
(3)略
x+x
解读:
(1)TA是线段An2AnJ的中点,•••Xn二22(n_3)
变式:
(2)印处2-为“-0“,
X2+X111
a2=x3—x2x2=(X2-XJa,
222
x3+x211
83—X4—X3—2-X3—2(X3—X2)—4a,
1
猜想an=^1)nla(n•N*),下面用数学归纳法证明
2
1°当n=1时,a1=a显然成立;
01k1
2°假设n=k时命题成立,即ak=()a(k・N*)
2
xk卅+xk11
则n=k+1时,ak1-xk2-Xk1Xk=(xk1-Xk)ak
222
=(」(」)2a十$a
222
•当n=k+1时命题也成立,
•命题对任意n三N*都成立。
(2006,全国II,理,22,本小题满分12分)
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程X2—anx—an=0有一根为Sn—1,n=1,2,3,(I)求ai,a2;
(n){an}的通项公式
♦四、累加(乘)法
对于形如an彳=an•f(n)型或形如an彳=f(n)an型的数列,我们可以根据递推公式,写出n取1到n
时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。
例4.若在数列Bn'中,a1=3,anan-n,求通项an。
解读:
由an丫=an•n得anj-an=n,所以
an-an4二n-1,an4-an^=n-2,…,&2-印=1,
将以上各式相加得:
an-a^(n-1)(n-2)亠亠1,又=3
所以an=刈3
2
例5.在数列"an'中,a1=1,an1=2nan(n•N*),求通项an。
a
例6..设数列{an}满足印=2,an1n(n•N),求an.an+3
4=1,求数列{an}的通项公式。
a
4、已知数列{an}满足:
an乩
3g+1
5、若数列{an}中,a1=l,an1=2ann€N,求通项a
an+2
♦六、迭代法
迭代法就是根据递推式,采用循环代入计算•
例8、(2003•高考•广东)
设ao为常数,且an=3n'1-2an-1(n为正整数)证明对任意n》1,
an=[3n+(-1)n-1•2n]+(-1)n•2nao
证明:
an=3n-1-2an-1=3n-1-2(3n-2-2an-2)
n-1n-22n-3
=3-2•3+2(3-2an-3)
n-1n-22n-33n-4
=3-2•3+2•3-2(3-2an-4)
n-1n-2只2只门-3/八n-1n-1/八nn
=3-2•3+2•3—•••+(—1)•2+(—1)•2ao
(-1)n•2nao前面的n项组成首项为3n-1,公比为一的等比数列,这n项的和为:
=[3n+(-1)n-1•2n]
•••an=[3n+(-1)n-1•2n]+(-1)n•2na0
♦七、待定系数法:
求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。
通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数,可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。
一般地,形如am=p
an+q(p兴I,pq丸)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法:
设
an1+k=p(an+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=—・,从而得等比数列
P-1
{an+k}。
1
例9、数列{an}满足a1=1,an=anJ+1(n>2),求数列{an}的通项公式。
2
11
解:
由an=—an.+1(n》2)得an—2=—(an—2),而a1—2=1—2=-1,
22
1
•数列{an-2}是以1为公比,一1为首项的等比数列
2
•-an-2=-
(1)n4•an=2-
(1)n4
22
说明:
通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{an-2},从而达到解决问题的目的。
练习、1数列{an}满足a1=1,3an1a-7=0,求数列{an}的通项公式。
17
解:
由3an1an-0得an1an
33
4
^an■1是
=23nJ-1
解:
设an1t=3(ant),则an1二3an2t—t=1,an11=3(an1)-n1n1
以(a11)为首项,以3为公比的等比数列=an•仁(a11)3=23=an点评:
求递推式形如anpanq(p、q为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造
新数列an4•―p(anq—)来求得,也可用"归纳一猜想一证明”法来求,这也是近年高考
P-11-p
考得很多的一种题型.
2、递推式为an^=pa.+qn*(p、q为常数)时,可同除qn4f,得
•1,令二書从而化
3、形如an彳=pananb(p=1、0,a0)
解法:
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令and■x(nT)•y=p(anxn•y),与已知
递推式比较,解出x,y,从而转化为'anxn-yf是公比为p的等比数列。
例11:
设数列lan:
:
a1=4,an=3anj■2n-1,(n_2),求an.
解:
令anix(n1)y=3何xny)
化简得:
ani=3an•2xn•2y-X
q
变式:
(2006,山东,文,22,本小题满分14分)
aai=二、点(n、2an卑一a.)
已知数列{an}中,2在直线y=x上,其中n=1,2,3…
([)令bn二an二-an-3,求证数列Ibn:
是等比数列;(n)求数列◎的通项;
2
4、形如anpananbnc(p=io,a0)
解法:
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令
22
an「x(n-1)-y(n1)p(an•xn•ync),与已知递推式比较,解出x,y,z.从而转
化为"an■xn2•yn•c"是公比为p的等比数列。
例12:
设数列a/:
a^4,a^3an^2n2-1,(n_2),求乳
5•递推公式为an2=pan1qan(其中P,q均为常数)。
解法一(待定系数法):
先把原递推公式转化为an2-san4=t(an十「san)
、s+t=p
其中s,t满足丿
0=—q
解法二(特征根法):
对于由递推公式an.2二pandqan,a1=〉,a2八给出的数列9n』,方
程x2-px-q=0,叫做数列玄』的特征方程。
若X1,X2是特征方程的两个根,当%=X2
时,数列的通项为an二Ax;」-Bx;‘,其中A,B由a1-「,a2--决定(即把n_1n_1
a,a2,X1,X2和n=1,2,代入a*-Bx?
,得到关于A、B的方程组);当x
时,数列"anf的通项为an=(A•Bn)X|n‘,其中A,B由a1=〉,a2二:
决定(即把
a1,a2,X1,X2和n=1,2,代入an=(ABn)x:
‘,得到关于A、B的方程组)。
例13:
已知数列d冲,a1=1,a2=2,a*2=2a*1•=an,求an。
33
变式:
1.已知数列*£n满足a1=1,a2=3,an2=3an1-2an(n,N).
(1)证明:
数列「an1-an[是等比数列;(II)求数列的通项公式;
(III)若数列{b」满足4t1^4b2^...4bn^=(a^1)bn(n^N*),证明和是等差数列
2.已知数列Bn匚中,a1=1,a^2,an1,—,求a“
33
3.已知数列£n[中,Sn是其前n项和,并且Sn1=4an2(n=1,2,IH),a=1,
⑴设数列bn二ani-2an(n=1,2,……),求证:
数列㈡是等比数列;
a
⑵设数列Cn卜,(n=1,2,),求证:
数列:
Cn?
是等差数列;⑶求数列<aj的通项公式及前n项和。
2
♦八:
特征根法。
1、设已知数列{an}的项满足ai=b,an1=cand,其中c=0,c=1,求这个数列的通项公式。
作出一个方
程x二ex•d,则当x0二a1时,an为常数列,即an=即当冷^时,an二bn•x0,其中{bj是以c为公比的等比数列,即bnfc:
b7-冷•
2.对于由递推公式an2=pandqan,印=〉,a2=给出的数列、an,方程x2-px-q=0,叫做数列
玄的特征方程。
若x1,x2是特征方程的两个根,当&=x2时,数列、anf的通项为an二Ax;'-Bx;-1,其
中A,B由a1=〉,a2二:
决定(即把382,捲必和n=1,2,代入an二Ax;'•Bx2",得到关于A、B的方程组);当捲=x2时,数列a1的通项为an=(A+Bn)x;°,其中A,B由a1=a,a2=0决定(即把
n1
a1,a2,X1,X2和n=1,2,代入a^(ABn)x1,得到关于A、B的方程组)。
例14:
(1)已知数列Q满足a1=a,a2=b,3an.2-5an彳■2an=0(n_0,n・N),求数列的通项
公式。
解法一(待定系数——迭加法)
由3an2-5an12a^0,得
2口」
an2_an1=3(an1_an),且a2_a1=b_a。
则数列:
n1-an[是以b-a为首项,-为公比的等比数列,于是
3
an1-an=(b-a)
(2)n‘。
把n=1,2,3,…;n代入,得
3
a?
-a1-b_a,
2
a3-a:
=(b-a)(),
3
a4-a^(b-a)(|)2,
•••
an—and二(b-a)
(2)n^。
3
把以上各式相加,得
(2)nJan〜al=(b〜a)[1(;)()一]3(b~a)。
333,2
1——
3
.an二[3—3
(2)n」](b—a)a=3(a一b)
(2)n」3b一2a。
33
解法二(特征根法:
这种方法一般不用于解答题):
数列
2
a
=b的特征方程是:
3x—^5x■2=0。
&7X2二,
3
an=Ax;」Bx;丄-AB(-)n1。
3
又由a1=a,a2=b,于是
A=3b-2a
=3(a—b)
2n1
故an=3b—2a3(a-b)()n
3
1a
3
13
解:
作方程x=-—x-2,则x0=-一•
32
1
数列{bn}是以-为公比的等比数列.
3
1n」111n」
于是5巾(-一)二;(-一),an
323
(2)•已知数列{an}满足:
an1
-2,nN,a^4,求a..
3
6=4时,a^j=x0,d=a1
2
11
2
.九:
不动点法,形如an1panq
ranh
解法:
如果数列{an}满足下列条件:
已知a1的值且对于n•N,都有and
pan
q(其中p、q、
ranh
为常数,且ph=qr,r=0,ai=-一),那么,可作特征方程x=
r
Pxq,当特征方程有且仅有一根
rxh
Xo时,则
1是等差数列。
当特征方程有两个相异的根x1、x2时,则
an一冷
是等比数列。
an—X2
a+4
例15:
已知数列{an}满足性质:
对于N,an_!
n,且a1
2an+3
-3,求{an}的通项公式•
13a-25例:
已知数列{an}满足:
对于n,N,都有an1n
an+3
(1)若印=5,求an;
(2)若印=3,求a.;(3)若a=6,求a.;(4)当a1取哪些值时,无穷数列{a.}不
存在?
变式:
(2005,重庆,文,22,本小题满分12分)
♦十:
换元法:
规律性。
(I)求b「b2、b3、b4的值;(n)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种,目的是代换后出现的整体数列具有
例16已知数列{耳}满足an勺
1
(14a^..124an),a^1,求数列{^}的通项公式。
16
即4常1=(bn3)2
因为bn24an一0,故bn1=、124a.1一0
小1
则2黑3,即时
1
可化为厲1亠尹-3),
所以{bn-3}是以b-3「;124^-3='1241-3=2为首项,以1为公比的等比数列,因此
1111
bn*”/,则r严3,即124an書严3,得
anW
(2)n3。
3423
1an
,求an。
通项公式。
例18.已知数列an丿满足a^i=丄,an1口
2
1
1an
解读:
设a1二
二cos,•••
an・1—
n,
2
3
1
2
JI
31
a2=cos—
a3—cos2
an-cosn1
6
2
3
23
总之,求数列的通项公式,就是将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项。
♦十一。
双数列
解法:
根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例19.已知数列;an/中,耳=1;数列(bn/中,b,=0。
当n一2时,
11
an(2an」bn」),bn(an二2bnG,求an,bn.
33
11
解:
因anbn(2an」bn」)•-(an^2bnj)二an八bnJ
33
所以an-b^an!
-bm=a^^bn=a2•b?
二a•b=1
即an-bn=1
(1)
111
又因为an-bn(2anjbn"--(an^2bnG(an』-bn」)
333
所以an—bn^〔(an」—bn」)rQranN—bnd)=……二(^心佝一^)
333
=
(1)ni.即an-bn—
(1)心
(2)
由
(1)、
(2)得:
anJ[1(丄)2],bn=丄[1_(丄)心]
2323
♦十二、周期型解法:
由递推式计算出前几项,寻找周期。
1
2an,(0兰an笃)6
例20:
若数列满足a.十=<,若a1=—,则a20的值为
17
2an-1,H兰an<1)
L2
变式:
(2005,湖南,文,5)
a«—v3*
已知数列{an}满足a1-0,an1(n,N),则a20=()
V3a+1
♦十三、分解因式法
当数列的关系式较复杂,可考虑分解因式和约分化为较简形式,再用其它方法求得an.
例21已知f(x)二(x「1)4,g(x)=r(x-1)3,(r=0,1),数列{a*}满足^2,a^1(n€N),且有
条件(a*-a^)g(n-1)f®J=0,求a*(n>2).
解:
由得:
oAo
(an_anl)r(anJ1)(anJ1)0即(an11)[r(an_anJ)(an」〔)]=0对n*N,
1r_1
an",故r(a^anj)(a.」-1)=0.合并同类项得:
a.a.」,再由待定系数法得:
rr
r-1
an-1(anJ_1).
r
r-1n」
•-an=1().
r
♦十四、循环法
数列有形如f(an・2,an1,an)=0的关系,如果复合数列构不成等差、等比数列,有时可考虑构成循环
关系而求出an.
例22••在数列{an}中,a1=1,a2=5色2二an1-a.,求a^.
解:
由条件%:
:
;3二an:
:
;2〜an:
:
;1=(an:
:
;1_ana^;;1
即an3=-a*,•an6=-Qn3=Qn,
即每间隔6项循环一次.1998=6X333,
••a1998=a6=_4.
十五、开方法
对有些数列,可先求.an或3an,再求an.
例23、两个数列{an},{bn},它们的每一项都是正整数,且对任意自然数n,an、bn、an1成等差数列,
bn、an1、bn1成等比数列,a1=1,a2=3,^=2,求an和bn.
2bn=an+an+1,①
解:
由条件有:
Y
由②式得:
an=Jbn」bn,③
ani=』bn①勺.④
把③、④代入①得:
2bn二.bn「b「..b"bn1,
变形得.,6C.b;-.,6」)二.6(、B1-小)•
Tbn>0,•••.6-bn」二.0-.0•
-bn是等差数列•因ai=1,a2=3,bi=2,
故b?
=2,故Jb?
_Jb|=^2_V2=J2,
•bn=n2bn=2n2,故a.=.60厂2n(n-1).
小结:
除了熟悉以上常见求法以外,对具体的数列进行适当的变形,一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。
做题时要不断总结经验,多加琢磨。
总结方法比做题更重要!
方法产生于具体数学内容的学习过程中.
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