《数列的概念与简单表示法》导学案.docx

《数列的概念与简单表示法》导学案.docx

《《数列的概念与简单表示法》导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数列的概念与简单表示法》导学案.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《数列的概念与简单表示法》导学案

《数列的概念与简单表示法》导学案

Q

某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28，…，78.

从1984年到2008年，我国共参加了7次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32,51.

这两个问题有什么共同特点呢？

X

1．数列的概念

按照一定顺序排列的一列数叫做__数列__.数列中的每一个数都叫做这个数列的__项__.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做__首项__.排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作an.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an…，简记为{an}．

注意：

（1）数列的定义中要把握两个关键词：

“__一定顺序__”与“__一列数__”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．

（2）项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置．

（3）{an}与an是不同概念：

{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项．

（4）数列的简记符号{an}，不能理解为集合{an}，其区别如下表：

数列

集合

示例

区

别

数列中的项是有序的，两组相同的数字，按照不同的顺序排列得到不同的数列

集合中的元素是无序的

如数列1,3,4与1,4,3是不同的数列，而集合{1,3,4}与{1,4,3}是相等集合

数列中的项可以重复出现

集合中的元素满足互异性，不能重复出现

如数列1,1,1，…每项都是1，而集合则不可以

2.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的__通项公式__.

注意：

①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数表达式，即an＝f（n）．

②已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．

③同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如精确到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示．

3．数列的分类：

（1）按项数分类：

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.

（2）按数列的每一项随序号的变化情况进行分类：

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.即an＋1>an（n＝1,2,3…）．

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.即an＋1

各项相等的数列叫做常数列．

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.

Y

1．下列说法正确的是（　C　）

A．数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}

B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列

C．数列{}的第k项是1＋

D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}

[解析]　{1,2,3,5,7}是一个集合，所以A错；由于数列的项是有顺序的，所以B错；数列{}的第k项是＝1＋，C正确；而D中数列应表示为{2（n－1）}．

2．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（　B　）

A．第22项　B．第23项　

C．第24项　D．第28项

[解析]　∵3＝，∴令2n－1＝45，得n＝23.

3．（2018－2019学年度吉林汪清六中高二月考）在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是（　B　）

A．82　　　B．107　　

C．100　　D．83

[解析]　设这个数列为{an}，∵9－2＝7,23－9＝14,44－23＝21,72－44＝28，

∴a6－72＝35，∴a6＝107，故选B．

4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是__15__.

[解析]　∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，

∴，∴x＝15.

5．已知数列{an}的通项公式是an＝，其中n∈N*.

（1）写出a10，an＋1；

（2）79是不是这个数列中的项？

如果是，是第几项？

如果不是，请说明理由．

[解析]　

（1）将n＝10代入an，得a10＝＝.

将n＋1代入an，得

an＋1＝＝.

（2）不妨设79是这个数列中的第n项，则

an＝＝79，即n2＋n－1＝239.

解得n＝15或n＝－16（舍去负值），

∴79是数列{an}中的第15项．

H

命题方向1　⇨数列的概念及分类

例题1下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　C　）

A．1，，，，…

B．sin，sin，sin，…

C．－1，－，－，－，…

D．1，，，…，

[解析]　D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C．

『规律总结』　解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．

〔跟踪练习1〕

已知下列数列：

（1）2000,2004,2008,2012；

（2）0，，，…，，…；

（3）1，，，…，，…；

（4）1，－，，…，，…；

（5）1,0，－1，…，sin，….

其中，有穷数列是

（1），无穷数列是__

（2）（3）（4）（5）__，递增数列是__

（1）

（2）__，递减数列是__（3）__，摆动数列是__（4）（5）__，周期数列是__（5）__（将合适的序号填在横线上）．

[解析]　

（1）是有穷递增数列；

（2）是无穷递增数列（因为＝1－）；

（3）是无穷递减数列；

（4）是摆动数列，也是无穷数列；

（5）是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.

命题方向2　⇨已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式

例题2写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数．

（1）1，2，3，4，…；

（2）11,102,1003,10004，…；

（3）9,99,999,9999，…；

（4），2，，8，.

[分析]　通过适当变形（如裂项）观察项的变化规律求解．

（1）把每一项分成整数和分数两部分；

（2）把每项分别可写成10＋1,100＋2等；（3）可把每项写成10－1,100－1等；（4）把2和8都改写成以2为分母的分数．

[解析]　

（1）这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4，…，恰好是序号n；分数部分分别为，，，，…，与序号n的关系是，

所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋＝.

（2）这个数列可以改写为10＋1,100＋2,1000＋3,10000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n＋n.

（3）这个数列可以改写为10－1,100－1,1000－1,10000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n－1.

（4）将每一项都统一写成分母为2的分数，即，，，，，…，所以它的一个通项公式是an＝.

『规律总结』　根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：

①各项的符号特征；②分式的分子、分母特征；③相邻项的变化规律（绝对值的增减）．处理方法常用的有：

①化异为同（统一分子、或分母的结构形式）；②拆项；③用（－1）n等表示符号规律；④与特殊数列（自然数、偶数、奇数、自然数的平方，2n等）的联系．

〔跟踪练习2〕

（1）数列，，，1，，，…的一个通项公式为__an＝__；

（2）数列1,2，3，8,5，6，7，…的一个通项公式为__an＝n__；

（3）数列1，－，，－，，…的一个通项公式为__an＝（－）n－1__.

[解析]　

（1）先把各项都写成分数形式，注意到4＝2×2，可以把分母不是4的项改写成分母为4的情形，即，，，，，，…，∴an＝.

（2）先将数列中的部分项作调整，使之都含有根号和系数1，2，3，4，5，6，7，…，

∴an＝n.

（3）奇数项为正，偶数项为负，可由（－1）n－1来实现，分子全为1，分母依次为20,21,22,23，…，

∴an＝，

即an＝（－）n－1.

命题方向3　⇨数列通项公式的应用

例题3已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

（1）写出数列的第4项和第6项；

（2）－49和68是该数列的项吗？

若是，是第几项？

若不是，请说明理由．

[解析]　

（1）∵an＝3n2－28n，

∴a4＝3×42－28×4＝－64，

a6＝3×62－28×6＝－60.

（2）令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，

∴n＝7或n＝（舍）．

∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.

令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，

∴n＝－2或n＝.

∵－2∉N*，∉N*，

∴68不是该数列的项．

『规律总结』　判断某数是否为数列中的项的方法及步骤

①将所给项代入通项公式中；

②解关于n的方程；

③若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．

〔跟踪练习3〕

已知数列的通项公式为an＝，试问和是不是它的项？

如果是，是第几项？

[解析]　令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N*，

故将n＝－8舍去，

所以是该数列的第5项．

令＝，则4n2＋12n－27＝0，

解得n＝或n＝－，

注意到n∈N*，所以不是此数列中的项．

Y混淆数列概念的有序性致错　

例题4写出由集合{x|x∈N*，且x≤4}中的所有元素构成的数列（要求首项为1，且集合中的元素只出现一次）．

[错解]　集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}，所以所求数列为1,2,3,4.

[辨析]　错解中混淆了数列概念的有序性．

[正解]　集合可表示为{1,2,3,4}．由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个，分别是1,2,3,4；1,3,2,4；1,2,4,3；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2.

X　求数列的最大（小）项的方法　

求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项，若数列的项是正负交替出现的，求最大（或小）项，应在其正（或负）项中找．

例题5

（1）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.

①数列{an}中有多少项是负数？

②当n为何值时，an有最小值？

并求出最小值．

（2）已知数列{an}的通项公式an＝（n＋1）（）n（n∈N*），试问数列{an}有没有最大项？

若有，求出最大项；若没有，说明理由．

[解析]　

（1）①由n2－5n＋4<0得（n－1）（n－4）<0，解得1

∵n∈N*，∴n＝2,3.

∴数列中有两项是负数．

②∵an＝n2－5n＋4＝（n－）2－，可知对称轴方程为n＝2.5.

又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.

（2）假设数列{an}中存在最大项．

∵an＋1－an＝（n＋2）（）n＋1－（n＋1）·（）n＝（）n·，

当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1

故a1a11>a12>…，

所以数列中有最大项，最大项为