平面向量的数量积的性质.docx
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平面向量的数量积的性质
■J
平面向量的数量积的性质
【问题导思】
已知两个非零向量a,b,B为a与b的夹角.
1.若ab=0,则a与b有什么关系?
【提示】ab=0,a^0,0,二cosA0,A90°a丄b.
2.aa等于什么?
【提示】|a||a|cos0°=|a|.
(1)如果e是单位向量,则ae=ea=|a|cos〈a,e〉
(2)a丄b?
ab=0;
(3)aa=|a|2即|a|=aa;
ab
(4)cos〈a,b〉=|a|「b|(lallbl工0);
(5)|ab|<|a||b|.
gj
平面向量数量积的运算律
(1)交换律:
ab=ba;
⑵分配律:
(a+b)c=ac+bc;
⑶数乘向量结合律:
对任意实数入,%ab)=(砂b=
1
丄靱1
J
向量的数量积运算
卜例
□
(2013海淀高一检测)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为
120°
(1)求ab;⑵求a在b方向上的射影的数量.
【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解
【自主解答】
(1)ab=|a||b|cos9
5⑵11a|cosA5Xcos120=—
5
•••a在b方向上的射影的数量为一2.
I规律方法I
1.在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“•连接,而不能用“X”连接,更不能省略不写•
2.求平面向量数量积的方法
(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式ab=|a||b|cos9
(2)
若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量,可利用数量积的几何意义求ab.
>变曲训练
1.(2013玉溪高一检测)已知|a|=6,|b|=3,ab=—12,则a在b方向上的射影的数量是()
【答案]A
2.已知|a|=6,e为单位向量,当向量a、e之间的夹角9分别等于45°90°
135°时,分别求出ae及向量a在e方向上的正射影的数量.
当向量a和e之间的夹角B分别等于45°90°135°时,a在e方向上的正
射影的数量分别为:
|a|cosA6Xcos45°=32;
|a|cosA6Xcos90°=0;
|a|cosA6Xcos135°=一32.
与向量模有关的问题
+bl;
(2)|(a+b)(a-
-2b)|.
【思路探究】
【自主解答】
22
=16,b=|b|=4.
利用aa=a2或|a|=a2求解.
由已知ab=|a||b|cos0=4X2Xcos120°=—4,a2=|a|2
2222
⑴•••|a+b|=(a+b)=a+2ab+b=16+2X(—4)+4=12,二|a+b|=23.
22
(2)v(a+b)(a—2b)=a—ab—2b=16—(—4)—2X4=12,/•|(a+b)(a—2b)|=12.
I规律方法I
1.此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系•
2.利用aa=a2=|a|2或|a|=a2,可以实现实数运算与向量运算的相互转
化•
►SH训绒
设&、e2是夹角为45°的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,试求|a+b|的值.
【解】va+b=(e1+2e2)+(2e1+e2)=3(e1+e2),
|a+b|=|3(e1+e2)|=3|&+e2|=3\:
:
e+e22
=3e1+2e1e2+e2=3\;2+,2.
」
与向量夹角有关的问题
卜例E3
(2014济南高一检测)若向量a,b,c两两所成的角均为120°,
且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b与向量a+c的夹角B的余弦值.
【思路探究】先利用已知条件,分别求出(a+b)(a+c),|a+b|和|a+
c|的大小,再根据向量的夹角公式求解.
2
【自主解答】T(a+b)(a+c)=a+ab+ac+be
9=1+1X2Xcos1200+1x3Xcos120°+2X3Xcos120°=—㊁,
|a+b|(a+bf=寸a2+2ab+b2
=12+2X1X2Xcos「1200+22=3,
|a+c|=a2+2ac+c2=7,
9
—(a+b)(a+c)23回
|a+b||a+c|芒x^14
I规律方法I
1.求向量a,b夹角的流程图
2.当题目中涉及向量较多时,可用整体思想代入求值,不必分别求值,以避
免复杂的运算.
•娈itilll练
(1)(2014辽宁师大附中高一检测)若向量a与b不共线,ab丰0,且c=a
a_ab,则a与c的夹角为()
nn、
A.0B.6C.3D.
⑵(2014贵州省四校高一联考)若|a|=2,|b|=4且(a+b)丄a,则a与b
的夹角是()
n
c工0,Aa丄c,a与c的夹角为㊁,故选D.
(2)因为(a+b)丄a,所以(a+b)a=a2+ab=0,即卩ab=—a2=—4,所以
ab—412n
cos=|a||—b|=2x4=—2,又因€[0,n,所以a与b的夹角是3,故选A.
【答案】
(1)D
(2)A
易我易误辨析巧》孵解疑辨保迓”隔胖”|肆鲁节
混淆两向量夹角为钝角与两向
量数量积为负之间关系致误
典例设两向量ei,e2满足:
|ei|=2,|e|=1,ei,e2的夹角为60°.若向量2tei+7e2与向量ei+1e2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
1
【错解】由已知得e1e2=2x1x2=1,于是
(21e1+7e2)(e1+1e2)=2te1+(21+7)e1e2+7te2=2t+15t+7.
因为2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,
21
所以2t2+15t+7<0,解得一7 【错因分析】当两向量反向共线时,其数量积为负,但夹角不是钝角而是平角. 【防范措施】若两向量的夹角为钝角,则这两向量的数量积为负;反之不 成立,因为两向量反向共线时,夹角为平角,即180。 ,其数量积也为负. 1 【正解】由已知得e1e2=2x1x2=1,于是 (21e1+7e2)(e1+1e2)=2te1+(21+7)e1e2+7te2=2t+15t+7. 因为2tei+7e2与ei+te2的夹角为钝角, 所以2t+15t+7<0,解得—7 但是,当2tei+7e2与ei+1氏异向共线时,它们的夹角为180° 也有2t2+15t+7<0,这是不符合题意的 此时存在实数人使得 2tei+7e2=? (ei+1e2),即2t=入且7=2t,解得t 故所求实数t的取值范围是—7,——;U—亠;4, 交谥学习恆i B.若R=0,则a=0或A0 C.若a=b,则a=b或a=—b D.若ab=a•,贝Ub=c 【解析】由向量数量积的运算性质知AC、D错误. 【答案】B 2.(2013安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹 角的余弦值为 【解析】由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+ 1 3. 【答案】 3.已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°则向量a在向量b方向上的射影是. 【解析】 1 向量a在向量b方向上的射影是|a|cos60°=4X? =2. 【答案】2 4.已知|a|=4,|b|=5,当⑴a//b; (2)a丄b;(3)a与b的夹角为30°时,分别求a与b的数量积. 【解】⑴当a/b时,若a与b同向,贝UA0° •••ab=|a||b|cos0°=4X5=20; 若a与b反向,贝UA180° •ab=|a||b|cos1804X5X(—1)=—20. n (2)当a丄b时,=? n •ab=|a||b|cos2=4X5X0=0. ⑶当a与b的夹角为30°时, 一、选择题 1.|a|=1,|b|=2,c=a+b且c丄a,则a与b的夹角为() A.30°B.60° C.120°D.150° 【解析】c±a,设a与b的夹角为B,则(a+b)a=0,所以a2+ab=0, 所以a2+|a||b|cos0=0, 1 则1+2cos0=0,所以cos0=—2’所以0=120°故选C. 【答案】C 2.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且(a+2b)(a—3b)=—72,贝Ua 的模为() A.2B.4C.6D.12 【解析】t(a+2b)(a—3b)=a2—ab—6b2 =|a|2—|a|(b|cos60。 —6|b|2 =|a|2—2|a|—96=—72, •••Ia|2—2|a|—24=0, 二|a|=6. 【答案】C 3.△ABC中,ABACK0,贝9厶ABC是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形 【解析】 ———— TABAC=|AE||AC|cosAv0, •cosAv0.•A是钝角.ABC是钝角三角形. 【答案】C 4.(2014怀远高一检测)已知i与j为互相垂直的单位向量,a=i—2j,b= i+i且a与b的夹角为锐角,则实数入的取值范围是() A.(—s,—2)U2,㊁丿 【解析】Tab=(i—2j)(i+i)=1—2A>0, 1 +i), •1, —2=k入 •••i<2,又a、b同向共线时,ab>0,设此时a=kb(k>0),则i—2j=k(i •后一2,二a、b夹角为锐角时,i的取值范围是(一s, —2)U(—2,2J,故选A. 【答案】A 5. (2014皖南八校高一检测)在厶OA叭,已知OA=4,OB=2,点P是AB的 垂直平分线I上的任一点,则OPA吐() ———————1— 【解析】 设AB的中点为M,则OPAB=(OM+MpA吐OMAB=2(OA+ —————1———— OB(OB—OA=2(°B—OA)=—6.故选B. 【答案】B 二、填空题 6.(2014北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120°|a|=1,|b|=3,则|5a—b|=. 3 【解析】因为ab=|a||b|cos120°=—2,所以|5a—b|=25a—10ab+ 2b=25-10X—2+9=49,所以|5a-b|=7. 【答案】7 7.已知a丄b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与la-b垂直,J则入等于. 【解析】I(3a+2b)丄(l-b) •••(启-b)(3a+2b)=0, •••3l2+(2入—3)ab-2b2=0. 又•••|a|=2,|b|=3,a丄b, •-122+(2l-3)X2X3Xcos90—18=0, 3 •-122-18=0,.•2=2" 3【答案】2 8.(2014温州高一检测)已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b(a- b)=0,则|b|的取值范围是. 2 【解析】设a,b的夹角为9,由b(a-b)=0,得|b|(a|cos9-1b|= 0.解得|b|=0或|b|=|a|cos9=cos9<1,所以|b|的取值范围是[0,1]. 【答案】[0,1] 三、解答题 9.已知向量a、b的长度|a|=4,|b|=2. (1)若a、b的夹角为120°,求|3a—4b|; (2)若|a+b|=23,求a与b的夹角9 【解】 (1)ab=|a||b|cos120, (们 =4X2X--=-4. <2丿 又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2 22 =9X4-24X(-4)+16X2=304, •|3a-4b|=419. 2222 (2)v|a+b|=(a+b)=a+2ab+b =42+2ab+22=(23)2,
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- 关 键 词:
- 平面 向量 数量 性质