三年级奥数举一反三610课附每课作业.docx

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三年级奥数举一反三610课附每课作业

第6讲植树问题

一、知识要点

爸爸给晶晶出了一道题：

“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？

”晶晶一看，随口答题：

“27米。

”同学们，晶晶答对了吗？

这一类应用题我们通常称为“植树问题”。

解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。

解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长。

另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。

比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。

二、精讲精练

【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？

【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：

根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米），具体列式如下：

3×（9-1）=3×8=24（米）答：

第一棵和第九棵树相距24米。

练习1：

（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？

（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？

【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？

【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）。

42米长的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。

列式如下：

42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6=7（米）答：

相邻两棵树之间的距离是7米。

练习2：

在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？

【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？

【思路导航】我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。

列式如下：

28÷4+1=7+1=8（段）答：

这根钢管被锯成了8段。

练习3：

一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。

已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？

【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。

”照这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即他跑到了第10+1=11（楼）。

列式如下：

（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1=2×5+1=11（楼）

答：

甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。

练习4：

小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？

【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？

【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗300÷6=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是50面。

300÷6=50（面）答：

跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。

练习5：

（1）有一个正方形水池，周长是200米。

如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。

问水池周围一共装了几盏红灯？

几盏黄灯？

（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。

每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。

问樟树和柳树各栽了多少棵？

第7讲简单推理

一、知识要点

数学课上，老师布置了一道题：

□＋△=28□=△＋△＋△□=（）△=（）

要得出正确的结论，就要进行分析、推理。

学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。

数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。

解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。

二、精讲精练

【例题1】下式中，□和△各代表几？

□＋△=28□=△＋△＋△□=（）△=（）

【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。

练习1：

1．☆＋○=18☆=○＋○☆=（）○=（）

2．△＋○=25△=○＋○＋○＋○△=（）○=（）

3．○＋□=36○=□＋□＋□＋□＋□○=（）□=（）

【例题2】下式中，□和△各代表几？

□×△=36□÷△=4□=（）△=（）

【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×△=36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。

练习2：

1．○和□各表示几？

○×□=16□÷○=4○=（）□=（）

2．想想，填填。

○×△=20○=△＋△＋△＋△＋△○=（）△=（）

3．□和○各代表几？

□=○＋○＋○＋○○×□=16□=（）○=（）

【例题3】下式中，□和△各代表几？

□＋□＋△=16□＋△＋△=14□=（）△=（）

【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。

练习3：

1．□＋□＋○＋○=38□＋□＋○=22□=（）○=（）

2．□＋□＋□＋△＋△=52□＋□＋△＋△＋△=48

□=（）△=（）

3．○＋△＋□＋□=10△＋□＋△＋□=12△＋○＋□＋○=12

○=（）□=（）△=（）

【例题4】下式中，□和○各代表几？

□＋□＋○＋○＋○=34○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48

□=（）○=（）

【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○，用48减去34得到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。

所以，○=34－14×2=6，□=（34－6×3）÷2=8。

练习4：

1．☆＋☆＋△＋△＋△=24△＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36

☆=（）△=（）

2．○＋○＋○＋△＋△=54△＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76

○=（）△=（）

3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96△＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123

□=（）△=（）

【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？

☆＋☆=□＋□＋□□＋□＋□=△＋△＋△＋△☆＋□＋△＋△=80

☆=（）□=（）△=（）

【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4个△，那么1个☆等于2个△。

在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。

练习5：

1．△＋△=○＋○＋○○＋○＋○=□＋□＋□○＋□＋△＋△=100

○=（）□=（）△=（）

2．○＋○=□＋□＋□□＋□＋□=△＋△△＋□＋○=40

△=（）□=（）○=（）

3．□＋□=○＋○＋○○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆

□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320

○=（）□=（）☆=（）

第8讲算式谜

一、知识要点

一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。

解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。

解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。

分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。

二、精讲精练

【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

答案：

【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。

（算式见右上）

练习1：

在□里填上适当的数，使算式成立。

【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？

【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积想起，

，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为一位数，这个数只能是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为

。

练习2：

在□里填上适当的数，使算式成立。

【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

答案：

【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。

容易知道，被除数的十位数字比7大，只可能是8或9。

如果十位数字是8，那么商的个位只能是2；如果十位数字是9，那么商的个位是3或4。

所以，这道题有三种填法（见上页）。

练习3：

□里可以填哪些数字？

【例题4】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

答案：

【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被除数个位上应填7；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时

，因而除数可能是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3，而商的百位上为0，商的千位是8或3，所以一共有两种填法（见上）。

练习4：

在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

【例题5】在下面□中填入适当的数，使算式成立。

答案：

【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除数为6。

再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万位是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，个位是8。

（填法见上）

练习5：

在下面□中填入适当的数，使算式成立。

第9讲乘法速算

一、知识要点

我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。

其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。

计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再扩整”。

两位数、三位数及更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。

比如两位数乘以11，我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。

”

二、精讲精练

【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？

（1）26×11

（2）57×11（3）253×11（4）467×11

【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位……，哪一位上满十就向前一位进一。

（1）26×11=286

（2）57×11=627（3）253×11=2783（4）247×11=2717

练习1：

很快算出下面各题的结果。

（1）12×11

（2）34×11（3）25×11（4）11×44

（5）48×11（6）65×11（7）11×75（8）87×11

（9）124×11（10）305×11（11）439×11（12）872×11

【例题2】下面的乘法计算有规律吗？

（1）25×24

（2）21×25（3）25×427（4）1998×25

【思路导航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，有几个4就有几个100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。

（1）25×24=100×6=600

（2）21×25=100×5+25=525

（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675

（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950

练习2：

速算。

（1）12×25

（2）34×25（3）25×121（4）25×46

（5）148×25（6）643×25（7）25×7252（8）5678×25

【例题3】很快算出下面各题的结果。

（1）24×15

（2）248×15（3）5678×15

【思路导航】因为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+5），也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用36×10=360。

一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。

具体过程如下：

（1）24×15

（2）248×15（3）5678×15

=（24+12）×10=（248+124）×10=（5678+2839）×10

=36×10=360=372×10=3720=8517×10=85170

练习3：

很快算出下面各题的结果。

（1）34×15

（2）436×15（3）8472×15

【例题4】很快算出下面各题的结果。

（1）45×9

（2）32×99（3）78×999

【思路导航】

（1）我们可以先用45×10=450，这样就多加了一个45，因此我们还要从450中减去1个45，即450-45=405。

（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从3200中减去1个32，即3200-32=3168。

（3）我们可以先用78×1000=78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000中减去1个78，即78000-78=77922。

从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数与99相乘，就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以1000，再减去这个数。

（1）45×9

（2）32×99（3）78×999

=45×10-45=32×100-32=78×1000-78

=450-45=405=3200-32=3168=78000-78=77922

练习4：

计算。

（1）32×9

（2）461×9（3）1234×9

（4）45×99（5）85×99（6）728×99

（7）24×999（8）3×999（9）56×999

【例题5】下面的乘法计算有规律吗？

（1）15×15

（2）25×25（3）35×35

（4）45×45（5）65×65（6）95×95

【思路导航】通过计算我们发现，个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1的积，例如：

我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。

练习5：

速算。

（1）55×55

（2）75×75（3）85×85

（4）105×105（5）125×125（6）995×995

第10讲添运算符号

一、知识要点

根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。

这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。

添运算符号问题，通常采用尝试探索法。

主要尝试方法有两种：

1．如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2．如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。

通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。

二、精讲精练

【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。

12345=1012345=10

12345=1012345=10

【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。

从结果10想起，最后一个数是5，可以从下面几种情况中想：

□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。

（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：

（1＋2）÷3＋4＋5=10（1＋2）×3－4＋5=10

（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：

1＋2＋3×4－5=10

（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：

（1×2×3－4）×5=10（1＋2＋3－4）×5=10

（4）从□÷5=10考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个数无法组成得数是50的算式。

练习1：

1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？

（1）4125=10

（2）4125=10

2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。

（1）34568=8

（2）34568=8

3．巧添运算符号，使等式成立。

（1）3333=1

（2）3333=2（3）3333=3

【例题2】拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（），使等式成立。

你能试一试吗？

8888=08888=18888=28888=3

【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：

（1）等于0的思考方法：

假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：

8＋8－（8＋8）=08×8－8×8=08－8－（8－8）=08÷8－8÷8=0

（2）等于1的思考方法：

假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到1，有：

（8＋8）÷（8＋8）=18×8÷（8×8）=18÷8÷（8÷8）=1

8×8÷8÷8=18÷8×8÷8=18÷（8×8÷8）=1

（3）等于2的思考方法：

假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：

8÷8＋8÷8=2

（4）等于3的思考方法：

假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：

（8＋8＋8）÷8=3

练习2：

1.在各数中添上＋、－、×、÷或（），使算式相等。

4444=04444=14444=2

4444=34444=44444=5

2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。

55555=055555=1

55555=255555=3

3.用8个8组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。

88888888=1000

【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。

4444=8

【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。

这道题最后得数是8，而最后一个数是4，我们可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。

（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：

4＋4－4＋4=84－4＋4＋4=84－（4－4）＋4=8

（2）从□－4=8考虑，□=12，前3个4必须组成得数是12的算式有：

4＋4＋4－4=84×4－4－4=8

（3）从□×4=8考虑，□=2，前面3个4必须组成得数是2的算式有：

（4＋4）÷4×4=8

（4）从□÷4=8考虑，□=32，前3个4必须组成得数是32的算式有：

（4＋4）×4÷4=84×（4＋4）÷4=8

练习3：

1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？

答

（1）9999=18

（2）5555=10

2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（），使算式成立。

答

（1）44444=8

（2）33333=9

3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。

答

（1）2356=6

（2）2356=6

【例题4】在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。

555555555555=1000

【思路导航】这道题的结果比较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000比较接近，如：

555＋555=1110这个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑出110减掉就可以了。

555＋555－55－55＋5－5=1000

练习4：

1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000。

333333333333=2000

2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000。

222222222=1000

3.用7个6组成4个数，使下面的算式成立。

6666666=600

【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。

987654321=21

【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在等号左边最后两个数字2、1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0，然后再用倒推的方法可以得出：

9－8＋7－6＋5－4－3=09－8＋7－6＋5－4－3＋21=21

练习5：

1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。

987654321=23

2.在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。

12345678=1

3.在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。

12345678=14