第17章函数及其图象.docx

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第17章函数及其图象

第17章函数及其图象

课题：

变量与函数

（1）

【学习目标】：

1、让学生了解变量与函数的相关概念，力求做到理解.

2、让学生理解并掌握函数的三种最常用的表示方法，并会用解析法表示数量关系.

【学习重点】变量与函数的概念

【学习难点】变量与函数的概念

情景导入生成问题

教学环节指导

行为提示：

创设问题情境导入，激发学生求知欲望.

行为提示：

让学生阅读教材，尝试完成“自主探研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流.

知识链接：

1、对于收音机而言，波长与频率的积是一个定值.

2、利率=

×100%.

解题思路：

将所有相应的x、y的值代入函数关系式，如果等式成立，则成立.

方法指导：

一个函数数中，至少有两个变量，而且自变量对因变量而言，是一一对应的关系.

旧知回顾：

1、在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题：

如图是某地一天内的气温变化图，请同学们看图回答：

⑴这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？

任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温。

⑵这一天中，最高气温是多少？

最低气温是多少？

⑶这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？

什么时段的气温在逐渐降低？

2、学生思考、讨论后，引导学生如何从图象中获取信息，并给出本题答案：

⑴这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；

⑵这一天中最高气温是5℃，最低气温是－4℃；

⑶这一天中，3～14时的气温在逐渐升高，0～3时和14～24时的气温在逐渐降低.

自学互研生成能力

知识模块一函数的表示方法

【自主探究】

1、图象法：

从上图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随

之变化.也就是说，我们可以用图来反映气温随时间变化的规律.

2、列表法：

下表是某年某月某银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：

存期

三月

六月

一年

二年

三年

五年

年利率（%）

1.7100

1.8900

1.9800

2.2500

2.4500

2.7500

随着存期的增长，相应的年利率也随着增长.也就是说，我们还可以用列表的方法来反映两个变化着的量之间的关系.

3、解析式法：

如λf=300000或f=

或S=πr2等，可以用一个等式来反映两个变化着的数量之间的关系.

4、不同的函数之间的表示方法也可以互相变换.

【合作探究】

例1、已知两个量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：

x

-1

0

1

y

-1

1

3

则y与x之间的函数关系式可能是（）

A.y=xB.y=2x+1C.y=x2+x+1D.y=

知识模块二常量、变量与函数的定义

【自主探究】

1、变量：

在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.

2、函数：

一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个

值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x

的函数.

学习笔记

1、函数的三种表示方法：

列表法、图象法、解析法；

2、当一个自变量对应唯一一个因变量时才是函数；

3、寻找函数解析式时，一般应建立等式，再写成左边只含

因变量、右边含变量的形式.

行为提示：

教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比.

学习笔记：

检测的目的在于让学生掌握函数中的变量、常量与表示方法，学会求简单的函数解析式.

3、常量：

在某一变化过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量.

【合作探究】

例2、写出下列各问题中两个变量间的关系式，并指出哪些量是变量，哪些量是常量.

⑴橘子每千克的售价是1.5元，则购买数量x（千克）与所付款y（元）之间的关系式.

⑵用总长为60m的篱笆围成矩形场地，则矩形的面积S与一边长x之间的关系式.

解：

⑴y=1.5x，x，y是变量，1.5是常量；

⑵S=-x2+30x，x，S是变量，-1，30是常量.

例3、声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称音速）与气温x（℃）有一定的关系，下表列出一组不同的气温时的音速：

气温x（℃）

0

5

10

15

20

音速（m/s）

331

334

337

340

343

⑴当气温x取0℃至20℃之间的一个确定的值时，相应的音速y确定吗？

⑵音速y可以看成是气温x的函数吗？

如果可以，请写出函数表达式.

解：

⑴确定；

⑵音速y可以看成是气温x的函数，此时y=0.6x+331.

交流展示生成新知

【交流预展】

1、将阅读教材时“生成的新问题“和通过“自主探究、合作探究”得出的

结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑。

2、各小组长由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”。

【展示提升】

知识模块一函数的表示方法

知识模块二变量、常量函数的定义

检测反馈达成目标

【当堂检测】

1、下列曲线中，表示y是x的函数是（）

A.①②④B.②③④

C.①②④D.②④⑤

2、甲、乙两地相距S（km），小明行完全程所用的时间t（h）与它的速度v（km/h）满足S=vt，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（）

A.S是变量B.t是常量C.v是变量D.S是常量

【课后检测】

1、一飞机从2100m的高空开始降落，每秒钟下降150m.

⑴写出飞机离地面的高度h（m）与降落时间t（s）之间的关系式，并指出其中的变量与

常量；

⑵填写下面的表格，并思考飞机从开始下降几秒钟后就会着陆.

降落时间t（s）

2

4

6

8

10

12

飞机离地面的高度h（m）

1800

1500

1200

900

600

300

解：

⑴h=-150t+2100；t，h是变量，-150，2100是常量；⑵下降14秒后飞机着陆.

课后反思查漏补缺

1.收获：

2.存在困惑：

课题：

变量与函数

（2）

【学习目标】：

1、让学生掌握函数、组合函数、实际问题中函数自变量的求法.

2、让学生学会已知自变量求函数值、已知函数值求自变量的方法.

【学习重点】函数自变量的求法.

【学习难点】实际问题中函数自变量的求法.

情景导入生成问题

教学环节指导

行为提示：

创设问题情境导入，激发学生求知欲望.

行为提示：

让学生阅读教材，尝试完成“自主探研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流.

知识链接：

1、分式

：

B≠0；

2、二次根式：

（a≥0）；

3、三角形角和为180o.

解题思路：

1、看清题目中的条件限制；

2、在实际问题中，切记不等号下是否带“=”号.

方法指导：

求组合函数自变量的取值范围时，有几个条件限制一般用“｛”号，表示并列的意思，若有排除时用“且”.

旧知回顾：

1、举一个生活中的实例，用实例中的量来说明什么是变量？

什么是自变量？

什么是因变

量？

什么是一个变量的函数？

答：

举例后，归纳：

一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对

于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此

时也称y是x的函数.

2、如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？

如果把这些涂黑的横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式.

自学互研生成能力

知识模块一函数自变量的取值范围

【自主探究】

1、求函数自变量取值范围的两个依据：

⑴应使函数的解析式有意义

①当函数的解析式为整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母不等于零；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于等于零.

⑵对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。

2、对于组合而成的函数，应该使每一个组成部分都有意义，最后将它们合并起来.

3、在“旧知回顾”中第2题：

发现y+x=10，即有函数关系式：

y=10-x，这个函数的右边

是一个整式，自变量x应为全体实数，又因为是10以内的正整数的加法，所以自变

量x的取值范围是：

1≤x≤9，且x为正整数.

【合作探究】

例1、（2016·娄底）函数

的自变量x的取值范围是（）

A.x≥0且x≠2B.x≥0C.x≠2D.x＞2

分析：

这是一个组合函数：

由二次根式与分式组成，由

得：

x≥0且x≠2.

例2、等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自

变量x的取值范围.

解：

由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得：

2x+y=180

∴y=180-x

学习笔记

1、函数中，每一个自变量都有自己的取值范围；

2、善于挖掘题目中的隐含条件；

3、实际问题考虑不等号是否带“=”号；

4、组合函数的自变量的求法；

5、求函数值与自变量的值的过程和格式都是固定的，要牢记.

行为提示：

教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比.

学习笔记：

检测的目的在于让学生进一步熟悉函数自变量取值范围的求法以及函数值的求法.

∵

∴0

知识模块二函数值的求法

【自主探究】

1、求函数值时，需要利用“代入法”将自变量的值代入求出函数值.

2、求自变量的值时，需要利用“代入法”将函数的值代入组成方程求出自变量的值.

【合作探究】

例3、汽车从A地驶往相距840km的B地，汽车的平均速度为70km/h，th后，汽车距B

地skm.

⑴求s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

⑵经过2h后，汽车离B地多少km？

⑶经过多少h，汽车离B地还有140km？

解：

⑴∵s+70t=840∴s=840-70t

∵

∴0≤t≤12.

⑵当t=2时，s=840-70×2=700

∴经过2h后，汽车离B地700km.

⑶当s=140时，140=840-70t解得：

t=10

∴经过10h，汽车离B地还有140km.

交流展示生成新知

【交流预展】

1、将阅读教材时“生成的新问题“和通过“自主探究、合作探究”得出的

结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑。

2、各小组长由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”。

【展示提升】

知识模块一函数自变量的取值范围

知识模块二函数值的求法

检测反馈达成目标

【当堂检测】

1、（2016·威海）函数

的自变量x的取值范围是（）

A.x≥－2B.x≥－2且x≠0C.x≠0D.x＞0且x≠－2

2、（2016·哈尔滨）函数

中，自变量x的取值范围是________.

3、某汽车油箱中有油40升，且汽车每千米耗油0.1升.

⑴求油箱中剩油量Q（升）与汽车行驶路程x（千米）的函数关系式，并写出自变量x

的取值范围；

⑵当油箱中还有20升油时，汽车行驶了多少千米？

⑶当汽车行驶350千米时，油箱中剩多少升油？

解：

⑴Q=40-0.1x，0≤x≤400；⑵200；⑶5.

【课后检测】

课后反思查漏补缺

1.收获：

2.存在困惑：

课题：

平面直角坐标系

【学习目标】：

1、让学生认识并会画平面直角坐标系.

2、让学生体会平面直角坐标系，体会平面直角坐标系的地位和作用.

【学习重点】平面直角坐标系.

【学习难点】平面直角坐标系上的点与有序数对的对应关系.

情景导入生成问题

教学环节指导

行为提示：

创设问题情境导入，激发学生求知欲望.

行为提示：

让学生阅读教材，尝试完成“自主探研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流.

知识链接：

直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应。

也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的。

方法指导：

1、用例1体会和理解“有序实数对”的意义.

2、强调，表示一个点的一对数是有先后秩序的.

旧知回顾：

1、如图是一条数轴，我们已经知道，数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.点A、B的坐标是什么？

答：

点A的坐标是4，B的坐标是-2.5.

2、我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中，还会遇到利用平面图形

的位置关系问题，这些问题用一条数轴还能描绘吗？

。

答：

不能，因为数轴只能描绘一条直线，而平面图形是由多条直线组成的.

自学互研生成能力

知识模块一认识平面直角坐标系

【自主探究】

1、概念：

在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系.通常把其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点.

2、在平南面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实

数来表示.如图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作

垂线，垂足分别为点M、N，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标，依次写出点P的横坐标与纵坐标，得到一对有序实数（3，2），称为点P的坐标，记为P（3，2）.

3、在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示

的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、

四象限.

4、坐标轴上的点不属于任何一个象限.

5、四个象限内的点的坐标的特征：

第一象限：

（+，+）；第二象限：

（-，+）；第三象限：

（-，-）；第四象限：

（+，-）.

6、两条坐标轴上的点的坐标的特征：

x轴正半轴上：

（+，0）；x轴负半轴上：

（-，0）；

y轴正半轴上：

（0，+）；y轴负半轴上：

（0，-）.

【合作探究】

例1、在一个直角坐标系中分别描出坐标是（2，3）、（-2，3）、（3，-2）的点Q、S、R，Q（2，3）与P（3，2）是同一点吗？

S（-2，3）与R（3，-2）是同一点吗？

解：

Q（2，3）与P（3，2）不是同一点；A（-2，3）与R（3，

-2）不是同一点.所标的点如右图.

知识模块二平面直角坐标系中各种对称关系的点的特征

【自主探究】

1、点P（x，y）关于x轴对称点P＇的坐标为（x，-y）；

2、点P（x，y）关于y轴对称点P＇的坐标为（-x，y）；

学习笔记

1、平面直角坐标系中的点的坐标是有序的；

2、象限是以逆时针记的，坐标轴不属于任何一个象限；

3、绘制点的坐标时，垂直于两轴的垂线的交点即为所求的点；

4、关于x、y轴对称的点：

关于谁对称，谁不变，另一个变为它的相反数；关于原点对称，都变为它的相反数.

行为提示：

教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比.

学习笔记：

检测的目的在于让学生熟悉平面直角坐标中点的画法，对称点的特征，以及根据所给的图形建立平面直角坐标系求顶点的坐标，在没有图形的情况下，一定要考虑充分.

3、点P（x，y）关于原点对称点P＇的坐标为（-x，-y）；

【合作探究】

例2、在直角坐标系中描出点A（2，-3），分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，

并写出这些点的坐标。

观察上述写出的各点的坐标，回答：

⑴关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

⑵关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

⑶关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？

解：

所画的图如图：

⑴关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标绝对值相等，

符号相反；

⑵关于y轴对称的两点，横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

⑶关于原点对称的两点，横坐标绝对值相等，符号相反，横坐标绝对值也相等，纵坐标相反.

交流展示生成新知

【交流预展】

1、将阅读教材时“生成的新问题“和通过“自主探究、合作探究”得出的

结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑。

2、各小组长由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”。

【展示提升】

知识模块一认识平面直角坐标系

知识模块二平面直角坐标系中各种对称关系的点的特征

检测反馈达成目标

【当堂检测】

1、在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点在（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

2、已知点A（-4，a），B（-2，b）都在第三象限的角平分线上，是a+b+ab=.

3、点P关于x轴的对称点的坐标为（2，3），则点P关于原点的对称点的坐标是____.

4、在右图直角坐标系中描出下列各点.

⑴（2，0）、（0，-3）、（3，-3）、（5，0）

⑵（0，0）、（2，4）、（4，4）、（6，0）

连结每组各点，观察所得图形是什么图形。

解：

图略；⑴平行四边形；⑵等腰梯形.

【课后检测】

1、点P（x，y）在第二象限，有

=1，

=2，则点

P的坐标为（）

A.（-1，2）B.（1，-2）C.（-2，1）D.（2，-1）

2、已知点P（a+1，2a-3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是______.

3、已知等边△ABC边长AB=4，以AB边所在的直线为x轴（横轴），A点为坐标原点建

立直角坐标系，求△ABC三顶点的坐标.

解：

A（0，0），B（4，0），C（2，

）或C（2，-

）.

课后反思查漏补缺

1.收获：

2.存在困惑：

课题：

函数的图象

【学习目标】：

1、让学生掌握用描点法画出一些简单函数的图象.

2、让学生理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.

【学习重点】函数与图象的关系.

【学习难点】解析法和图象法表示函数关系的相互转换.

情景导入生成问题

教学环节指导

行为提示：

创设问题情境导入，激发学生求知欲望.

行为提示：

让学生阅读教材，尝试完成“自主探研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流.

知识链接：

1、直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示；

2、S△=

×底×高.

解题思路：

根据直角坐标系上每一个点的位置确定图象的趋势，需要多分画几个阶段的图形，可以发现△ADP的面积的变化如何.

方法指导：

确定选哪一个函数图象时，一般采用分画图形进行.

旧知回顾：

1、如图：

怎样从图上找到各个时刻的气温的？

答：

图中的直角坐标系中，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温，

这一气温曲线实质上给出了某日的气温T（℃）与时间t（时）的函数关系.例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是（10，2），实质上也就是说，当t=10时，对应的函数值T=2，气温曲线上每一个点的坐标（t，T），表示时间为t时的气温是T.

2、在生活中，你能再举一个这样的例子吗？

自学互研生成能力

知识模块一函数图象

【自主探究】

1、一般来说，函数的图象是由直角坐标系中一系列的点组成的图形.图象上每一点的坐

标（x，y）代表了函数的一对对应值。

它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标

y表示与该自变量对应的函数值.

2、确定某一变化的函数图象时，一般应看每一时刻自变量对应的函数值发生了什么变化，

由变化趋势再来确定哪一个图象类似.

【合作探究】

例1、（2016·荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象（）

分析：

点P的运动路径在整个运动过程中发生了改变，在向点B运动的过程中，随着

运动路程x的增大，△ADP的面积y也在增大，此时排除B、D；当在BC边上运动时，

随着运动路程x的增大，△ADP的面积y缺在减小，故选C.

知识模块二画函数图象

【自主探究】

1、由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行：

⑴列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值；

⑵描点：

以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

⑶连线：

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来.

学习笔记

1、根据描述情形选择图形的方法；

2、画函数图象的一般步骤：

列表，描点，连线.

3、描点越多，图象越准确.

行为提示：

教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比.

学习笔记：

检测的目的在于让学生熟悉生活中的一些现象可以用函数图象来描述，同时会判断一个点是否在函数图象上的方法.

2、描出的点越多，图象越精确，有时不宜把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画

出的点，从而得到函数的近似的图象.

【合作探究】

例2、画出函数y=x+1的图象.

解：

取自变量x的一些值，例如x=-3，-2，-1，0，1，2，3…，计算出对应的函数

值。

为表达方便，可列表如下：

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

y

…

-2

-1

0

1

2

3

4

…

由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：

…，（-3，-2），（-2，-1），（-1，0），（0，1），（1，2），（2，3），（3，4），…

在直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点，如图所示:

用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示.

交流展示生成新知

【交流预展】

1、将阅读教材时“生成的新问题“和通过“自主探究、合作探究”得出的

结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑。

2、各小组长由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”。

【展示提升】

知识模块一函数图象

知识模块二画函数图象

检测反馈达成目标

【当堂检测】

1、（2016·贵州）为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，上升

的国旗，下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间关系

（）

2、下列各点中，在函数y=0.5x2图象上的是（）

A.（1，1）B.（-1，1）C.（-2，2）D.（-3，3）

3、若点P（a+2，a-2）是某函数的图象与y轴的交点，则点P的坐标是.

【课后检测】

课后反思查漏补缺

1.收获：

2.存在困惑：

课题：

函数的图象

（2）

【学习目标】：

1、让学生初步体会函数图象在实际生活中的应用.

2、让学生学会从图象中获取有用的信息.

【学习重点】如何从图象中获取信息.

【学习难点】如何从图象中获取信息.

情景导入生成