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高等教育概率论四种收敛性
第三章
3・1四种收敛性
车贝晓夫不等式
2
几乎处处收敛
3
依概率收敛
4
依分布收敛
5
r■阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有I•阶绝对矩,EX「<00,
则对任意£>0有
P(\X\>s)<^4-
P(\X\>£)=fdF(x) x -\rdF(x) 【证明】设X的分布函数为F(x),则有: 1r00ir <—-fxdF(x)』J・8 引理的特殊情况: P(|X|>£)<纟甲 取一2,并以X・E(X)代替X得车贝晓夫不等式* 2 <00, 【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X有2阶中心矩,E[X-E(X)]则对任意£>0有 p(|x-e(x)|>^)<^2 【证明】设X的分布函数为尸(兀),则有: DX=f(x-E(X))2JF(x)>f(x-E(X))2dF(x) \x-E(X)\^ >J£2dF(x) =e2P{\X-E(X)\>e} 从而尸(|X-E(X)\>e)<代耳<=^>P(\X一E(X)\<^)>1-2^ 88 P(\X-E(X)\ 8 由车贝晓夫不等式可以看出,若b? 越小,贝! I事件[\X-E(X)\<£]的概率越大,即随机变量X集中在期望附近的可能性越大. 特别地,若D(X)=O,则对任意£>0,恒 g}|0-因此P{XHE¥}=0,即P{X=EX}=1,所以方差为0的随机鑼是常数菱 P{\X-E(X)\> 当方差已知时,车贝晓夫不等式给出了/X与它的期望的偏差不小于8的概率的估计式・如取£=3b 2 P{IX-E(X)I>3 9(7屋 可见,对任给的分布,只要期望和方差亍存蠹则r.vX取值偏离超过3a的概率小于0.1117 二 车贝晓夫不等式的用途: 车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的 概率分布进行估计。 从车贝晓夫不等式还可以看出,对于给定的£>0,当方差越小 时,事件{IX・E(X)I2£}发生的概率也越小,即X的取值越集中在 E(X)附近.这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期 P{\X-E{X}\>S}<^^- 戶{IX-E(X)I%1-空孚 望值离散程度的一个量. 当D(X)已知时,车贝晓夫不等式给出了X与的偏差水于£ 的概率的估计值. 例1: 设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7,假定灯的开、关是相互独立的,使用车贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。 解令X表示在夜晚同时开着的灯数目, 则X服从210000,p=0.7的二项分布,这时 由车贝晓夫不等式可得: P{6800 =P{\X-70001<200}>1- 2100 2002 a0.95. E(X)=np=7000,D(X)=npq=2100.例2: 已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,标准差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率. 解: 设每毫升白细胞数为X依题意,E(X)=7300Q(X)=7002 所求为P(5200 P(5200 =P(-2100 =P{\X-E(X)\<2100} 由车贝晓夫不等式 P{\X-E(X)\<2100}>1--D(X) 一(2100)2 即估计每毫升白细胞数在5200〜9400之间的概率军 小于8/9・B 例3: 在每次试验中,事件A发生的概率为0・75,利 用车贝晓夫不等式求: 〃需要多么大时,才能使得在 〃次独立重复试验中,事件4出现的频率在0・74~0・76之 间的概率至少为0・90? 解: 设X为兀次试验中,事件A出现的次数, 则X~B(%0・75) 所求为满足 E(X)=0.75n,D(X)=0.75X0.25n=0.1875n P(0.74<—<0.76)>0.90 n 的最小的兀・ 解得 让冒8750 即〃取18750时,可以使得在兀次独立重复试验中, •二- 事件A出现的频率在0.74-0.76之间的概率至少为0丽. —■■■ 二、分布函数弱收敛 定义仁对于分布函数列{F”(x)},如果存在一个非降函数 F(兀)使 limFn(x)=F(x) 在F(x)的每一个连续点都成立,则称F”(兀)弱收敛于F(x) 记为恥 三、依分布收敛 定义2: 设随机变量打("1,2,…)和随机变量Y的分布函数分别为耳⑴⑺=1,2,.・・)和卩(兀),若在的所有连续点x上都有 则称随机变量序列{匕}依分布收敛于随机变量丫, limFn(x)=F(x) 简记为丫”— 依分布收敛表示: 当〃充分大时,Yn的分布函数 FnM收敛于丫的分布函数尸(兀),它是概率论中较弱的一种收敛性. 五、♦阶收敛 定义4: 设对随机变量打及丫有ER」' 其和>0为常数,如果 iimEiy„-yr=o MTOO 则称{打打阶收敛于丫,并记为Y„-^Y 特别的有1-阶收敛又称为平均收敛, 2-阶收敛又称为均方收敛。 均方收敛一定平均收敛 定义5: 设有随机变量序列{Y”(劲}和随机变量 Y(劲,若 p{o: limyn(d>)=y(c? )}=i tis 或简记为 P{limYn=Y}=l n—>QD 则称随机变量序列{乙}以概率1(或几乎处处)收敛于随机变量丫,简记为: 打亠—Y 下面定理揭示了四种收敛之间的关系O 定理4.2设随机变量序列{FJ和随机变量 ⑴若打亠-Y,贝! |Yn-^Y; (2)若Yn^-^Y,贝! J匕一^丫; 几乎处处收敛=>依概率收敛=>依分布收敛 r一阶收敛=>依概率收敛=>依分布收敛 几乎处处收敛和n阶收敛之间不存在推导关系 ⑶若打一^丫,贝! I・ p(|y/z-y|>^)< EYn-Y ⑵若打二,则Y”——Y; 【证明】由马尔可夫引理有,对任意$>0,有 又因为打—^人则由定义有: limEiy-yr=o rwn—>oo 所以 limP{l爲一Ylg}=0 n—>co 即: y―Y /i 例题11-2-1(2001,数一) 1、设变量X的方差为2,根据切比雪夫不等式估计 P(|X-E(X)|>2)< 解;在车贝晓夫不等式中,令£=2,由已知D(X)=2 所以P(|X-E(X)|>2)< D(X) 证明: 已知X,(心1,2,…加相互独立,且方差有限 证明limP "Too \ 1H1,Z 謨「誤Eg <8 丿 =1 、一r,一心亠=_—1吕一 n— E(Z)=E(X)=E(—工X,)=—E(工X,)二—工E(XJ —\n\n[巾 o(z)=D(X)=n(-£xz)=飞。 (工XJ=飞工。 (&)Mi=ift/=xna 由车贝晓夫不等式, ,代Az=x=—•,即: 、11z, £〃苗 ni=lnZ=1 P(\Z-E(Z)\ 因为D(XJVK,所以上式: n i=i (1w1w p\—厂—XJV£ {ni=ini=i 121 121 limP———QE(XJ<£>lima- 〃T8 W—>Q0 A)=1 ns 又由概率性质P<1 limP 1H1w <£=1 丿 l-^^l-^^
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