中考数学综合题专题以动点问题为基础的综合题二专题解析.docx
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中考数学综合题专题以动点问题为基础的综合题二专题解析
中考数学综合题专题【以动点问题为基础的综合题二】专题解析
31.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6.点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动;点Q从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动.运动过程中DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线PB-BC于点E.点P、Q同时出发,当点P到达点B时停止运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒.
(1)当t=______________秒,直线DE经过点B;当t=______________秒,直线DE经过点A;
(2)四边形DPBE能否成为直角梯形?
若能,求t的值;若不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,点E是BC的中点?
P
(4)以E为圆心,EC长为半径的圆能否与AB、AC、PQ同时相切?
若能,直接写出t的值;若不能,请说明理由.
(E)
解:
(1);2
提示:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6
∴BC===8
当直线DE经过点B时,连接QB,则PB=QB
∴(10-2t)2=t2+82,解得t=(舍去)或t=
E
当直线DE经过点A时,AP=AQ
∴2t=6-t,即t=2
(2)①当DE∥PB时,四边形DPBE是直角梯形
此时∠APQ=90°,由△AQP∽△ABC,得=
E
即=,解得t=
②当PQ∥BC时,四边形DPBE是直角梯形
此时∠AQP=90°,由△APQ∽△ABC,得=
即=,解得t=
E
(3)连接QE、PE,作EG⊥PB于G,则QE=PE
∵QE2=t2+42
PE2=PG2+EG2=(10-2t-×4)2+(×4)2
∴t2+42=(10-2t-×4)2+(×4)2
G
解得t=(舍去)或t=
(4)不能
设⊙E与AB相切于F点,连接EF、EP、EQ
则EC=EF,EQ=EP,∠ECQ=∠EFP=90°
∴△ECQ≌△EFP,∴QC=PF
∵∠C=90°,∴⊙E与AC相切于C点
∴AC=AF,∴AQ=AP
又AD=AD,DQ=DP
∴△ADQ≌△ADP,∴∠ADQ=∠ADP=90°
F
又∠QDE=90°,∴A、D、E三点在同一直线上
由
(1)知,此时t=2,AQ=6-t=4
∵AB=10,AC=6,∴sinB===
设EC=EF=x,则EB==x
∵EC+EB=BC,∴x+x=8
∴x=3,∴EC=EF=3
∴AE===3
易知△ADQ∽△ACE,∴=
∴=,∴AD=
∴ED=AE-AD=3-==
而EC=3=,∴ED>EC
∴此时⊙E与PQ相离
∴⊙E不能与AB、AC、PQ同时相切
32.(山东青岛)如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ⊥AB?
(2)当点Q在B、E之间运动时,设五边形PQBCD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)在
(2)的情况下,是否存在某一时刻t,使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE:
S五边形PQBCD=1:
29?
若存在,求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存在,请说明理由.
D
D
解:
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6,BC=8
①
∴AB==10
∵D、E分别是AC、AB的中点
AD=DC=3,AE=EB=5,DE∥BC且DE=BC=4
∵PQ⊥AB,∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC,∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB,∴=
由题意得:
PE=4-t,QE=2t-5
∴=,解得t=
M
(2)如图②,过点P作PM⊥AB于M
由△PME∽△ACB,得=
∴=,得PM=(4-t)
∴S△PQE=EQ·PM=(2t-5)·(4-t)=t2-t+6
S梯形DCBE=×(4+8)×3=18
∴y=18-(t2-t+6)=-t2+t+12
(3)假设存在时刻t,使S△PQE:
S五边形PQBCD=1:
29
此时S△PQE=S梯形DCBE
∴t2-t+6=×18,解得t1=2,t2=(舍去)
当t=2时,PM=(4-2)=,ME=(4-2)=
EQ=5-2×2=1,MQ=ME+EQ=+1=
PQ==
∵PQ·h=,∴h=×=
33.(山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4),以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G.当t为何值时,△ACG的面积最大?
最大值为多少?
Q
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?
请直接写出t的值.
Q
解:
(1)A(1,4)
由题意,可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4
∵抛物线过点C(3,0)
∴0=a(3-1)2+4,∴a=-1
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4
即y=-x2+2x+3
(2)∵A(1,4),C(3,0)
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6
P(1,4-t)
将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+
∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4-
∴GE=(4-)-(4-t)=t-
又点A到GE的距离为,C到GE的距离为2-
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=EG·+EG(2-)=·2(t-)=-(t-2)2+1
N
当t=2时,S△ACG的最大值为1
(3)t=或t=20-8
提示:
∵A(1,4),C(3,0),∴AB=4,BC=2
∴AC==2,∴cos∠BAC===
∵PE⊥AB,AP=t,∴AE==t
∴CE=2-t
H
若EQ=CQ,则在矩形ABCD内存在点H,使四边形CQEH为菱形
过点Q作QN⊥EC于N,则CE=2CN
在Rt△QNC中,CN=CQ·cos∠ACD=CQ·cos∠BAC=t
∴2-t=t,解得t=
若CE=CQ,则在矩形ABCD的AD边上存在点H,使四边形CQHE为菱形
∴2-t=t,解得t=20-8
34.(山东模拟)把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠BAC=∠DEF=90°,∠ABC=45°,BC=9,DE=6,EF=8.如图2,△DEF从图1的位置出发,以1个单位/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△DEF的顶点F出发,以3个单位/秒的速度沿FD向点D匀速移动.当点P移动到点D时,P点停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接BQ、PQ,设移动时间为t(s).
(1)设△BQE的面积为y,求y与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(2)当t为何值时,三角形DPQ为等腰三角形?
C
图1
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、B三点在同一条直线上?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
解:
(1)∵∠ACB=45°,∠DEF=90°,∴∠EQC=45°
∴EC=EQ=t,∴BE=9-t
C
∴y=BE·EQ=(9-t)t
即y=-t2+t(0<t≤)
(2)在Rt△DEF中,∵∠DEF=90°,DE=6,EF=8
∴DF===10
①当DQ=DP时,则6-t=10-3t,解得t=2
G
②当PQ=PD时,过P作PG⊥DQ于G
则DH=HQ=(6-t)
∵HP∥EF,∴△DHP∽△DEF
∴=,即=,解得t=
③当QP=QD时,过Q作QH⊥DP于H
P
则DH=HP=(10-3t)
可得△DHQ∽△DEF,∴=
即=,解得t=
(3)假设存在某一时刻t,使P、Q、B三点在同一条直线上
K
过P作PK⊥BF于K,则△PKF∽△DEF
∴==,即==
∴PK=t,KF=t
∵P、Q、B三点共线,∴△BQE∽△BPK
∴=,即=,解得t=
即当t=秒时,P、Q、B三点在同一条直线上
35.(山东模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于D,且BD=8cm.点M从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2cm/s;同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于P,交BC于Q,连接PM,设运动时间为t(s).
(1)当四边形PQCM是等腰梯形时,求t的值;
(2)当点M在线段PC的垂直平分线上时,求t的值;
(3)当t为何值时,①△PQM是等腰三角形;②△PQM是直角三角形;
(4)是否存在时刻t,使以PM为直径的圆与BC相切?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
M
解:
(1)作PE⊥AC于E,作QF⊥AC于F
M
若四边形PQCM是等腰梯形,则ME=CF
易知四边形PQFE是矩形,∴EF=PQ
∵PQ∥AC,∴△PBQ∽△ABC
∵AB=AC,∴PQ=PB=t,∴EF=t
∵AB=10,BD=8,∴AD==6
易证△APE∽△ABD,∴=
即=,∴AE=6-t
∴ME=AE-AM=6-t-2t=6-t
CF=AC-(AE+EF)=10-(6-t+t)=4-t
由ME=CF,得6-t=4-t,解得t=
G
∴当t=s时,四边形PQCM是等腰梯形
(2)若点M在线段PC的垂直平分线上,则MP=MC
作MG⊥AB于G,则△AMG∽△ABD
∴==,∴==
∴AG=t,MG=t
∴PG=10-t-t=10-t
在Rt△GPM中,MP2=(t)2+(10-t)2=t2-44t+100
又∵MC2=(10-2t)2=4t2-40t+100
由MP=MC,得t2-44t+100=4t2-40t+100
解得t1=,t2=0(舍去)
M
∴当t=s时,点M在线段PC的垂直平分线上
(3)①若PQ=PM,则t2=t2-44t+100
即8t2-55t+125=0
△=(-55)2-4×8×125=-975<0,方程无实数解
若MP=MQ,则点M在线段PQ的垂直平分线上
作PE⊥AC于E,∴EM=PQ=t
F
由
(1)知,AE=6-t
∵AE+EM=AM,∴6-t+t=2t
解得t=
若PQ=MQ,作PE⊥AC于
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