直线的倾斜角与斜率经典例题有答案精品.docx
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直线的倾斜角与斜率(20131125)讲义
类型一:
倾斜角与斜率的关系
1.已知直线
的倾斜角的变化范围为
,求该直线斜率的变化范围;
【变式】直线
的倾斜角的范围是()
A.
B.
C.
D.
类型二:
斜率定义
2.已知△ABC为正三角形,顶点A在x轴上,A在边BC的右侧,∠BAC的平分线在x轴上,求边AB与AC所在直线的斜率.
【变式1】如图,直线
的斜率分别为
,则()
A.
B.
C.
D.
类型三:
斜率公式的应用
3.求经过点
,
直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.
【变式1】过两点
,
的直线
的倾斜角为
,求
的值.
【变式2】
为何值时,经过两点
(-
,6),
(1,
)的直线的斜率是12.
4.已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值.
【变式1】已知
,
,
三点,这三点是否在同一条直线上,为什么?
【变式2】已知直线的斜率
,
,
,
是这条直线上的三个点,求
和
的值.
类型四:
两直线平行与垂直
5.四边形
的顶点为
,
,
,
,试判断四边形
的形状.
【变式1】已知四边形
的顶点为
,
,
,
,求证:
四边形
为矩形.
【变式2】已知
,
,
三点,求点
,使直线
,且
.
【变式3】若直线
与直线
互相垂直,则实数
=__________.
直线的倾斜角与斜率(20131125)作业
姓名成绩
题组一
直线的倾斜角
1.已知直线l过点(m,1),(m+1,tanα+1),则( )
A.α一定是直线l的倾斜角B.α一定不是直线l的倾斜角
C.α不一定是直线l的倾斜角D.180°-α一定是直线l的倾斜角
2.如图,直线l经过二、三、四象限,l的倾斜角为α,斜率为k,则( )
A.ksinα>0 B.kcosα>0C.ksinα≤0 D.kcosα≤0
题组二
直线的斜率及应用
3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1 A.k1k2=-1B.k2k3=-1C.k1<0D.k2≥0 4.已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________. 5.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,则l的斜率是________. 题组三 两条直线的平行与垂直 6已知两条直线l1: ax+by+c=0,直线l2: mx+ny+p=0,则an=bm是直线l1∥l2的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( ) A.5B.4C.2D.1 8.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则 为( ) A. B.- C. D.- 9.设直线l1的方程为x+2y-2=0,将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2,则l2的方程是________________. 题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题 10.若关于x的方程|x-1|-kx=0有且只有一个正实数根,则实数k的取值范围是________. 11.已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB相交,则该直线倾斜角的取值范围是________. 12.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的P点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点). (2)∠MPN是直角. 直线的倾斜角与斜率(20131125)讲义答案 类型一: 倾斜角与斜率的关系 1.已知直线 的倾斜角的变化范围为 ,求该直线斜率的变化范围; 思路点拨: 已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围 解析: ∵ , ∴ . 总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时,可利用 在 和 上是增函数分别求解.当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 不存在时, .反之,亦成立. 举一反三: 【变式】 (2010山东潍坊,模拟)直线 的倾斜角的范围是 A. B. C. D. 【答案】B 解析: 由直线 , 所以直线的斜率为 . 设直线的倾斜角为 ,则 . 又因为 ,即 , 所以 . 类型二: 斜率定义 2.已知△ABC为正三角形,顶点A在x轴上,A在边BC的右侧,∠BAC的平分线在x轴上,求边AB与AC所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°,直线AC的倾斜角为30°, ∴kAB=tan150°= kAC=tan30°= 总结升华: 在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向② 轴正向③小于 的角,只有这样才能正确的求出倾斜角. 举一反三: 【变式1】 如图,直线 的斜率分别为 ,则() A. B. C. D. 【答案】 由题意, ,则 本题选题意图: 对倾斜角 变化时, 如何变化的定性分析理解.∴选B. 类型三: 斜率公式的应用 3.求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角. 思路点拨: 已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可. 解析: 且 , 经过两点的直线的斜率 , 即 . 即当 时, 为锐角,当 时, 为钝角. 总结升华: 本题求出 ,但 的符号不能确定,我们通过确定 的符号来确定 的符号.当 时, ,为锐角;当 时, ,为钝角. 举一反三: 【变式1】 过两点 , 的直线 的倾斜角为 ,求 的值. 【答案】 由题意得: 直线 的斜率 , 故由斜率公式 , 解得 或 . 经检验 不适合,舍去. 故 . 【变式2】 为何值时,经过两点 (- ,6), (1, )的直线的斜率是12. 【答案】 , . 即当 时, , 两点的直线的斜率是12. 4.已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值. 思路点拨: 如果过点AB,BC的斜率相等,那么A,B,C三点共线. 解析: ∵A、B、C三点在一条直线上, ∴kAB=kAC. 总结升华: 斜率公式可以证明三点共线,前提是他们有一个公共点且斜率相等. 举一反三: 【变式1】 已知 , , 三点,这三点是否在同一条直线上,为什么? 【答案】 经过 , 两点直线的斜率 . 经过 , 两点的直线的斜率 . 所以 , , 三点在同一条直线上. 【变式2】 已知直线的斜率 , , , 是这条直线上的三个点,求 和 的值. 【答案】 由已知,得 ; . 因为 , , 三点都在斜率为2的直线上, 所以 , . 解得 , . 类型四: 两直线平行与垂直 5.四边形 的顶点为 , , , ,试判断四边形 的形状. 思路点拨: 证明一个四边形为矩形,我们往往先证明这个四边形为平行四边形,然后再证明平行四边形的一个角为直角. 解析: 边所在直线的斜率 , 边所在直线的斜率 , 边所在直线的斜率 , 边所在直线的斜率 . , , , ,即四边形 为平行四边形. 又 , ,即四边形 为矩形. 总结升华: 证明不重和的的两直线平行,只需要他们的斜率相等,证明垂直,只需要他们斜率的乘积为-1. 举一反三: 【变式1】 已知四边形 的顶点为 , , , ,求证: 四边形 为矩形. 【答案】 由题意得 边所在直线的斜率 . 边所在直线的斜率 , 边所在直线的斜率 , 边所在直线的斜率 , 则 ; . 所以四边形 为平行四边形, 又因为 , , 即平行四边形 为矩形. 【变式2】 已知 , , 三点,求点 ,使直线 ,且 . 【答案】 设点 的坐标为 ,由已知得直线 的斜率 ; 直线 的斜率 ;直线 的斜率 ;直线 的斜率 . 由 ,且 得 解得 , . 所以,点 的坐标是 . 【变式3】 (2011浙江12)若直线 与直线 互相垂直,则实数 =__________. 【答案】 因为直线 与直线 互相垂直,所以 ,所以 . 直线的倾斜角与斜率(20131125)作业答案 姓名成绩 题组一 直线的倾斜角 1.已知直线l过点(m,1),(m+1,tanα+1),则( ) A.α一定是直线l的倾斜角 B.α一定不是直线l的倾斜角 C.α不一定是直线l的倾斜角 D.180°-α一定是直线l的倾斜角 解析: 设θ为直线l的倾斜角, 则tanθ= =tanα, ∴α=kπ+θ,k∈Z,当k≠0时,θ≠α. 答案: C 2.如图,直线l经过二、三、四象限,l的倾斜角为α,斜率 为k,则( ) A.ksinα>0 B.kcosα>0 C.ksinα≤0 D.kcosα≤0 解析: 显然k<0, <α<π, ∴cosα<0,∴kcosα>0. 答案: B 题组二 直线的斜率及应用 3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1 A.k1k2=-1B.k2k3=-1C.k1<0D.k2≥0 解析: 结合图形知,k1<0. 答案: C 4.(2008·浙江高考)已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________. 解析: ∵A、B、C三点共线, ∴kAB=kBC,即 = ,又a>0,∴a=1+ . 答案: 1+ 5.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,则l的斜率是________. 解析: 设直线AB的倾斜角为2α,则直线l的倾斜角为α,由于0°≤2α<180°,∴0°≤α<90°,由tan2α= = ,得tanα= ,即直线l的斜率为 . 答案: 题组三 两条直线的平行与垂直 6.(2009·陕西八校模拟)已知两条直线l1: ax+by+c=0,直线l2: mx+ny+p=0,则an=bm是直线l1∥l2的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: ∵l1∥l2⇒an-bm=0,且an-bm=0⇒/l1∥l2,故an=bm是直线l1∥l2的必要不充分条件. 答案: B 7.(2009·福建质检)已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( ) A.5B.4C.2D.1 解析: 由题意知,a2b-(a2+1)=0且a≠0, ∴a2b=a2+1,∴ab= =a+ , ∴|ab|=|a+ |=|a|+ ≥2.(当且仅当a=±1时取“=”). 答案: C 8.(2010·合肥模拟)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则 为( ) A. B.- C. D.- 解析: 曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率为3, 所以 =- . 答案: D 9.(2009·泰兴模拟)设直线l1的方程为x+2y-2=0,将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2,则l2的方程是________________. 解析: ∵l1⊥l2,k1=- ,∴k2=2, 又点(0,1)在直线l1上,故点(-1,0)在直线l2上, ∴直线l2的方程为y=2(x+1),即2x-y+2=0. 答案: 2x-y+2=0 题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题 10.若关于x的方程|x-1|-kx=0有且只有一个正实数根,则实数k的取值范围是________. 解析: 数形结合.在同一坐标系内画出函数y=kx,y=|x-1|的图象如图所示,显然k≥1或k=0时满足题意. 答案: k≥1或k=0 11.(2009·青岛模拟)已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB相交,则该直线倾斜角的取值范围是________. 解析: 如图所示, kPA= =-1, ∴直线PA的倾斜角为 , kPB= =1, ∴直线PB的倾斜角为 , 从而直线l的倾斜角的范围是[ , ]. 答案: [ , ] 12.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的P点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点). (2)∠MPN是直角. 解: 设P(x,0), (1)∵∠MOP=∠OPN,∴OM∥NP. ∴kOM=kNP. 又kOM= =1,kNP= = (x≠5), ∴1= ,∴x=7, 即P点坐标为(7,0). (2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP, ∴kMP·kNP=-1. 又kMP= (x≠2),kNP= (x≠5), ∴ × =-1,解得x=1或x=6, 即P点坐标为(1,0)或(6,0).
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