人教新版数学小学四年级上册简单的多项式乘法与速算.docx
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人教新版数学小学四年级上册简单的多项式乘法与速算
人教新版数学小学四年级上册
简单的多项式乘法与速算
多项式乘法的妙用
(一)
两个一位数相乘,可以用乘法口诀来计算。
十几乘十几该怎么算呢?
常规方法是用竖式来计算。
不用竖式也能计算吗?
让我们来探讨下面的问题:
设:
a和b都是一位数
则(10+a)×(10+b)
=102+10a+10b+ab
=10(10+a+b)+ab
式子中(10+a)或(10+b)一定是参与计算的其中一个因数。
用这个因数加上另一个因数的个位数字,再在末尾添一个0(即乘10),最后加上两个个位数字的乘积即为所求。
例1:
13×16
=10×(16+3)+3×6
=190+18
=208
例2:
19×18
=10×(19+8)+9×8
=270+72
=342
引伸一下,我们用上面的方法来计算稍复杂的习题吧。
例3:
12×23(本题a=2b=13)
=10×(23+2)+13×2
=250+26
=276
例4:
24×28
=10×(28+14)+14×18
=420+10×(18+4)+4×8
=420+220+32
=672
例5:
83×12
=10×(83+2)+73×2
=850+146
=996
我们发现a和b的取值并非局限于一位数,可以根据具体情况灵活掌握。
上面的例4还可以这样计算:
24×28
=20×(28+4)+4×8
=640+32
=672
总之我们可以举一反三,把已经掌握的知识逐步拓展,慢慢地扩大其应用范围,这就是所谓的把知识用活。
多项式乘法的妙用
(二)
前面探讨过接近整十的两个数相乘的方法。
其实接近整百、整千、整万……的两个数相乘,也是可以速算的。
下面以接近100的两个数相乘为例来进行讨论:
设a和b是接近100的两个整数。
1、当两个因数都小于100时有:
(100-a)×(100-b)
=1002-100a-100b+ab
=100×(100-a-b)+ab
上式中(100-a)或(100-b)是两个因数中的一个,用这个因数减去100与另一个因数的差,再在末尾添两个0(即乘100)。
然后加上两个因数相对于100的两个补数的乘积ab。
例1:
98×93(这里a=2b=7)
=100×(93-2)+2×7
=9100+14
=9114
例2:
0.99×9.7
=[100×(97-1)+1×3]÷1000
=960.3
例3:
998×987
=1000×(987-2)+2×13
=985026
例4:
996×97(把97扩大10倍得970,最后再把积缩小10倍)
=100×(996-30)+4×3
=96612
2、一个因数小于100,另一个因数大于100时有:
(100-a)×(100+b)
=1002-100a+100b-ab
=100×(100-a+b)-ab
例5:
92×107
=100×(92+7)-8×7(注:
92+7=107-8=99可灵活计算)
=9900-56
=9844
例6:
87×112
=100×(87+12)-13×12
=9900-156
=9744
例7:
89×1.083
=[100×(1083-110)-11×83]÷1000
=[97300-913]÷1000
=96.387
3、当两个因数都大于100时有:
(100+a)×(100+b)
=1002+100a+100b+ab
=100×(100+a+b)+ab
上面的式子是说用一个因数加上另一个因数与100的差,然后乘100,再加上两个因数与100的两个差的乘积。
例8:
102×103(a=2b=3)
=100×(102+3)+2×3
=10500+6
=10506
例9:
114×119(a=14b=19)
=100×(119+14)+10×(19+4)+4×9
=13300+230+36
=13566
例10:
196×187
=100×(196+87)+100×(87-4)+4×13
=28300+8300+52
=36652
例10还可以按照下面的方法计算:
196×187
=200×(187-4)+4×13
=36652
数学知识的灵活较强,多加练习,融会贯通,还是能从中找到很多乐趣的。
多项式乘法的妙用(三)
我们都知道爱因斯坦是世界最著名的物理学家。
只是很少人知道他的速算方法也是一流的。
传说有一次他因病住院,他的朋友去看望。
他请朋友出一道数学题以检验生病期间高烧对大脑的影响。
朋友随口出了一题:
2974×2926=?
爱因斯坦马上回答是8701924。
朋友懵了,恐怕大多数人都会发懵。
他怎么就算得这么快呢?
我们还是从最简单的问题说起吧。
1、同头尾合十。
意思就是两个两位数,它们的十位数字相同,个位数字相加得十。
如24和26、87和83等等。
类似这样的两个两位数相乘是可以速算的。
设两个两位数的十位数字是a,个位数字分别是b和c,且b+c=10
则:
(10a+b)×(10a+c)
=100a2+10ab+10ac+bc
=100a2+10a×(b+c)+bc
=100a2+100a+bc
=100a×(a+1)+bc
上面的结果说明:
用十位上的数字乘比十位数字多1的数,再在后面添上两个个位数字的乘积就是计算结果。
例1、计算87×8371×79
87×83=100×8×(8+1)+7×3=7221熟练了后可以省略计算过程。
如:
71×79=5609(这里的0起占位的作用)
例2、计算294×296、1885×1815
解:
294×296
=100×29×(29+1)+4×6
=87000+24
=87024
解:
1885×1815(请注意本题是同头尾合百,要乘1002)
=1002×18×(18+1)+85×15
=1002×18×19+15×(100-15)
=3420000+1500-225
=3421275
你找到一点点爱因斯坦的灵感吗?
2、同尾头合十。
如38和78、29和89。
设:
两个两位数的十位数字分别为a和b,个位数字为c,a+b=10
则(10a+c)×(10b+c)
=100ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c×(a+b)+c2
=100ab+100c+c2
=100×(ab+c)+c2
上面的运算结果说明:
同尾头合十的两个两位数相乘,可用两个十位数字的积加上个位数字,再把个位数字的平方写在后面即可。
若个位数字的平方是一位数,要用0占十位。
例3、计算:
38×78
38×78
=100×(3×7+8)+82
=2900+64
=2964
例4、计算:
62×42
62×42
=100×(6×4+2)+22
=2600+4
=2604
3、两个两位数,一个头尾合十,一个头尾相等。
设:
a+b=10
则:
(10a+b)×(10c+c)
=100ac+10ac+10bc+bc
=100ac+10c×(a+b)+bc
=100ac+100c+bc
=100c×(a+1)+bc
例5、82×77
=100×7×(8+1)+2×7
=6314
例6、91×66
=100×6×(9+1)+1×6
=6006
俗话说熟能生巧,请大家在实践中去领会吧!
乘法公式的妙用(四)
对于任意两位数的平方,可以用乘法公式来速算。
1、因为a2-b2=(a+b)(a-b)
所以a2=(a+b)(a-b)+b2
例1、计算
322
492
解:
322=(32+2)(32-2)+22=34×30+4=1024
492=(49+1)(49-1)+12=50×48+1=2401
2、合理运用公式(a
b)2=a2
2ab+b2
例2、计算
(1)722
(2)792(3)1272(4)8732(5)35962
解:
(1)722=(70+2)2=702+2×70×2+22=4900+280+4=5184
(2)792=(80-1)2=802-2×80×1+12=6400-160+1=6241
(3)1272=(130-3)2
=1302-2×130×3+32
=16900-780+9
=16129
(4)8732=(870+3)2
=8702+2×870×3+32
=756900+5220+9
=762129
(5)35962=(100×35)2+2×100×35×96+962
=12250000+672000+9216
=12931216
多项式乘法与速算(五)
有些较复杂的分数运算、较复杂的多位数四则运算,也可以利用多项式乘法原理来速算。
例1、计算(1+
)(
+
-(1+
+
(
)
解:
设
=a
+
=b
原式=(1+a)×b-(1+b)×a
=b+ab-a-ab
=b-a
=
+
-(
)
=
例2、计算387×496-385×498
解:
设a=386b=497
原式=(a+1)×(b-1)-(a-1)×(b+1)
=ab+b-a-1-ab+b-a+1
=2×(b-a)
=2×(497-386)
=2×111
=222
例3、比较
(1+
)(
)和
(1+
)(
)的大小。
解:
设a=
b=
则
-
=(1+a)×b-(1+b)×a
=b+ab-a-b
=b-a
=(
)-(
)
>0
所以
>
结束语:
简算、速算和巧算内容,看似难,实则是有法度可依的。
我一贯主张同学们不要盲目计算,计算也要审题。
用合适的方法去计算才能提高计算能力,养成良好的计算习惯。
最后送大家一句话:
举一反三,学无止境。
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- 新版 数学 小学 四年级 上册 简单 多项式 乘法 速算
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