高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大版必修40814268.docx
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高中数学第一章三角函数44单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大版必修40814268
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
(二)
学习目标
1.掌握诱导公式1.13~1.14的推导,并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式1.8~1.14能作综合归纳,体会出七组公式的共性与个性,培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
知识点一 ±α的诱导公式
思考1 角α与+α的正弦函数、余弦函数有何关系?
答案 sin=cosα,cos=-sinα.
思考2 能否利用公式sin=cosα,cos=-sinα得出-α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦的关系?
答案 以-α代换公式中的α得到
sin=cos(-α)=cosα,
cos=-sin(-α)=sinα.
梳理 对任意角α,有下列关系式成立:
sin=cosα, cos=-sinα(1.13)
sin=cosα, cos=sinα(1.14)
诱导公式1.13~1.14的记忆:
-α,+α的正(余)弦函数值,等于α的余(正)弦三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”.
知识点二 诱导公式的记忆方法
α
sinα
cosα
公式
α+2kπ(k∈Z)
sinα
cosα
公式
π+α
-sinα
-cosα
公式
-α
-sinα
cosα
公式
π-α
sinα
-cosα
公式
-α
cosα
sinα
公式
+α
cosα
-sinα
1.α+2kπ(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于角α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,简记为:
“函数名不变,符号看象限”.
2.±α的正弦、余弦函数值,函数名改变,把α看作锐角,符号看±α的函数值符号.简记为:
“函数名改变,符号看象限”.
诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时,函数名不改变;当k为奇数时,函数名改变,然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.
1.sin=±cosα.( × )
提示 当k=2时,sin=sin(π-α)=sinα.
2.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.( × )
提示 应看原三角函数值的符号.
类型一 利用诱导公式求值
例1
(1)已知cos(π+α)=-,α为第一象限角,求sin的值;
(2)已知cos=,求cos·sin的值.
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
解
(1)∵cos(π+α)=-cosα=-,∴cosα=,
则sin=cosα=.
(2)cos·sin=cos·sin=-cos·sin
=-sin=-cos=-.
反思与感悟 这是一个利用互余、互补关系解题的问题,对于这类问题,关键是要能发现它们的互余、互补关系:
如-α与+α,+α与-α,-α与+α等互余,+θ与-θ,+θ与-θ等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题.
跟踪训练1 已知cos=,≤α≤,求sin的值.
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
解 ∵α+=+,
∴sin=sin=cos=.
类型二 利用诱导公式化简
例2 化简:
,其中k∈Z.
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
解 当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则
原式====1.
当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z).
仿上化简得:
原式=1.
故原式=1.
反思与感悟 用诱导公式进行化简时,若遇到kπ±α的形式,需对k进行分类讨论,然后再运用诱导公式进行化简.
跟踪训练2 化简:
.
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
解 原式==
===1.
类型三 诱导公式的综合应用
例3 已知f(x)=.
(1)化简f(x);
(2)求f .
考点 诱导公式的综合应用
题点 诱导公式的综合应用
解
(1)f(x)=
==.
(2)f ====-.
反思与感悟 解决诱导公式与函数相结合的问题时,可先用诱导公式化简变形,将三角函数的角度统一后再化简或求值,这样可避免公式交错使用而导致的混乱.
跟踪训练3 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(α-π)=,求f(α)的值.
考点 诱导公式的综合应用
题点 诱导公式的综合应用
解
(1)f(α)==-cosα.
(2)因为cos(α-π)=,所以cosα=-,
所以f(α)=-cosα=.
1.已知sinα=,则cos等于( )
A.B.C.-D.-
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
答案 C
解析 cos=-sinα=-.
2.若cos(2π-α)=,则sin等于( )
A.-B.-C.D.±
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
答案 A
解析 ∵cos(2π-α)=cos(-α)=cosα=,
∴sin=-cosα=-.
3.若cos=,则cos+sin(φ-π)的值为( )
A.-B.
C.-D.
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
答案 D
解析 cos=-sinφ=,sinφ=-,
cos+sin=-sinφ-sinφ=,故选D.
4.已知sin=,则cos=.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案
解析 cos=cos=sin=.
5.已知sin(π+α)=-.计算cos.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
解 ∵sin(π+α)=-sinα=-,∴sinα=.
∴cos=cos=-sinα=-.
1.学习了本节知识后,连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系,并具有一定的规律性,“奇变偶不变,符号看象限”,是记住这些公式的有效方法.
3.诱导公式是三角变换的基本公式,其中角α可以是一个单角,也可以是一个复角,应用时要注意整体把握、灵活变通.
一、选择题
1.已知sin=,那么cosα等于( )
A.-B.-C.D.
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
答案 C
解析 sin(+α)=cosα,故cosα=,故选C.
2.已知cos=-,且α是第四象限角,则cos(-3π+α)等于( )
A.B.-C.±D.
答案 B
解析 ∵cos=sinα=-,且α是第四象限角,
∴cosα=,∴cos(-3π+α)=-cosα=-.
3.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是( )
A.cos(A+B)=cosC
B.sin(A+B)=-sinC
C.cos=sinB
D.sin=cos
考点 诱导公式在三角形中的应用
题点 诱导公式在三角形中的应用
答案 D
解析 ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,
∴cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,故A,B项不正确;
∵A+C=π-B,∴=,
∴cos=cos=sin,故C项不正确;
∵B+C=π-A,
∴sin=sin=cos,故D项正确.
4.若sin(π+α)+cos=-m,则cos+2sin(2π-α)的值为( )
A.-B.C.-D.
考点 利用诱导公式求值
题点 综合利用诱导公式求值
答案 C
解析 ∵sin(π+α)+cos=-sinα-sinα=-m,∴sinα=.
故cos+2sin(2π-α)=-sinα-2sinα=-3sinα=-.
5.已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是( )
A.B.C.-D.-
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案 D
解析 sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)]
=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-2cos(75°+α)=-.
6.已知cos=,且sinθ-cosθ>1,则sin·sin(π-θ)等于( )
A.-B.-C.-D.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案 A
解析 由sinθ-cosθ>1,可知cosθ<0.
由cos=,得sinθ=,∴cosθ=-,
∴sinsin(π-θ)=cosθsinθ=-,故选A.
二、填空题
7.若cosα=,则sin=.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案 -
解析 因为cosα=,
所以sin=sin=-sin=-cosα=-.
8.化简=.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式化简
答案 -1
解析 原式===-1.
9.已知f(sinx)=cos3x,则f(cos10°)=.
考点 诱导公式的综合应用
题点 诱导公式的综合应用
答案 -
解析 f(cos10°)=f(sin80°)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-.
10.若sin=,则cos=.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案 -
解析 cos=cos=-sin=-.
11.已知角α的终边经过点P(-4,3),则=.
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
答案 -
解析 ∵角α的终边经过点P(-4,3),
∴sinα=,cosα=-,
∴===-.
12.化简sin·cos,n∈Z的结果为.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式化简
答案
解析 当n为偶数时,n=2k,k∈Z.
原式=sin·cos=sin·cos
=·cos=sin·cos=sin·cos=×=.
当n为奇数时,n=2k+1,k∈Z.
原式=sin·cos
=sin·cos=sin·cos
=sin·cos=×=.
∴sin·cos=,n∈Z.
三、解答题
13.化简+.
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
解 原式=+=-sinα+sinα=0.
四、探究与拓展
14.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),则=.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案 -
解析 ∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),
∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α),∴-sin(π-α)=2cos(-α),∴sinα=-2cosα且cosα≠0,
∴原式====-.
15.已知α是第四象限角,且f(α)=.
(1)若cos=,求f(α)的值;
(2)若α=-1860°,求f(α)的值.
考点 诱导公式综合问题
题点 诱导公式与函数的综合
解 f(α)===.
(1)∵cos=,
∴cos=,
∴cos=,
∴sinα=-,
∴f(α)==-5.
(2)当α=-1860°时,f(α)===
===-.
精美句子
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幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。
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4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。
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蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。
航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。
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水中的萍!
当你随波逐流后,根基就没了。
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朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。
一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。
一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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