7.已知⊙O1:
(x+3)2+y2=4,⊙O2:
x2+(y-4)2=r2(r>0),则“r=3”是“⊙O1与⊙O2相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:
A
解析:
由题知,⊙O1的圆心为O1(-3,0),半径为2,⊙O2的圆心为O2(0,4),半径为r.若⊙O1与⊙O2相切,则|O1O2|=r+2或|O1O2|=|r-2|,解得r=3或7,所以“r=3”是“⊙O1与⊙O2相切”的充分不必要条件.
8.若a2+b2=2c2(c≠0),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )
A.B.1
C.D.
答案:
D
解析:
因为圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d===,因此根据直角三角形的关系,弦长的一半就等于=,所以弦长为.
9.[2018·全国卷Ⅲ]直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6]B.[4,8]
C.[,3]D.[2,3]
答案:
A
解析:
设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知条件可得AB=2,所以△ABP面积的最大值为AB·dmax=6,△ABP面积的最小值为AB·dmin=2.
综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.
10.[2019·遵义月考]在直角坐标平面内,过定点P的直线l:
ax+y-1=0与过定点Q的直线m:
x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为( )
A.B.
C.5D.10
答案:
D
解析:
∵在平面内,过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0相交于点M,
∴P(0,1),Q(-3,0),
∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,
∴M位于以PQ为直径的圆上,
∵|PQ|==,∴|MP|2+|MQ|2=10,故选D.
11.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-或-B.-或-
C.-或-D.-或-
答案:
D
解析:
点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.∵反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴圆心(-3,2)到直线的距离d==1,化简得24k2+50k+24=0,解得k=-或-.
12.[2019·辽宁凌源联考]已知直线l:
x+y-1=0截圆Ω:
x2+y2=r2(r>0)所得的弦长为,点M,N在圆Ω上,且直线l′:
(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,若PM⊥PN,则|MN|的取值范围为( )
A.[2-,2+]B.[2-,2+]
C.[-,+]D.[-,+]
答案:
D
解析:
依题意得2=,解得r=2.
因为直线l′:
(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,所以P(1,1),
设MN的中点为Q(x,y),则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得2+2=,所以点Q的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为,|MN|的取值范围为[-,+].故选D
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.[2019·黑龙江伊春月考]若A(2,2),B(a,0),c(0,b)(ab≠0)三点共线,则+=________.
答案:
解析:
因为B(a,0),C(0,b)(ab≠0),所以直线BC的方程为+=1,过A(2,2),所以+=1,即+=.
14.[2019·安徽庐江四校联考]过点(-1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________________.
答案:
x+y-1=0或2x+y=0
解析:
当截距不为零时,设直线的方程为+=1,将(-1,2)代入得a=1,故直线的方程为x+y-1=0;当截距为零时,设直线的方程为y=kx,将(-1,2)代入得k=-2,故直线的方程为2x+y=0.
15.[2018·全国卷Ⅰ]直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.
答案:
2
解析:
由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.
∴圆心C(0,-1),半径r=2.
圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,
∴|AB|=2=2=2.
16.点P是圆(x+3)2+(y-1)2=2上的动点,点Q(2,2),O为坐标原点,则△OPQ面积的最小值是________.
答案:
2
解析:
因为|OQ|=2,直线OQ的方程为y=x,圆心(-3,1)到直线OQ的距离d==2,所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为2-=,所以△OPQ面积的最小值为×2×=2.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
过点M(0,1)作直线,使它被两条直线l1:
x-3y+10=0,l2:
2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分,求此直线方程.
解析:
过点M且与x轴垂直的直线是x=0,它和直线l1,l2的交点分别是,(0,8),显然不符合题意,故可设所求直线方程为y=kx+1,又设该直线与直线l1,l2分别交于A,B两点,则有
①
②
由①解得xA=,
由②解得xB=.
因为点M平分线段AB,
所以xA+xB=2xM,
即+=0,解得k=-.
故所求的直线方程为y=-x+1,
即x+4y-4=0.
18.(本小题满分12分)
已知圆M经过A(1,-2),B(-1,0)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2.
(1)求圆M的方程;
(2)若P为圆内一点,求经过点P被圆M截得的弦长最短时的直线l的方程.
解析:
(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0,得x2+Dx+F=0,则圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D;
令x=0,得y2+Ey+F=0,则圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.
由题意有-D-E=2,即D+E=-2.
又∵A(1,-2),B(-1,0)在圆上,
∴解得
故所求圆M的方程为x2+y2-2x-3=0.
(2)由
(1)知,圆M的方程为(x-1)2+y2=4,圆心为M(1,0).
当直线l过定点P且与过此点的圆的半径垂直时,l被圆截得的弦长最短,此时kPM==,
∴kl=-=-2,于是直线l的方程为y-=-2(x-2),即4x+2y-9=0.
19.(本小题满分12分)
已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解析:
(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标可知,P点坐标为(2x-2,2y),
因为P点在圆x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+(2y)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y).
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
20.(本小题满分12分)
已知点P(0,5)及圆C:
x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过P点且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
解析:
(1)∵⊙C的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,
∴圆心坐标为(-2,6),半径r=4.
设l:
y=kx+5,由直线l被⊙C截得的弦长为4及⊙C的半径r=4知⊙C的圆心到直线l的距离d=2,∴=2,∴k=;当k不存在时,直线l为x=0,满足题意.
∴l的方程为y=x+5或x=0.
(2)设弦的中点为M(x,y),将y=kx+5代入⊙C的方程中,得(1+k2)x2+2(2-k)x-11=0.
设弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
∴y1+y2=k(x1+x2)+10=+10=.
∵M为AB的中点,
∴x==,y==,
消去k,得x2+y2+2x-11y+30=0.
当k不存在时,过点P的弦所在的直线为x=0,代入⊙C的方程,得y2-12y+24=0,此时点M的坐标为(0,6).点M(0,6)满足方程x2+y2+2x-11y+30=0,∴过点P的⊙C的弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
21.(本小题满分12分)
已知两圆C1:
x2+y2-2x-6y-1=0和C2:
x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:
圆C1和圆C2相交;
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
解析:
(1)证明:
圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4,两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,∴|r1-r2|(2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减,得4x+3y-23=0,∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离d==3,故公共弦长为2=2.
22.(本小题满分12分)
[2019·湖北稳派教育联考]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且y轴和直线x-y+2=0均与圆C相切.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设点P(0,1),若直线y=x+m与圆C相交于M,N两点,且∠MPN为锐角,求实数m的取值范围.
解析:
(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题意得解得
∴圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.
(2)由消去y整理得
2x2+2(m-2)x+m2=0.
∵直线y=x+m与圆C相交于M,N两点,
∴Δ=4(m-2)2-8m2>0,
解得-2-2设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=2-m,x1x2=.
∴=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),
依题意得·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(x1+m-1)(x2+m-1)=2x1x2+(m-1)(x1+x2)+(m-1)2>0,
∴m2+(m-1)(2-m)+(m-1)2>0,
整理得m2+m-1>0,
解得m<或m>.
又-2-2∴-2-2故实数m的取值范围是
∪.