房地产行业的数学建模研究生数学建模D题一等奖5剖析.docx
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房地产行业的数学建模研究生数学建模D题一等奖5剖析
全国第八届研究生数学建模竞赛
题目房地产行业的数学建模
摘要
本文以天津市房地产行业作为研究对象,依据题目要求,分别建立了住房需求模型、住房供给模型、房地产行业与国民经济其他行业关系模型、我国房地产行业态势分析模型、房地产行业可持续发展模型和房价模型,并根据当前房地产行业投资过热和房价虚高的现象,建立了房地产泡沫预警模型。
本文主要完成的工作有:
Ⅰ住房需求模型。
首先构建住房需求指标体系,其次利用AHP方法确定各指标权重,并筛选出主要指标,然后以主要指标为变量,通过非线性回归分析,建立住房需求模型。
最后,依据模型对2011-2013年天津市的住房需求进行了预测,分别是1828.10万m2、2125.98万m2和2471.72万m2。
Ⅱ住房供给模型。
首先依据信息甄别原理,结合消费者不同的住房需求,分别建立政府供给模型和市场供给模型。
然后针对两种供给模式对象的不同,以各级住房需求者相对比例为权重,从理论上建立了政府和市场合作供给的住房供给模型。
Ⅲ房地产行业与国民经济其他行业关系模型。
通过构建社会经济系统冲量模型,定量研究房地产行业与工业、金融业和建筑业的相互关系。
建立各行业对应的赋权有向图,求解其邻接矩阵,利用行业间的冲量关系和冲量稳定的必要条件得到对应关系。
结论为:
房地产行业每增加1个单位,工业会增加8.0323个单位,金融业会增加13.2133个单位,建筑业会减少1.4083个单位。
Ⅳ我国房地产行业态势分析模型。
首先确定选用行业景气指数来定量分析房地产行业的发展态势。
其次引入谱分析方法,对天津市房地产行业开发投资总额进行平稳性检验。
然后剔除数据中趋势和季节因素的循环项并进行谱分析,把离散的天津市房地产开发投资总额分解到频域进行研究。
最后,依据频谱分析图进行房地产行业的态势分析。
结论为:
近期房地产行业的发展态势依旧良好,房地产开发投资总额仍会持续增加。
Ⅴ房地产行业可持续发展模型。
首先解析房地产行业可持续发展内涵,并构建可持续发展指标体系,其次引入因子分析法优化指标体系,并采用AHP方法确定各指标权重,构建房地产行业可持续发展模型,然后采用功效系数法将指标标准化,并对房地产行业进行评价,对照分级标准,依据得分,确定出2006年至今天津市房地产行业可持续发展等级保持在二级水平,可持续发展度较高。
最后,分别从政府规划、行业战略
定位、环境与资源等方面,对房地产行业可持续发展提出对策建议。
GM模型,其次利用灰色关联度Ⅵ房价模型。
首先依据现有经济数据,建立(1,1
理论,验证模型的准确性。
最后,依据模型对天津市2011-2013年的房价进行预测,分别是9311.70533元/平方米、10736.54841元/平方米和12379.41576元/平方米。
Ⅶ房地产泡沫预警模型。
首先引入系统动力学原理,建立房地产行业发展的动态分析模型。
然后借助VENSIMPLEPLUS32系统动态模拟软件,对天津市房地产行业发展情况进行实证模拟。
最后,依据仿真结果,对当前天津市房地产行业泡沫状况做出分析判断。
结论为:
当前天津市房地产行业的泡沫依旧存在,但仍在可控范围之内。
关键词:
信息甄别,冲量模型,谱分析,灰色理论,系统动力学
目录
一、问题重述(5
二、问题分析(5
三、模型的建立与求解(6
3.1基于层次分析法的多元非线性回归住房需求模型(6
3.1.1问题假设(6
3.1.2符号说明(6
3.1.3建模分析(7
3.1.3.1住房需求的概念解析(7
3.1.3.2影响住房需求主要因素分析(7
3.1.4模型建立(8
3.1.4.1住房需求指标体系构建(8
3.1.4.2基于层次分析法的指标权重确定(8
3.1.4.3多元非线性回归住房需求模型的建立(10
3.1.5模型求解(14
3.2基于信息甄别的住房供给模型(15
3.2.1问题假设(15
3.2.2符号说明(15
3.2.3建模分析(16
3.2.4模型建立(16
3.2.4.1政府供给住房模型(16
3.2.4.2市场供给住房模型(18
3.2.4.3政府和市场合作供给模型(20
3.3房地产行业与国民经济其他行业关系的社会经济系统冲量模型(20
3.3.1问题假设(20
3.3.2符号说明(20
3.3.3建模分析(21
3.3.4模型建立(21
3.3.4.1国民经济相关行业的界定(21
3.3.4.2社会经济系统冲量模型的基本原理(21
3.3.4.3房地产行业与国民经济其他行业关系的社会经济系统冲量模型构建(22
3.3.5模型求解(23
3.3.5.1社会经济系统单位冲量求解(23
3.3.5.2行业增加量求解(23
3.3.6模型的进一步说明(24
3.3.6.1简单冲量过程的稳定性(24
3.3.6.2不稳定过程的调整办法(24
3.4基于谱分析方法的房地产行业态势分析模型(25
3.4.1问题假设(25
3.4.2符号说明(25
3.4.3建模分析(26
3.4.4模型建立(26
3.4.4.1房地产行业态势分析的概念解析(26
3.4.4.2基于谱分析方法的房地产行业态势分析模型构建(26
3.4.5模型求解(27
3.4.5.1谱分析方法的基本原理(27
3.4.5.2房地产行业的数据选择和预处理(29
3.4.5.3基于谱分析法的模型求解结果(32
3.5基于因子分析法的AHP房地产可持续发展模型(33
3.5.1问题假设(33
3.5.2符号说明(33
3.5.3建模分析(34
3.5.4模型建立(34
3.5.4.1房地产行业可持续发展内涵解析(34
3.5.4.2房地产行业可持续发展评价指标体系构建(34
3.5.4.3基于因子分析法的房地产行业可持续发展评价指标体系优化(35
3.5.4.4指标权重确定(39
3.5.5模型求解(40
3.5.5.1赋权后数据处理(40
3.5.5.2结果评价分析(41
3.5.6对策建议(42
3.6基于灰色理论的商品房价格预测模型(43
3.6.1模型假设(43
3.6.2符号说明(43
3.6.3建模分析(43
3.6.4模型建立(43
3.6.5模型求解(45
3.7基于系统动力学的房地产泡沫预警模型(46
3.7.1问题假设(46
3.7.2符号说明(46
3.7.3建模分析(47
3.7.4模型建立(47
3.7.4.1系统的边界分析(47
3.7.4.2系统的因果关系(47
3.7.4.3房地产泡沫预警模型(47
3.7.5模型求解(48
3.7.5.1仿真情景设定(48
3.7.5.2系统仿真结果(48
3.7.5.3模拟利率调控(49
3.7.5.4相关结论(49
四、模型的评价(50
参考文献(50
一、问题重述
我国房地产行业自20世纪90年代发展以来,尤其是近10年,已成为国民经济的支柱产业之一,与人民生活密切相关。
同时,房地产行业的发展也是一个复杂的系统工程,该系统的发展对国民经济的整个态势和全国人民的生活水平影响很大。
正确认清当前房地产行业的态势、定量描述各相关指标之间的数量关系、准确预测和评价当前房地产行业并制定有效的调控措施,以及深刻认识房地产行业的经济规律进而实现可持续发展是解决该问题的有效途径。
为此,结合所给资料,要解决以下问题:
(1建立住房需求模型;
(2建立住房供给模型;
(3构造房地产行业与国民经济其他行业关系模型;
(4对我国房地产行业态势进行分析并建立模型;
(5建立房地产行业可持续发展模型;
(6建立房价模型;
(7自主地提出自己希望解决的房地产中的新问题,建立相应的数学模型。
二、问题分析
本文以天津市房地产行业为研究对象,根据题目中所给资料和自查资料,建立相关模型(主要包括住房需求模型、住房供给模型、房地产行业与国民经济其他行业关系模型、我国房地产行业态势分析模型、房地产行业可持续发展模型、房价模型,进而定量研究房地产行业的需求、供给、目前现状及可持续发展等问题。
此基础之上,本文还针对当前房地产行业过热发展和房价虚高的现象,建立房地产泡沫预警模型。
本文所建模型主要由以下七个部分组成:
(1住房需求模型。
在实际生活中,影响住房需求的因素有很多,并且它们之间的关系较为复杂。
对这些因素进行分析,判断它们对住房需求的影响大小是建模的基础。
为此,本文首先通过查阅资料和咨询专家,构建影响住房需求的指标体系,然后用AHP方法给出各指标影响住房需求的权重,进而筛选出影响较大的指标,再以这些主要指标为变量,对1994-2006年的数据进行非线性回归分析,得到一类住房需求模型,进一步用2007-2010年数据验证所建模型的合理性,最后对2011-2013年的住房需求进行预测。
(2住房供给模型。
住房的供给主要包括政府供给和市场供给两种模式。
因为住房供给由住房需求来决定,所以本文首先通过对住房需求者进行分级,不同级别代表不同的住房需求阶层,然后根据信息甄别原理,分别建立政府供给模型和市场供给模型。
而现有的供给是由政府供给和市场供给共同实现的,但两方供给对象的侧重点不同。
因此,本文以各级住房需求者的相对比重为权重,从理论上建立政府和市场合作供给的住房供给模型。
由于缺乏住房供给方面的数据,本文仅从理论上提供一套预测住房供给的方法。
(3房地产行业与国民经济其他行业关系模型。
本文研究房地产行业与工业、金融业和建筑业的相互关系。
由于这四个行业相互联系、相互作用,任何一个行业的波动都会影响到其他三个行业,因此我们选择社会经济系统冲量模型来研究此问题。
在该模型中,将每个行业作为加权有向图的一个顶点,任意两个顶点之间的连通表示它们之间存在的相互作用,权重表示它们之间的影响程度。
在某一时刻任给其中某一个顶点一个冲量变化,将导致其他顶点产生大小不等的波动,从而得到相应的冲量影响值。
通过这个冲量影响值,定量分析出国民经济中的这三个行业与房地产行业之间的关系。
如果冲
量影响值为正,说明房地产行业的发展将促进该行业的发展;如果冲量影响值为负,说明房地产行业的发展将抑制该行业的发展。
同时,冲量影响值的绝对值的大小,代表促进或抑制的程度。
(4我国房地产行业态势分析模型。
房地产行业的态势分析涉及到政治、经济、供给与需要状况、人口等因素,对于整个国民经济的发展有着较强的敏感性和准确的预测功能。
因此,本文用具有较高敏感的行业景气指数来定量分析房地产行业的发展态势。
本文引入时间序列中的谱分析法,结合题中所给出的数据,首先对天津市房地产行业开发投资总额进行平稳性检验,剔除趋势和季节因素的循环项进行谱分析,把离散的天津市房地产开发投资总额分解到频域进行研究,以此来判断该市房地产行业的景气波动趋势,进而分析房地产行业的态势信息。
(5房地产行业可持续发展模型。
房地产行业的可持续发展对于国民经济和城市经济的科学发展以及产业结构优化具有重要的意义。
本文首先系统解析房地产行业可持续发展的内涵,并通过查阅相关研究报告和咨询专家,构建房地产行业的可持续发展指标体系,其次引入因子分析法,根据因子得分对指标体系进行优化,进而用层次分析法确定各指标权重,构建出房地产行业可持续发展的AHP模型,然后采用功效系数法将各个指标标准化,并将具体数值代入模型,得到房地产行业的评价得分,对照分级标准,确定天津市房地产行业可持续发展等级。
最后,分别从政府规划、行业战略定位、居民房地产需求、环境保护和资源利用等方面,对房地产行业的可持续发展提出对策建议。
(6房价模型。
房价问题涉及社会生活中多方面的因素,对国民经济其他行业的
发展也有着重大的影响。
本文首先以天津市1999-2009年的商品房均价作为原始数据列,
GM模型,然后利用灰色关联度理论,通过判断原始值和估计值的灰色关联度建立(1,1
相对差大小,验证了模型的准确性。
最后,基于所建模型,对天津市2011-2013年的房
价进行预测。
(7房地产泡沫预警模型。
由于房地产行业与国民经济关联度很高,房地产泡沫的影响范围十分广泛,一旦破裂将会给经济带来灾难性的后果。
本文首先引入系统动力学(SD原理,结合房地产系统发展流程图,建立一个房地产行业发展的动态分析模型。
然后利用VENSIMPLEPLUS32系统动态模拟软件,通过设定仿真情景、配置仿真参数、运行仿真等步骤,对天津市的房地产发展进行实证模拟。
最后,依据仿真结果,对当前天津市房地产行业泡沫状况做出分析判断。
三、模型的建立与求解
3.1基于层次分析法的多元非线性回归住房需求模型
3.1.1问题假设
(1住房需求量在一定时期内保持稳定的发展趋势。
(2不考虑除经济、环境、人口和社会因素以外的其他影响住房需求的因素。
(3国家对房地产行业的调控政策在一定时期内保持稳定。
3.1.2符号说明
E住宅商品的需求价格弹性的弹性指数
d
P住宅商品价格
Δ住宅商品的价格变动量
P
QΔ
住宅商品需求的变动量yE
住宅商品的需求收入弹性的弹性指数Y
消费者的可支配收入YΔ
消费者可支配收入的变动量QΔ
住宅商品需求的变动量W
归一化特征向量ix
预测因子,其中1,2,i=ib
待估计参数,其中1,2,i=
3.1.3建模分析3.1.3.1住房需求的概念解析
经济学上所指的需求是指市场经济中在价格机制作用下的需求。
住房需求是房地产需求的一种,表示人们愿意并有能力购买或承租住房的数量。
住房需求在住房市场中具有极其重要的作用,表现为:
(1住房需求是住房市场经济活动的动力。
没有住房需求,就没有住房市场的价格、供应和资金运动,也就没有住房市场本身。
(2住房需求是住房供应变动的牵引力,是住房供应的出发点和归宿。
住房需求
水平、需求的结构变化,推动和预示着供应的变化。
住房需求也影响住房交易价格等。
(3住房需求是检验住房经济体制完善程度的重要尺度。
3.1.3.2影响住房需求主要因素分析
住房需求的主要影响因素有:
(1住房价格对住房需求的影响
就住房价格与住房需求之间的关系而言,在其他条件不变的情况下,住房价格对住房需求的影响是价格上升,需求下降;价格下降需求上升。
需求与价格的变化呈反向运动关系。
(2家庭收入水平对住房需求的影响
住宅作为一种高档耐用的消费品,从所有制、经营者过度,转让给消费者,以实现其价值,在很大程度上受到居民收入水平的制约,城市居民家庭收入的变化与住房需求成正向关系。
(3居民消费结构对住房需求的影响
居民消费结构对住房需求的影响主要表现在居民收入中究竟拿出多少的比重花费在住房消费上,这个比重直接影响到住房商品化以后的租售购买力。
(4政府的住房因素
政府的住房政策可能是行政性的也可能是经济手段或者两者结合,当政府的住房政策有利于居民得到住房时,住房需求就会增长,反之亦然。
(5利率
利率在短期内的变化对住房的价格和住房需求有直接影响。
(6城市人口数量
人口数量与住宅的需求量成正比关系。
在人口数量增长的过程中,城市人口迅速增长,会加大对城市住宅的需求,这就是城市人口的机械增长。
(7人口年龄分布
由于生育率的下降意味着每个家庭所负担的子女数的减少,家庭用于成员的可支配收入增加,对住房提出更高的要求。
(8家庭规模
住宅是以家庭为单位居住的,家庭规模的变化也必然会影响住房需求的变化。
(9心理因素、观念因素
它们对需求者购买行为产生重要影响。
由以上分析,我们决定选取住房价格、家庭收入水平、居民消费结构、政府的住房政策、利率、城市人口数量、人口年龄分布、家庭规模、心理因素、观念因素这十个指标作为影响因素。
3.1.4模型建立
3.1.
4.1住房需求指标体系构建
根据问题要求,通过对天津城市住房消费需求状况调查、分析、查阅文献资料和咨询领域内专家,构建具有递阶层次结构的天津城市住房需求指标体系,如下图所示:
图1住房需求指标体系
以上分析了影响住房消费需求的因素并构建了住房消费需求的递阶层次结构。
实际中,各个因素对住房需求的影响程度是不同的,为了研究各个因素对于住房需求的影响程度,一种可行的方法就是计算出各因素在住房消费需求中所占的权重。
层次分析法(AHP中一般使用判断矩阵来计算权重。
3.1.
4.2基于层次分析法的指标权重确定
(一判断矩阵的建立和求解
判断矩阵为n阶方阵,可以通过向专家咨询、问卷调查等形式,对同一级要素进行两两重要性比较来确定判断矩阵的各个元素。
本文矩阵中的元素由专家评定得出,取值采用1—9标度法,见附录。
利用此标度方法,经过专家讨论得到判断矩阵,如表1所示。
表1B对A的判断矩阵
AB
1B
2B
3B4
B11233
B21/2133
B31/31/311
B41/31/311
判断矩阵显示了各要素之间相对于上层目标的相对重要度,解得特征根,得到最大
特征根的归一化特征向量W,特征向量的每个元素就代表了相应指标对上层目标的贡献率,即权重。
利用Matlab软件编程,求得[]T0.4403,0.3098,0.1213,0.1213W=。
(二判断矩阵的一致性检验
对复杂问题的因素进行两两比较时,人们不可能做到判断完全准确,而且判断阶数越高,判断的难度也加大,出现偏差的可能性也越大。
因此,引入完全一致性指标CI来衡量判断矩阵的一致性。
一般认为,0.10CI≤就可以认为判断矩阵具有一致性,否则还需调整。
其检验的步骤如下:
(1计算判断矩阵的特征值,近似公式为:
PWWλ=(1
(2计算完全一致性检验:
max1n
CInλ−=−(2
将P、λ带入上上式,可得1=4.096λ,24.085λ=,34.026λ=,4=4.096λ。
故
maxλ=4.096,4.09640.0320.1041
CI−=
=<−,因此可认为该矩阵具有良好的一致性。
同理,可求得C相对B的判断矩阵和权重。
经检验可知,判断矩阵均有良好的一致性。
结果如下表所示。
表213-CC对1B的判断矩阵和权重
B1
C1C2C3MIWICIC1
1151.710.4545C2
1151.710.4545C31/51/510.34
20.0909
0.0002表345-CC对2B的判断矩阵和权重
B2
C4C5MIWICIC4
1110.5C51110.50表4C6-C8对B3的判断矩阵和权重
B3
C6C7C8MIWICIC6
11110.3189C7
111/31.44220.4599C8
11/310.69340.22110.06表5C9-C10对B4的判断矩阵和权重B4
C9C10MIWICIC9
152.2360.8334C10
1/510.4470.16660.0006
(三C对A的权重计算
根据C相对于B的权重以及B相对于A的权重,可算出C对A的权重,计算公式为:
CACBBAWWW=⋅
(3
计算结果如下表所示:
表6指标权重表C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10权重
0.20040.20040.04000.15590.15590.03940.05680.02730.10300.0206排序1152264738由计算结果知,家庭收入和住房价格在住房需求的各因素中占最重要的地位,其次是住房政策和利率的影响,再次是心理因素,接下来依次是人口年龄的分布,城市人口数,家庭成员规模和消费观念。
3.1.
4.3多元非线性回归住房需求模型的建立
以上基于层次分析法,求得了各因素对于住房需求量的权重,对住房需求量与各因素之间的关系有了定性的刻画。
由上述的分析我们可以看出,住房需求与这些因素有着十分密切的关系,为了对住房需求量进行预测,还需对住房需求量与各因素的关系进行定量分析。
回归分析模型是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系模型。
而且与其它预测模型相比,可以采用多种方法对线性回归模型进行检验,有利于对模型合理性、准确性的验证。
因此本文以天津市为例,选择多元回归模型来表示天津市住房需求量和各要素之间的关系。
多元线性模型的表达式为:
201122ppYbbxbxbxεσ=+++++(4
其中,自变量12,,,pxxx为预测因子,Y为因变量,ε是服从正态分布2(0,Nσ的随机变量,01,,,pbbb为待估计参数。
可采用最小二乘法对01,,,pbbb进行估计。
线性回归方程通常采用模型拟合程度2R,方差分析(F检验,T检验进行分析验证。
如上节所述,家庭收入和住房价格是影响住房需求的各因素种的首要因素。
但位居其次的政策、心理因素对住房需求的影响无法用比较科学的数据表达出来,而与上述因素相比,消费观念等因素对需求的影响较小,因此,在政策基本平稳的假定下,模型仅考虑家庭收入和住房价格对住房需求的影响。
(一多元线性回归模型及其检验
设住宅需求量为因变量y,将历年住宅销售量定义为有效需求量,预测因子平均价格、家庭收入分别定义为1x,2x,从统计年鉴获得1994-2009年自变量、因变量的数值
见附录所示。
利用SPSS13.0的线性回归模块得到以下结果:
(1相关性分析
表7相关性分析结果
从上表可以看出,房屋平均价格和家庭收入都与住宅销售面积有较大的相关性,相关系数分别为0.917和0.911,而且相关性的检验显著概率均小于0.01。
(2模型拟合情况(R2检验
表8模型拟合结果
ModelRRSquare
AdjustedR
Square
Std.ErroroftheEstimate1
.931(a
.867
.847
198.84844
从拟合情况看,线性回归分析中预测值和观测值得相关系数为0.931,模型只能解释84.7%的观测数据。
(3方差分析(F检验
表9方差分析结果
ModelSumof
Squaresdf
MeanSquareFSig.1Regression3296881.39421648440.69737.451
.000(a
Residual572211.294
1344016.253
Total
3869092.687
15
从方差分析结果可以看出,家庭收入和销售量的线性相关性比较显著,检验显著概率为0。
(4回归系数检验
表10回归系数检验结果
回归系数检验的数据表明,采用线性回归方法时,自变量系数1b,2b为0的概率为
0.189和0.346,均大于通常要求的0.05,故判定回归无效。
因此,就天津市住房需求而言,需求量和家庭收入、房屋价格之间并不存在简单的线性关系,使用多元线性回归模
型不能有效地说明观测数据。
下面采用多元非线性模型。
(二多元非线性回归模型及其检验
非线性回归模型种类很多,为了
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