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9实数教材分析
第五章相交线与平行线
教材分析
1.内容结构特点
本章内容包括4节内容,教科书从两条直线相交入手探索了平面内两条直线的位置关系、垂线和垂线段的概念以及平行线的性质和判定,然后在研究平行线的基础上研究基本的图形交换———平移.
2.知识结构
4.教材的地位及作用
平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题,本章是在学生已有知识和经验的基础上,对平面内两条直线的位置关系的进一步探索.本章首先研究了先交的情形,探究了两条直线相交所成的角的位置和大小关系,给出了邻补角和对顶角概念,得出了“对顶角相等”的结论;垂直是两条直线相交的特殊情形,是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础.本章对垂直的情形进行了专门的研究,探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论,并给出点到直线的距离的概念,为学习在平面直角坐标系中确定的坐标打下基础.命题是以后研究形式逻辑概念和术语的基础.
5.教学重难点
教学重点:
垂涎的概念与平行线的判定和性质.
教学难点:
让学生学会如何说理.
教学建议
1.内容呈现上充分体现认知过程,给学生提供探索与交流的时间和空间.
强调学生通过“做数学”来学习数学是本教科书的一个突出特点,在内容处理上加强了实验几何的成分,将实验几何与论证几何有机结合.对于几何中的结论,多是采用先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做实验等活动,探究发现几何结论,然后再对结论进行说理、解释或论证,有实验几何到论证几何的过渡作好铺垫,在教学时应充分注意这一点.
对于本章中的一些概念、性质、公理和定理,教课书大多是通过“留空”“设问”“设置”“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目,让学生通过探索活动来发现结论经历知识的“在发现”过程,在探索活动的过程中发展创新思维能力,改变学生的学习方式.
(2)注意加强直观性
密切联系实际,体现知识的形成的应用过程,以实际问题为出发点和归宿是编写这篇论文特别关注的问题.几何图形是从实际中抽象出来的,所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的,这一点对于学生来说有一定的困难.为了减少学生的困难,在学习这章时,注意加强了直观教学,使教学内容尽量贴切学生的生活.
(3)循序渐进地安排技能训练
这一章的教学,除了要学习一些数学知识外,还能负担着一些技能和能力的培养与训练的任务.这既有几何语言、图形方面的,也有说理、推理方面的,这些内容,都是进一步学习空间与图形知识的基础.论文在这一方面也是作了精心安排,在教学时应当注意按照简单到复杂,由模仿到独立操作的顺序,逐步提高要求.
(4)有意识地培养学生有条理的思考和表达
对于推理能力的培养,本论文按照“说点儿理”“说理”“简单说理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步地安排.要鼓励学生用自己的语言说明理由,在书写格式上不作统一要求,不要急于要求学生用数学符号语言书写.
说理、推理的内容是本章的教学难点,在教学中注意对学生循序渐进的进行训练.
(5)注意突出重点内容
这一章的内容比较丰富,除了要研究平面内两条直线间的位置关系(重点是垂直和平行的关系),还包括平移变换的内容以及一些命题的内容,由于教学时间有限,为了使学生集中精力掌握最基础的知识,并形成一定的能力,教学时应注意突出重点.
(6)处理好平移内容
从《标准》看,图形的变换是“空间与图形”邻域中的一块重要的内容,通过对图形的平移、旋转、折叠等活动,使图形动起来,有助于发现图形的几何性质,一次图形的变换是研究几何问题的有效工具.平移是一种基本的图形变换,在本章第4节安排了平移变换的内容.
对于平移的内容,本章只是一个初步认识,本册书在“平面直角坐标系”中好安排了“用坐标表示平移”的内容,从数的角度用代数的方法研究平移变换,将平移变换从数和形两方面统一起来,使学生对平移变换有更深刻的了解,为今后使用平移变换发现几何结论、研究几何问题打下基础.
课时安排
5.1相交线
4课时
5.2平行线及其判定
2课时
5.3平行线的性质
2课时
5.4平移
1课时
本章复习
1课时
5.1相交线
教材分析
本节课研究的相交线是平面内两条直线的两种关系中的其中一种情形,这部分内容学生在前两个学段已有所接触,并且学生在上一学期已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识,因此,本节课是再学生已有知识和经验的基础上,来进一步研究平面内两条直线相交的情形.在本节课中首先探究了两条直线相交所称的角的位置和大小关系,给出了邻补角和对顶角的概念,得出了“对顶角相等”的结论;本节课对垂直的情形进行了专门的研究,探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”的结论,并给出了点到直线的距离的概念,接下来研究两条直线被第三条直线所截的情形,给出了同位角、内错角相交线与平行线知识点整理
摘要:
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果
是对顶角,那么一定有
;反之如果
,那么
不一定是对顶角,⑶如果
互为邻补角,则一定有
;反之如果
,则
不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具有垂直于已知直线的共同特征。
(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
联系:
都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
5.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线
与直线
互相平行,记作
∥
。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵
∥
,
∥
∴
∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
平行线的判定是写角相等,然后写平行。
注意:
⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:
①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
5.3平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
2、两条平行线的距离
3、命题:
⑴命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题。
⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……,那么……”的形式。
具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。
对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。
注意:
命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
典型例题:
已知∠1=∠B,求证:
∠2=∠C
证明:
∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,
两直线平行)
∴∠2=∠C(两直线平行
同位角相等)
注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。
典型例题:
如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°
求∠2、∠3的度数
解答:
∵DE∥BC(已知)
∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥DF(已知)
∴AB∥DF(已知)
∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°
5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
第十三章《实数》教材分析青院附中佟铭
一、本章主要内容及地位、作用:
本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算.(通过本章的学习,学生对数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围,本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的,学习本章之后,将在实数范围内研究问题.)
(虽然本章的内容不多,篇幅不大,但在中学数学中占有重要的地位。
)
本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础,也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备.
二、本章知识结构框图:
1.本章知识的内在结构如下图所示:
2.本章知识的展开顺序如下图所示:
术
(“本章知识结构图”展示了本章知识的内在结构:
由于乘方与开方互为逆运算,所以开平方和开立方运算是以平方和立方运算为基础的,因此平方根和立方根的概念离不开平方和立方的概念.无理数的引入使得数的范围由有理数扩大到了实数.)
4、本章中考要求:
知识
考试水平
基本要求
略高要求
较高要求
无理数
了解无理数的概念
会用有理数估计一个无理数的大致范围
平方根及算术平方根
了解平方根及算术平方根的概念,会用根号表示非负数的平方根及算术平方根
会用平方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根
立方根
会用根号表示数的立方根
会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求立方根
实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运算
二次根式及其性质
了解二次根式的概念,会确定二次根式有意义的条件
会利用二次根式的性质进行化简;能根据二次根式的性质对代数式作简单变形,在特定条件下,确定字母的值
二次根式的化简和运算
理解二次根式加、减、乘、除运算法则
会进行二次根式的化简,会进行二次根式的混合运算(二次根式的个数不超过三个;不要求分母有理化)
五、本章重点、难点:
1.本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法。
(它们是理解立方根的概念和求法、实数的意义和运算的直接基础.)
2.本章的难点是平方根和实数的概念.
(学生对正数开平方有两个结果感到不习惯,容易将算术平方根和平方根混淆.实数的概念是一个构造性的定义,比较抽象,学生真正理解这个概念也有一定的困难.)
六、本章课时安排:
本章教学时间约需8课时,具体分配如下(仅供参考):
13.1 平方根 3课时
13.2 立方根2课时
13.3 实数 2课时
数学活动
小结 1课时
七、本章教材内容分析:
13.1平方根
(本小节主要介绍平方根与算术平方根的概念,这两个概念属本章的重点内容。
只有把握住概念才能正确地进行求平方根运算,理解实数的概念,为学习后续的知识作好准备。
)
1.平方根与算术平方根的区别和联系.
区别:
(1)定义不同;
(2)个数不同;(3)表示方法不同
联系:
(1)具有包含关系;
(2)存在条件相同;(3)0的平方根、算术平方根均为0.
3.及时总结三种重要非负数:
,
,
(a≥0).
4.两个重要公式
及
.
5.落实一个基本功:
让学生熟练掌握1到20的平方,便于求常用数的平方根。
6.初步了解无限不循环小数.
(1)让学生经历用夹逼的办法估计
的大小,感受
是无限不循环小数.
(2)在具体实例中,了解无限不循环小数的特征.
(3)会使用计算器求数的平方根.(利用计算器求平方根,较多感受无理数的近
似值)
7.理解平方与开平方互为逆运算,明确三级运算中的互逆关系.
13.2立方根
1.在类比思想的引导下,学习立方根的概念与性质
(本节从内容到知识的展开顺序都与上一节平方根基本平行,主要研究立方根的概念和求法.学习立方根的意义在于,一方面它有着广泛的应用,因为空间形体都是三维的,有关体积等的计算经常涉及开立方的问题;另一方面,立方根是奇次方根的特例,就像平方根是偶次方根的特例一样,它对进一步研究奇次方根的性质有典型的代表意义.)
例如:
概念教学可以从问题入手:
(1)什么数有平方根,只有非负数才有立方根吗?
(2)平方根如何表示,猜想一下立方根可以怎样表示?
(3)回顾平方根的特征,能试着总结一下立方根的特征吗?
它们有什么异同?
(4)求一个数的立方根的运算与什么运算互为逆运算
2.会用计算器求立方根.
3.落实一个基本功:
让学生熟练掌握1到10的立方,便于求常用数的立方根。
、
13.3实数
1.在数系扩充的原则指导下把有理数过渡到实数
概念扩充:
相反数,绝对值,倒数等等
数系扩充后原有的运算法则仍然成立
2.类比有理数的分类,认识实数的分类
例12.把下列各数分别填入相应的集合中.
-3.1415926,
0.303003000···,-0.050505···;
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
注:
提醒学生不要被数的外表所迷惑,要透过“现象”看“本质”.
3.适当介绍勾股定理,尝试着让学生在数轴上找一些无理点.(将数学活动1提前。
)
意义在于感受无理数的存在性,认识更多的无理数。
6.在实际操作的基础上,让学生体会实数与数轴上的点的一一对应关系.及平面直角坐标系中的点与有序实数对的一一对应关系.
5.有关实数计算的教学,需要掌控好尺度.
关于二次根式的运算,以后还会进一步的学习,教学时注意掌握现有计算的难度.
例14.计算
(1)
(2)
注:
区分运算符号与性质符号;在运算中,再渗透实数的有关概念.
例15.若实数
满足
求
的值.
注:
①在问题解决的过程中,注意非负性;
②小结非负实数:
.
例16.化简下列各式
(1)若
化简
(2)
(3)
注:
①含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.应遵循逐步渗透,不断加深的原则.
②此处字母的取值范围为全体实数.
③分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.
④有关实数的化简,在二次根式的学习中还会涉及到,此处不宜太难,应给学生留有继续学习的空间.
8、几点教学建议:
1.加强与实际的联系
抽象的概念,借助简单实际背景给出.这种编写的特点,分解了学习中的难点,感受了数学的实用性,易于学生接受,也体会到了数学的抽象性.
2.加强知识间的联系
本章内容属于“数与代数”领域,有关数的内容,学生已经系统学过有理数,对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识.因而本章很多内容可以类比有理数的相关内容得出.另外平方根,立方根在内容上也有很多类似之处.教学中注意利用类比的方法,既有助于加强知识间的相互联系,同时通过新旧知识的类比,可使学生的学习形成正迁移.思想的教育重于知识,及时进行知识的总结有利于提高学生的学习能力.
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根,且互为相反数;
零的平方根为零;
负数没有平方根;
一个正数有一个正的立方根;
一个负数有一个负的立方根;
零的立方根是零;
重要结论
3.留给学生探索交流的空间
本章编写时注意借助实际背景,让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论.教材中多次设置探究栏目,这些栏目多以填空形式出现.教学中适当给出时间,让学生多实践,引导学生从具体问题发现特征,在交流讨论中归纳出结论.体会从特殊到一般的过程,有利于发展学生的思维能力,可有效地改变学生学习的方式.
4.适当发挥计算器的作用,加强估算能力的培养
估算是一种具有实际应用价值的运算能力.本章安排了利用计算器求数的平方根,立方根,以及利用有理数估计无理数的大致范围等内容.这个环节的设置将有利于帮助学生感受无理数无限不循环的特点,更好的认识无理数.教学中,可结合具体情况,利用多种途径培养学生的运算能力.
5.把握好教学要求
本章对于某些内容采用提前渗透,逐步提高的编写方式:
(1)本章将点的坐标扩展到实数范围,建立点与有序实数对的一一对应关系,为后续学习函数的图像,函数与方程,不等式的关系等打下了基础.
(7)本章通过一个例题学习实数的简单运算.(p85,例2)
为说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍成立.而关于实数的运算在后面的二次根式一章中还要继续研究,此处不必过难.
(8)为了让学生更好地理解数轴上表示无理数的点的存在性,本章涉及到了勾股定理.这个内容后面还会专门再学,此处仅让学生了解即可.
我们的教学,应用一种发展的,动态的观点来看待,不能要求处处一步到位.本章教学中类比思想,分类讨论思想较突出.思想的教学,不一定都体现在题目中,在概念的教学中的渗透,是会迁移到对题目的解决中.希望学生在学习新知识的过程中,更好的感悟数学思想.随着时间的推移,具体的知识也许会在学生的头脑中遗忘,但解决问题的思想还
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