人教版数学八年级上册 143因式分解 专项能力提升训练一.docx
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人教版数学八年级上册143因式分解专项能力提升训练一
【14.3因式分解】专项能力提升训练
(一)
一.选择题
1.关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式,则a的值是( )
A.﹣6B.±6C.12D.±12
2.下列各式中,没有公因式的是( )
A.3x﹣2与6x2﹣4xB.ab﹣ac与ab﹣bc
C.2(a﹣b)2与3(b﹣a)3D.mx﹣my与ny﹣nx
3.将多项式16m2+1加上一个单项式后,使它能够在我们所学范围内因式分解,则此单项式不能是( )
A.﹣2B.﹣15m2C.8mD.﹣8m
4.下列多项式中不能用公式分解的是( )
A.a2+a+
B.﹣a2﹣b2﹣2abC.﹣a2+25b2D.﹣4﹣b2
5.多项式x2+mx+6可因式分解为(x﹣2)(x﹣3),则m的值为( )
A.6B.±5C.5D.﹣5
6.已知a﹣2b=10,ab=5,则a2+4b2的值是( )
A.100B.110C.120D.125
7.已知三角形的三边a,b,c满足(b﹣a)(b2+c2)=ba2﹣a3,则△ABC是( )
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
8.课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目,小聪马上发现了其中有一道题目错了,你知道是哪道题目吗?
( )
用平方差公式分解下列各式:
(1)a2﹣b2
(2)49x2﹣y2z2
(3)﹣x2﹣y2
(4)16m2n2﹣25p2
A.第1道题B.第2道题C.第3道题D.第4道题
9.对于正整数m,若m=pq(p≥q>0,且p,q为整数),当p﹣q最小时,则称pq为m的“最佳分解”,并规定f(m)=
(如:
12的分解有12×1,6×2,4×3,其中,4×3为12的最佳分解,则f(12)=
.若关于正整数n的代数式,也有同样的最佳分解,f(n2+3n)则下列结果不可能的是( )
A.1B.
C.
D.
10.任何一个正整数n都可以进行这样的分解:
n=s×t(s,t是正整数,且s≤t),如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:
F(n)=
.例如18可以分解成1×18,2×9,3×6这三种,这时就有F(18)=
.给出下列关于F(n)的说法:
①F
(2)=
;
②F(24)=
;
③F(27)=3;
④若n是一个整数的平方,则F(n)=1.其中正确说法的有( )
A.①②B.①③C.①④D.②④
二.填空题
11.因式分解:
x(x﹣2)﹣x+2= .
12.若x2+5x+a=(x﹣3)(x+b),则a+b= .
13.已知x2+kx+12=(x+a)(x+b),x2+kx+15=(x+c)(x+d),其中a,b,c,d均为整数.则k= .
14.多项式4a2﹣9bn(其中n是小于10的自然数,b≠0)可以分解因式,则n能取的值共有 种.
15.已知a,b,c为三角形的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,那么它的形状是 .
三.解答题
16.把下列各式因式分解
(1)﹣4a2x2+8ax﹣4;
(2)9(2a+3b)2﹣4(3a﹣2b)2.
17.
(1)已知a+b=10,ab=6,求a2b+ab2的值.
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=35°,求∠EAC的度数.
18.解答下列问题
(1)一正方形的面积是a2+6ab+9b2(a>0,b>0),则表示该正方形的边长的代数式是 .
(2)求证:
当n为正整数时,(2n+1)2﹣(2n﹣1)2能被8整除.
19.如图,把一个长方形纸板剪切成图示的9块,其中有2块边长是a的大正方形,2块是b的小正方形,还有5块长、宽分别是a和b的长方形,且a>b.
(1)通过观察图形,把多项式2a2+5ab+2b2分解因式.
(2)若4个正方形的面积和是58,每块长是a宽是b的小长方形的面积是10,求下面代数式的值.
①a+b;
②a2b+ab2.
20.先阅读下面的解法,然后解答问题.
例:
已知多项式3x3﹣x2+m分解因式的结果中有一个因式是(3x+1),求实数m.
解:
设3x3﹣x2+m=(3x+1)•K(K为整式)
令(3x+1)=0,则x=﹣
,得3(﹣
)3﹣(﹣
)2+m=0,∴m=
.
这种方法叫特殊值法,请用特殊值法解决下列问题.
(1)若多项式x2+mx﹣8分解因式的结果中有一个因式为(x﹣2),则实数m= ;
(2)若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为(x+1),求实数n的值;
(3)若多项式x4+mx3+nx﹣14分解因式的结果中有因式(x+1)和(x﹣2),求m,n的值.
参考答案
一.选择题
1.解:
∵关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式,
∴a=±12.
故选:
D.
2.解:
A、6x2﹣4x=2x(3x﹣2),3x﹣2与6x2﹣4x有公因式(3x﹣2),故本选项不符合题意;
B、ab﹣ac=a(b﹣c)与ab﹣bc=b(a﹣c)没有公因式,故本选项符合题意;
C、2(a﹣b)2与3(b﹣a)3有公因式(a﹣b)2,故本选项不符合题意;
D、mx﹣my=m(x﹣y),ny﹣nx=﹣n(x﹣y),mx﹣my与ny﹣nx有公因式(x﹣y),故本选项不符合题意.
故选:
B.
3.解:
A、16m2+1﹣2=16m2﹣1=(4m+1)(4m﹣1),不符合题意;
B、16m2+1﹣15m2=m2+1,不能分解,符合题意;
C、16m2+1+8m=(4m+1)2,不符合题意;
D、16m2+1﹣8m=(4m﹣1)2,不符合题意.
故选:
B.
4.解:
A、原式=(a+
)2,不符合题意;
B、原式=﹣(a2+b2+2ab)=﹣(a+b)2,不符合题意;
C、原式=(﹣a+5b)(a+5b),不符合题意;
D、原式不能分解,符合题意.
故选:
D.
5.解:
根据题意得:
x2+mx+6=(x﹣2)(x﹣3)=x2﹣5x+6,
则m的值为﹣5.
故选:
D.
6.解:
∵a﹣2b=10,ab=5,
∴a2+4b2=(a﹣2b)2+4ab=102+4×5=120.
故选:
C.
7.解:
(b﹣a)(b2+c2)=ba2﹣a3,
(b﹣a)(b2+c2)=a2(b﹣a),
(b﹣a)(b2+c2)﹣a2(b﹣a)=0,
(b﹣a)(b2+c2﹣a2)=0,
则b﹣a=0或b2+c2﹣a2=0,
则b=a或b2+c2=a2,
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
故选:
D.
8.解:
由题意可知:
a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),
49x2﹣y2z2=(7x+yz)(7x﹣yz),
﹣x2﹣y2无法用平方差公式因式分解,
16m2n2﹣25p2=(4mn+5p)(4mn﹣5p),
故第3道题错误.
故选:
C.
9.解:
∵n2+3n=n(n+3),n2+3n=1×(n2+3n),其中n(n+3)是n2+3n的最佳分解,
∴f(n2+3n)=
,
A、当
时,n=n+3,1=3,出现矛盾,则A不可能存在;
B、当
时,2n=n+3,n=3,则B可能存在;
C、当
时,n=1,则C可能存在;
D、当
时,n=6,则D可能存在;
故选:
A.
10.解:
①∵2=1×2,
∴F
(2)=
是正确的;
故①正确;
②∵24=1×24=2×12=3×8=4×6,这几种分解中4和6的差的绝对值最小,
∴F(24)=
=
,
故②是错误的;
③∵27=1×27=3×9,其中3和9的绝对值较小,又3<9,
∴F(27)=
,
故③是错误的;
④∵n是一个整数的平方,
∴n能分解成两个相等的数,则F(n)=1,故④是正确的.
∴正确的有①④.
故选:
C.
二.填空题
11.解:
原式=x(x﹣2)﹣(x﹣2)=(x﹣2)(x﹣1).
故答案为:
(x﹣2)(x﹣1).
12.解:
(x﹣3)(x+b)=x2+(b﹣3)x﹣3b,
∵x2+5x+a=(x﹣3)(x+b),
∴x2+5x+a=x2+(b﹣3)x﹣3b,
∴a=﹣3b,b﹣3=5,
解得a=﹣24,b=8,
所以a+b=﹣24+8=﹣16.
故答案为:
﹣16.
13.解:
∵x2+kx+12=(x+a)(x+b),
∴x2+kx+12=x2+(a+b)x+ab,
∴a+b=k,ab=12;
∵x2+kx+15=(x+c)(x+d),
∴x2+kx+15=x2+(c+d)x+cd,
∴c+d=k,cd=15;
∵a,b,c,d均为整数,
∴k=±8;
故答案为±8.
14.解:
多项式4a2﹣9bn(其中n是小于10的自然数,b≠0)可以分解因式,
则n能取的值为0,2,4,6,8,共5种,
故答案为:
5
15.解:
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,
∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2),
∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2,
当a2﹣b2=0时,a=b;
当c2=a2+b2时,∠C=90°,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
故答案为:
等腰三角形或直角三角形.
三.解答题
16.解:
(1)原式=﹣4(a2x2﹣2ax+1)
=﹣4(ax﹣1)2;
(2)原式=[3(2a+3b)+2(3a﹣2b)][3(2a+3b)﹣2(3a﹣2b)]
=13b(2a+5b).
17.解:
(1)∵a+b=10,ab=6,
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=6×10
=60;
(2)∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵AE∥BD,
∴∠ABD=∠BAE,∠DBC=∠E.
∴∠BAE=∠E=35°,
∴∠ABC=70°.
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°,
∴∠EAC=40°+35°=75°.
18.
(1)解:
∵a2+6ab+9b2=(a+3b)2,
∴表示该正方形的边长的代数式是a+3b.
故答案为:
a+3b;
(2)证明:
∵(2n+1)2﹣(2n﹣1)2
=[(2n+1)+(2n﹣1)][(2n+1)﹣(2n﹣1)]
=4n×2
=8n,
∴原式能被8整除.
19.解:
(1)2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)
(2)由题意知:
2a2+2b2=58,ab=10,
∵a2+2ab+b2=(a+b)2,
∴29+2×10=(a+b)2,
又∵a+b>0,
∴①a+b=7;
②a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70.
20.解:
(1)由题意得,x2+mx﹣8=(x﹣2)•K(K为整式),
令x﹣2=0,则x=2,
把x=2代入x2+mx﹣8=0,
得,m=2,
故答案为:
2;
(2)设:
x3+3x2+5x+n=(x+1)•A(A为整式),
若x3+3x2+5x+n=(x+1)•A=0,则x+1=0或A=0,
当x+1=0时,x=﹣1.
则x=﹣1是方程x3+3x2+5x+n=0的解,
∴(﹣1)3+3×(﹣1)2+5×(﹣1)+n=0,即﹣1+3﹣5+n=0,
解得,n=3;
(3)设x4+mx3+nx﹣14=(x+1)(x﹣2))•B(B为整式),
若x4+mx3+nx﹣14=(x+1)(x﹣2))•B=0,则x+1=0,x﹣2=0,C=0,
当x+1=0时,即x=﹣1,
∴(﹣1)4+m•(﹣1)3+n•(﹣1)﹣14=0,
即m+n=﹣13①,
当x﹣2=0时,即x=2,
∴24+m•23+n•2﹣14=0,
即4m+n=﹣1②,
联立①②解方程组得:
.
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