版高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用讲义第四章+三角函数+解三角形+第22讲+Word版含答案.docx
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版高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用讲义第四章+三角函数+解三角形+第22讲+Word版含答案
第22讲 三角函数的图象和性质
考试要求 1.y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象及周期性(A级要求);2正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最值及与x轴的交点等)(B级要求);3.正切函数在区间内的单调性(B级要求).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)由sin=sin知,是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.( )
(2)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.( )
(3)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.( )
(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(5)y=sin|x|是偶函数.( )
解析
(1)函数y=sinx的周期是2kπ(k∈Z).
(2)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(3)正切函数y=tanx在每一个区间(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.
(4)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)× (5)√
2.(2018·苏北四市一模)函数y=cos的最小正周期为________.
解析 函数y=cos的最小正周期T==4π.
答案 4π
3.(必修4P33例4改编)函数y=2tan的定义域为________.
解析 ∵x-≠kπ+,k∈Z,∴x≠kπ+,k∈Z,
即函数的定义域为.
答案
4.(2017·苏州一模)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=________.
解析 由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+(k∈Z),即φ=3kπ+(k∈Z),又φ∈[0,2π],
所以φ=.
答案
5.函数f(x)=sin在区间上的最小值为________.
解析 由已知x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-.
答案 -
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调增区间
[2kπ-π,2kπ]
单调减区间
[2kπ,2kπ+π]
无
对称中心
(kπ,0)
对称轴方程
x=kπ+
x=kπ
无
考点一 三角函数的定义域与值域
【例1】
(1)函数f(x)=-2tan的定义域是________.
(2)(2017·泰州模拟)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.
(3)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为________.
解析
(1)由正切函数的定义域,
得2x+≠kπ+(k∈Z),
即x≠+(k∈Z).
∴函数的定义域为.
(2)因为0≤x≤9,所以-≤x-≤,
所以sin∈.
所以y∈[-,2],所以ymax+ymin=2-.
(3)设t=sinx-cosx,
则t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,
sinxcosx=,且-≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;
当t=-时,ymin=--.
∴函数的值域为.
答案
(1)
(2)2-
(3)
规律方法
(1)三角函数定义域的求法,以正切函数为例,应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Atan(ωx+φ)的定义域.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:
①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【训练1】
(1)函数y=tan2x的定义域是________.
(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为________.
解析
(1)由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan2x的定义域为.
(2)由f(x)=cos2x+6cos=1-2sin2x+6sinx=-2+,所以当sinx=1时函数的最大值为5.
答案
(1)
(2)5
考点二 三角函数的单调性
【例2】
(1)函数f(x)=sin的单调递减区间为________.
(2)(一题多解)若f(x)=2sinωx+1(ω>0)在区间上是增函数,则ω的取值范围是________.
解析
(1)由已知可得函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).
(2)法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,
得f(x)的增区间是(k∈Z).
因为f(x)在上是增函数,
所以⊆.
所以-≥-且≤,所以ω∈.
法二 因为x∈,ω>0.
所以ωx∈,
又f(x)在区间上是增函数,
所以⊆,
则又ω>0,
得0<ω≤.
法三 因为f(x)在区间上是增函数,故原点到-,的距离不超过,即得T≥,即≥,又ω>0,得0<ω≤.
答案
(1)(k∈Z)
(2)
规律方法
(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.
(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.
【训练2】
(1)函数f(x)=tan的单调递增区间是________.
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.
解析
(1)由kπ-<2x- 所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z). (2)由 +<ωx+<ωπ+, 又y=sinx的单调递减区间为,k∈Z, 所以 解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z. 又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z, 得k=0,所以ω∈. 答案 (1)(k∈Z) (2) 考点三 三角函数的奇偶性与对称性(多维探究) 命题角度1 奇偶性 【例3-1】 (1)(2017·常州期末)函数y=2cos2-1是最小正周期为________的________函数(填“奇”或“偶”). (2)(2018·衡水中学金卷)设函数f(x)=sin-cos的图象关于y轴对称,则θ=________. 解析 (1)y=2cos2-1 =cos2=cos=cos=sin2x, 则函数为最小正周期为π的奇函数. (2)f(x)=sin-cos= 2sin,由题意可得f(0)=2sin=±2,即sin=±1,∴θ-=+kπ(k∈Z),∴θ=+kπ(k∈Z),∵|θ|<,∴k=-1时,θ=-. 答案 (1)π 奇 (2)- 命题角度2 轴对称 【例3-2】 (1)(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若函数f(x)=2sin(4x+φ)(φ<0)的图象关于直线x=对称,则φ的最大值为________. (2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为________. 解析 (1)由题可得,4×+φ=+kπ,k∈Z,∴=+kπ,k∈Z,∵φ<0,∴φmax=-. (2)因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,-=+,即==·,解得ω=2k+1(k∈N),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,令ω=11,∵x=是y=f(x)的对称轴,∴+φ=+kπ(k∈N).又由|φ|≤,解得φ=-,此时f(x)=sin,f(x)在上递增,在上递减,不满足f(x)在上单调;同理令ω=9,则φ=,此时f(x)=sin,满足f(x)在上单减,综上,ω的最大值为9. 答案 (1)- (2)9 命题角度3 中心对称 【例3-3】 (1)已知函数y=2sin的图象关于点P(x0,0)对称,若x0∈,则x0=________. (2)若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为________. 解析 (1)由题意可知2x0+=kπ,k∈Z, 故x0=-,k∈Z, 又x0∈,∴-≤k≤,k∈Z, ∴k=0,则x0=-. (2)由题意知π+=kπ+(k∈Z), ∴ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,∴ωmin=2. 答案 (1)- (2)2 规律方法 (1)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 2f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z); ②f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). (2)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可. (3)对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可. 【训练3】 (1)(2017·无锡期末)若函数f(x)=cos的图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈,则x0=______. (2)(2018·盐城模拟)当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则下列关于函数y=f的说法正确的是________(填序号). ①是奇函数且图象关于点对称; ②是偶函数且图象关于点(π,0)对称; ③且奇函数且图象关于直线x=对称; ④是偶函数且图象关于直线x=π对称. 解析 (1)因为f(x)=cos=cos=-sin2x,由2x0=kπ,k∈Z得x0=,k∈Z. 由x0∈,故k=0,1时,x0=0,. (2)∵当x=时,函数f(x)取得最小值, ∴sin=-1,∴φ=2kπ-(k∈Z), ∴f(x)=sin=sin, ∴y=f=sin(-x)=-sinx, ∴y=f是奇函数,且图象关于直线x=对称. 答案 (1)0或 (2)③ 一、必做题 1.(2017·江苏押题卷)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为T=π,则ω=________. 解析 因为T=,所以=π,故ω=3. 答案 3 2.(2017·南京模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f的值是________.
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