初中命题证明详解.docx
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初中命题证明详解.docx
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初中命题证明详解
中考命题证明总复习
1、
平行线性质定理:
两条直线平行被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补);
已知:
如图所示,a//b
求证:
∠1=∠2
证明:
∵a//b
∴∠1=∠3
∵∠2=∠3,
∴∠1=∠2
已知:
如图所示,a//b3求证:
∠1+∠2=180°
证明:
∵a//b
∴∠1=∠3
∵∠2+∠3=180°
∴∠1+∠2=180°
2、
平行线判定定理:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行.
已知:
如图所示,直线a和直线b被直线l所截,其中∠1=∠2
求证:
a//b
证明:
∵∠2=∠3,∠1=∠2
∴a//b
已知:
如图所示,直线a和直线b被直线l所截,其中∠1+∠2=180°3
求证:
a//b
证明:
∵∠2+∠3=180°,∠1+∠2=180°
∴∠1=∠3
∴a//b
3、三角形的内角和定理:
三角形的内角和等于180°
已知:
三角形ABC
求证:
∠A+∠B+∠C=180°
过点A作EF∥BC,
∴∠B=∠BAE
∠C=∠CAF
又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
4、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
已知:
在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,∠C=∠F,AB=DE,
求证:
△ABC≌△DEF.
证明:
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°
而∠B=∠E,∠C=∠F,
∴∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
∠A=∠D
AB=DE
∠B=∠E
∴:
△ABC≌△DEF(ASA)
5、角平分线的性质定理:
角平分线上的点到两边的距离相等,反之角内部到两边的距离相等的点在角平分线上
已知:
如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F
求证:
PE=PF
证明:
∵OC是∠AOB的平分线
∴∠POE=∠POF
∵PE⊥OA,PF⊥OB,
∴∠PEO=∠PFO
又∵OP=OP
∴△POE≌△POF
∴PE=PF
故角平分线上的点到两边的距离相等
已知:
如图点p是∠AOB内的一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F且PE=PF
求证:
Op是∠AOB的平分线
证明:
∵PE⊥OA,PF⊥OB,
∴∠PEO=∠PFO=90°
又∵PE=PF
∴△POE≌△POF
∴∠POE=∠POF
∴Op是∠AOB的平分线
故角内部到两边的距离相等的点在角平分线上
6、线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等,反之到两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上
已知:
如图所示,当A,D不重合,AD⊥BC,DB=CD.
求证:
AB=AC,
证明:
∵AD⊥BC,DB=CD.
∴AD=AD,∠ADB=∠ADC,BD=DC,
∴△ADB≌△ADC,
∴AB=AC.
当A,D重合,
D为BC的中点,则BD=DC,
故线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
已知:
如图所示,线段BC,当A,D不重合,AB=AC
求证:
点A在线段BC的垂直平分线上
证明:
连接AB,AC,作AD⊥BC于点D
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴BD=DC
当A,D重合,
D为BC的中点,则BD=DC,
故两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上
7、等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合;
已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC.
求证:
∠B=∠C.
证明:
如图,过D作BC⊥AD,垂足为点D
∵AB=AC,AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴∠B=∠C.
已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线
求证:
BD=CD,AD⊥BC.
证明:
在△ABD与△ACD中,
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°.
即AD⊥BC
8、等腰三角形的判定定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形
已知:
如图,在ΔOAB中,∠A=∠B
求证:
OA=OB.
证明:
过O点作OC⊥AB,垂足为C.
在ΔOAC和ΔOBC中,
∠A=∠B
∠OCA=∠OCB=90°
OC=OC
∴ΔOAC≌ΔOBC
∴OA=OB
9、
等边三角形的性质定理:
等边三角形各角都等于60°
已知:
如图,在ΔOAB中,OA=OB=AB
求证:
∠A=∠B=∠O=60°
证明:
∵OB=OB
∴∠A=∠B
∵OB=AB
∴∠O=∠A
∴∠A=∠B=∠O
又∵∠A+∠B+∠O=180°
∴∠A=∠B=∠O=60°
10、
等边三角形的判定定理:
三个角相等的三角形(或有一个角是60°等腰三角形)是等边三角形;
已知:
如图,在ΔOAB中,∠A=∠B=∠O
求证:
ΔOAB是等边三角形
证明:
∵∠A=∠B
∴OA=OB
∵∠O=∠A
∴OB=AB
∴OA=OB=AB
∴ΔOAB是等边三角形
已知:
如图,在ΔOAB中,∠O=60°,OA=OB求证:
ΔOAB是等边三角形
证明:
∵OA=OB
∴∠A=∠B
∵∠O=60°
∴∠A+∠B=180°-60°=120°
∴∠A=∠B=60°
∴∠A=∠B=∠O
∴ΔOAB是等边三角形
11、直角三角形的性质定理:
直角三角形的两个锐角互余;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
已知:
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
求证:
∠ABC+∠BAC=90°
证明:
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=90°
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°
已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
求证:
CD=
AB;
证明:
如图,延长CD到E,使DE=CD,连接AE、BE,
∵CD是斜边AB上的中线,
∴AD=BD,
∴四边形AEBC是平行四边形,
∵∠ACB=90°,
∴四边形AEBC是矩形,
∴AD=BD=CD=DE,
∴CD=
AB.
12、直角三角形的判定定理:
有两个角互余的三角形是直角三角形
已知:
如图所示,在△ABC中,∠ABC+∠BAC=90°∠ACB=90°
求证:
△ABC是直角三角形
证明:
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∠ABC+∠BAC=90°
∴∠ACB=180°-∠ABC+∠BAC=90°
∴△ABC是直角三角形
13、直角三角形全等的判定定理:
斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等
已知:
如图,在△ABC和△A′B′C′中,AC=A′C′,AB=A′B′,∠C=∠C′=90°
求证:
△ABC≌△A′B′C′.
证明:
∵∠C=90°
∴
∵∠C′=90°
∴
∵AC=A′C′,AB=A′B′
∴BC=BC’
∴△ABC≌△A′B′C′
14、平行四边形的有关性质(定义除外)和四边形是平行四边形的条件(用定义除外);
平行四边形的性质:
平行四边形的对角线互相平分
已知:
如图所示,四边形ABCD是平行四边形
求证:
OA=OC,OB=OD
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,BC=DA,AB∥CD,CB∥AD
∴∠BAC=∠ACD,∠ABO=∠CDO
∴△ABO≌△CDO(AAS)
∴OA=OC,OB=OD
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知:
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA
求证:
四边形ABCD是平行四边形
证明:
连接AC
∵AB=CD,BC=DA,AC=CA
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴AB∥CD,CB∥AD
∴四边形ABCD是平行四边形
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD
求证:
四边形ABCD是平行四边形
证明:
连接AC
∵AB∥CD
∴∠1=∠2
∵AB=CD,AC=CA
∴△ABC≌△CDA(SAS)
∴BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
③对角线互相平分的四边形是平行四边形的
已知:
如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO
求证:
四边形ABCD是平行四边形
证明:
∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2
∴△AOD≌△COB(SAS)
∴∠3=∠4
∴AD∥CB
同理,AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形的
已知:
如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D
求证:
四边形ABCD是平行四边形
证明:
∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=360°
∴2∠A+2∠B=360°
∴∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理,AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
15、
矩形、菱形、正方形的有关性质(定义除外)和四边形是矩形、菱形、正方形的条件(用定义除外);
矩形的性质:
①矩形的四个角都是直角
已知:
如图,四边形ABCD是矩形
求证:
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明:
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形
∴∠C=∠A=90°
∠B=1800-∠A=90°
∠D=1800-∠A=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
②矩形的两条对角线相等
已知:
如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线
求证:
AC=BD
证明:
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°
∵BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC=DB
①有三个角是直角的四边形是矩形
已知:
如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°
求证:
四边形ABCD是矩形
证明:
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
∴AD∥BC,AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形
已知:
如图,在□ABCD中,对角线AC=BD
求证:
四边形ABCD是矩形
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB∥CD
∵AC=DB,BC=CB
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB
∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=90°
∴四边形ABCD是矩形
菱形的性质:
①菱形的四条边都相等
已知:
如图,四边形ABCD是菱形
求证:
AB=BC=CD=DA
证明:
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC
∴AB=BC=CD=AD
②菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角
已知:
如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O
求证:
(1).AC⊥BD;
(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC
证明:
(1)∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD,AO=CO
∵DO=DO
∴△AOD≌△COD(SSS)
∴∠AOD=∠COD=90°
∴AC⊥BD
(2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD
(3)∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC
菱形的判定:
①四条边都相等的四边形是菱形
已知:
如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA
求证:
四边形ABCD是菱形
证明:
∵AB=BC=CD=DA
∴AB=CD,BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知:
如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD
求证:
四边形ABCD是菱形
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO
∵AC⊥BD
∴DA=DC
∴四边形ABCD是菱形
正方形的性质:
①正方形的四个角都是直角,四条边都相等
已知:
四边形ABCD是正方形
求证:
(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
(2)AB=BC=CD=DA
证明:
∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是矩形,也是菱形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA
②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
已知:
四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线
求证:
(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;
(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
证明:
∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形
∴AO=CO,BO=DO,AC=BD;
AC⊥BD
AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC
正方形的判定:
①有一个角是直角的菱形是正方形
已知:
四边形ABCD是菱形,∠A=90°
求证:
四边形ABCD是正方形
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=90°
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=180°-∠A=90°
∴∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
∵AB=BC
∴四边形ABCD是正方形
②对角线相等的菱形是正方形
已知:
四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD
求证:
四边形ABCD是正方形
证明:
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形
∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
∵AB=BC
∴四边形ABCD是正方形
③对角线互相垂直的矩形是正方形
已知:
四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD
求证:
四边形ABCD是正方形
证明:
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形
∵AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形
16、三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
已知:
D、E分别是△ABC的两边AB,AC的中点
求证:
DE∥BC,DE=
BC
证明:
延长DE到F,使EF=DE,连接CF.
∵AE=CE,∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△CEF.
∴AD=CF,∠ADE=∠CFE.
∴AD∥CF.
∵AD=BD,
∴BD=CF.
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴DE∥BC,DE=
BC
17、垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
已知:
如图,CD是圆0的直径,CD⊥AB
求证:
AM=BM,
证明:
连接OA,OB,则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
∴
18、圆周角定理及其推论:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;
已知:
如图,∠ABC是圆O的圆周角,∠AOC是圆O的圆心角
求证:
∠ABC=
∠AOC
证明:
分以下情况分析
第一种情况:
当∠ABC的一边BC经过圆心O时
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=2∠ABO
∴∠ABC=
∠AOC
第二种情况:
①∠ABC的两边都不经过圆心O时,如右图所示
∵∠1是△ABO的外角
∴∠1=∠2+∠3
∵OA=OB
∴∠2=∠3
∴∠1=2∠2
∴∠2=
∠1
同理,∠4=
∠5
∴∠2+∠4=
(∠1+∠5)
∴∠ABC=
∠AOC
②∠ABC的两边都不经过圆心O时,如右图所示
连接BO并延长,与相交于点D
∵∠AOD是△ABO的外角
∴∠ABD=∠A+∠ABO
∵OA=OB
∴∠A=∠ABO
∴∠AOD=2∠ABD
∴∠ABD=
∠AOD
同理,∠CBD=
∠COD
∴∠ABD-∠CBD=
∠AOD-
∠COD
=
(∠AOD-∠COD)
∴∠ABC=
∠AOC
19、直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;
已知:
如图,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点
求证:
∠ACB=90°
证明:
如图,AB是圆O的直径,C是圆上一点
连接OC,那么OC=OA=OB
所以,
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