高中数学必修五北师大版 不等式 章末复习课 学案.docx
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高中数学必修五北师大版不等式章末复习课学案
学习目标
1.整合知识结构,进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值.
知识点一 “三个二次”之间的关系
所谓三个二次,指的是①二次函数图象及与x轴的交点;②相应的一元二次方程的实根;③一元二次不等式的解集端点.
解决其中任何一个“二次”问题,要善于联想其余两个,并灵活转化.
知识点二 规划问题
1.规划问题的求解步骤.
(1)把问题要求转化为约束条件;
(2)根据约束条件作出可行域;
(3)对目标函数变形并解释其几何意义;
(4)移动目标函数寻找最优解;
(5)解相关方程组求出最优解.
2.关注非线性:
(1)确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件,以曲线定界,以特殊点定域.
(2)常见的非线性目标函数有①
,其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率;②
,其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)的距离.
知识点三 基本不等式
利用基本不等式证明不等式和求最值的区别.
利用基本不等式证明不等式,只需关注不等式成立的条件.
利用基本不等式求最值,需要同时关注三个限制条件:
一正;二定;三相等.
类型一 “三个二次”之间的关系
例1 设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M⊆[1,4],求实数a的取值范围.
解 M⊆[1,4]有两种情况:
其一是M=∅,此时Δ<0;其二是M≠∅,此时Δ=0或Δ>0,下面分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)=x2-2ax+a+2,
对方程x2-2ax+a+2=0,
有Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2),
①当Δ<0时,-1 ②当Δ=0时,a=-1或a=2. 当a=-1时,M={-1}⃘[1,4],不满足题意; 当a=2时,M={2}⊆[1,4],满足题意. ③当Δ>0时,a<-1或a>2. 设方程f(x)=0的两根为x1,x2,且x1 那么M=[x1,x2],M⊆[1,4]⇔1≤x1 ⇔ 即 解得2 , 综上可知,当M⊆[1,4]时,a的取值范围是(-1, ]. 反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化,如1≤x1 则可化归为简单的一元一次不等式组. (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想. 跟踪训练1 若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=________. 答案 2 解析 因为ax2-6x+a2<0的解集是(1,m), 所以1,m是方程ax2-6x+a2=0的根,且m>1, ⇒ ⇒ 类型二 规划问题 例2 已知变量x,y满足约束条件 求z=2x+y的最大值和最小值. 解 如图,阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域. 设l0: 2x+y=0,l: 2x+y=z,则z的几何意义是直线y=-2x+z在y轴上的截距,显然,当直线越往上移动,对应在y轴上的截距越大,即z越大;当直线越往下移动,对应在y轴上的截距越小,即z越小. 上下平移直线l0,可得当l0过点A(5,2)时,zmax=2×5+2=12;当l0过点B(1,1)时,zmin=2×1+1=3. 反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关,所以画可行域要尽可能精确; (2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系,所以要关注截距越大,z越大还是越小. 跟踪训练2 某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小. 解 设需要甲种原料x张,乙种原料y张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个, 由题意可得 所用原料的总面积为z=3x+2y, 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示. 在一组平行直线3x+2y=z中, 经过可行域内的点A时,z取得最小值, 直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点为A(2,1), 即最优解为(2,1). 所以使用甲种规格原料2张,乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小. 类型三 利用基本不等式求最值 命题角度1 无附加条件型 例3 设f(x)= . (1)求f(x)在[0,+∞)上的最大值; (2)求f(x)在[2,+∞)上的最大值. 解 (1)当x>0时,有x+ ≥2, ∴f(x)= = ≤25. 当且仅当x= ,即x=1时等号成立, ∴f(x)在[0,+∞)上的最大值是25. (2)∵函数y=x+ 在[2,+∞)上是增函数且恒为正, ∴f(x)= 在[2,+∞)上是减函数,且f (2)=20. ∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为20. 反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”,缺一不可,可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值,可以考虑用函数的单调性求解. 跟踪训练3 求函数y= +x(x>3)的最小值. 解 ∵y= +x= +(x-3)+3,x>3, ∴x-3>0, >0, ∴y≥2 +3=5. 当且仅当 =x-3, 即x=4时,y有最小值5. 命题角度2 有附加条件的最值问题 例4 函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则 + 的最小值为________. 答案 4 解析 方法一 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1), ∵点A在直线mx+ny-1=0上, ∴m+n=1, ∴ + = = ≥ =4, 当且仅当m=n= 时,取等号. 方法二 + =(m+n)( + ) =2+ + ≥2+2 =4, 当且仅当 即m=n= 时取等号. ∴ min=4. 反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时,常见的用法有两个: 一个是用这个等式消元,化为角度1的类型;一个是直接利用该等式代入,或构造定值. 跟踪训练4 设x,y都是正数,且 + =3,求2x+y的最小值. 解 ∵ + =3, ∴ =1. ∴2x+y=(2x+y)×1=(2x+y)× = ≥ = + = . 当且仅当 = ,即y=2x时,取等号. 又∵ + =3,∴x= ,y= . ∴2x+y的最小值为 . 1.设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=4x+2y的最大值为( ) A.12B.10C.8D.2 答案 B 解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示,目标函数z=4x+2y可转化为y=-2x+ , 作出直线y=-2x并平移,显然当其过点A时,纵截距 最大. 解方程组 得A(2,1), 所以zmax=4×2+2×1=10. 2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|-2 },则a+b等于( ) A.-18B.8C.-13D.1 答案 C 解析 ∵-2和- 是方程ax2+bx-2=0的两根. ∴ ∴ ∴a+b=-13. 3.设a>b>0,则a2+ + 的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 D 解析 a2+ + =a2-ab+ab+ + =a(a-b)+ +ab+ ≥2+2=4. 当且仅当a(a-b)=1且ab=1, 即a= ,b= 时取等号. 1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础,是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此,要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法 对于一元二次不等式ax2+bx+c>0(或≥0,<0,≤0)(其中a≠0)的求解,要联想两个方面的问题: 二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点;方程ax2+bx+c=0的根.按照Δ>0,Δ=0,Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(或≥0,<0,≤0)(a>0)的解集. 3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),实数Ax+By+C的符号相同,取一个特殊点(x0,y0),根据实数Ax0+By0+C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域,可简记为“直线定界,特殊点定域”.特别地,当C≠0时,常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线,可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点,于是在选择题中关于线性规划的最值问题,可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用基本不等式求最值时把握三个条件: ①“一正”——各项为正数;②“二定”——“和”或“积”为定值;③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. 40分钟课时作业 一、选择题 1.若a<0,-1 A.a>ab>ab2B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2D.ab>ab2>a 答案 D 解析 ∵a<0,-1 ∴ab>0,ab2<0. ∴ab>a,ab>ab2. ∵0<1+b<1,1-b>1>0, ∴a-ab2=a(1-b2)=a(1+b)(1-b)<0, ∴a ∴a 2.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧,则a的取值范围是( ) A.a<0或a>2B.0 C.a=0或a=2D.0≤a≤2 答案 B 解析 原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧,将原点(0,0)和点(1,1)代入x+y-a中,结果异号,即-a(1+1-a)<0,故0 3.不等式 ≤2的解集是( ) A.{x|x<-8或x>-3}B.{x|x≤-8或x>-3} C.{x|-3≤x≤2}D.{x|-3 答案 B 解析 原不等式可化为 -2≤0,即 ≤0,即(x+3)(x+8)≥0且x≠-3,解得x≤-8或x>-3. 4.若实数x,y满足 则 的取值范围是( ) A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)D.[1,+∞) 答案 B 解析 可行域如图阴影部分, 的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率,易求得 >1或 <-1. 5.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( ) A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>a C.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2 答案 B 解析 ∵a2+a<0,
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