第14课时 函数的应用一导学案.docx
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第14课时函数的应用一导学案
第14课时 函数的应用
(一)
1.能利用一次函数解决实际问题.
2.能利用反比例函数解决实际问题.
3.能够从运动变化中发现变量,并用函数表示.
1.列实际问题的函数表达式时,要注意:
(1)要正确写出函数的 ;
(2)要准确求出自变量的 ;(3)在函数的自变量的取值范围内,正确地作出函数 .
2.一次函数的图象是一条直线,函数本身没有最值,但当自变量的取值范围不是全体实数时,这时图象就不再是一条直线,可能是射线或线段,此时函数就存在最值问题.是射线存在最大值或 ,是线段既有 又有 .
3.解决实际问题时不仅要充分利用函数的图象,还要注意函数与不等式、方程之间的联系.
例1 (2014·湖北随州)某通讯公司提供了两种移动电话收费方式:
方式1,收月基本费20元,再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费;方式2,收月基本费20元,送80分钟通话时间,超过80分钟的部分,以每分钟0.15元的价格计费.下列结论:
①如图描述的是方式1的收费方法;
②若月通话时间少于240分钟,选择方式2省钱;
③若月通讯费为50元,则方式1比方式2的通话时间多;
④若方式1比方式2的通讯费多10元,则方式1比方式2的通话时间多100分钟.
其中正确的是( ).
A.只有①②B.只有③④
C.只有①②③D.①②③④
【解析】 根据收费标准,可得相应的函数表达式,根据函数表达式的比较,可得答案.
【全解】根据题意,得方式1的函数表达式为
y=0.1x+20,
方式2的函数表达式为
①方式1的函数表达式是一条直线,方式2的函数表达式是分段函数,
所以如图描述的是方式1的收费方法,另外,当x=80时,方式1是28元,方式2是20元,
故①说法正确;
②0.1x+20>20+0.15×(x-80),解得x<240,故②的说法正确;
③当y=50元时,方式1:
0.1x+20=50,解得x=300分钟,
方式2:
20+0.15×(x-80)=50,解得x=280分钟,
故③说法正确;
④当x<80,0.1x+20-20=10,解得x=100,矛盾;
当x>80,设方式1的通话时间为x1,方式2的通话时间为x2,
则
解得
因此若方式1比方式2的通讯费多10元,则方式1比方式2的通话时间多100分钟,
故④说法正确;
故选D.
举一反三
1.(2014·四川绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会,成人票每张20元,学生票每张5元,暑假期间,为了丰富广大师生的业余文化生活,影剧院制定了两种优惠方案,方案1:
购买一张成人票赠送一张学生票;方案2:
按总价的90%付款,某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会.
(1)设学生人数为x(人),付款总金额为y(元),分别建立两种优惠方案中y与x的函数表达式;
(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案.
【小结】解决一次函数的应用问题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型,利用一次函数的知识解决实际问题.
例2 (2014·四川泸州)某工厂现有甲种原料380千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料生产A,B两种产品共50件.已知生产一件A产品需要甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元;生产一件B产品需要甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元.设生产A,B两种产品总利润为y元,其中A种产品生产件数是x.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)如何安排A,B两种产品的生产件数,使总利润y有最大值,并求出y的最大值.
【解析】
(1)根据等量关系:
利润=A种产品的利润+B种产品的利润,可得出函数表达式;
(2)这是一道只有一次函数表达式的求最值问题,可根据等量关系总利润=A种产品的利润+B种产品的利润,可得出函数表达式,然后根据函数的性质确定自变量的取值范围,由函数y随x的变化求出最大利润.
【全解】
(1)y=700x+1200(50-x),
即y=-500x+60000.
解得30≤x≤36.
y=-500x+60000,
y随x的增大而减小,
当x=30时,y最大=45000,
生产B种产品20件,A种产品30件,总利润y有最大值,y最大=45000元.
举一反三
2.(2014·山东烟台)山地自行车越来越受到中学生的喜爱,各种品牌相继投放市场,某车行经营的A型车去年销售总额为5万元,今年每辆销售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A型车每辆售价多少元?
(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
A,B两种型号车的进货和销售价格如下表:
A型车
B型车
进货价格/元
1100
1400
销售价格/元
今年的销售价格
2000
【小结】本类题通过表格考查了利用一元一次不等式组和一次函数解决实际问题.解答时列出不等式组,建立一次函数模型并运用一次函数的性质求最值是难点.
例3 (2014·江苏盐城)一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发,匀速相向而行,两车在途中相遇后都停留一段时间,然后分别按原速一同驶往甲地后停车.设慢车行驶的时间为xh,两车之间的距离为ykm,图中折线表示y与x之间的函数图象,请根据图象解决下列问题:
(1)甲乙两地之间的距离为 km;
(2)求快车和慢车的速度;
(3)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
【解析】
(1)根据函数图象直接得出甲乙两地之间的距离;
(2)根据题意得出慢车往返分别用了4h,慢车行驶4h的距离,快车3h即可行驶完,进而求出快车速度以及利用两车速度之比得出慢车速度;
(3)利用
(2)所求得出点D,E坐标,进而得出函数表达式.
【全解】
(1)由题意,可得出:
甲乙两地之间的距离为560km;
故答案为560;
(2)由题意可得出:
慢车往返分别用了4h,慢车行驶4h的距离,快车3h即可行驶完,
∴设慢车速度为3xkm/h,快车速度为4xkm/h.
∵由题意,可得出快车行驶全程用了7h,
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y=-60x+540(8≤x≤9).
举一反三
3.(2014·浙江绍兴)已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车,图中DE,OC分别表示A,B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象解答下列问题.
(1)A比B后出发几个小时?
B的速度是多少?
(2)在B出发后几小时,两人相遇?
(第3题)
【小结】此类题主要考查从图象中读取信息的数形结合能力.要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势.
例4 (2014·天津)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg,如果一次购买2kg以上的种子,超过2kg部分的种子的价格打8折.
(1)根据题意,填写下表:
购买种子的数量/kg
1.5
2
3.5
4
…
付款金额/元
7.5
16
…
(2)设购买种子数量为xkg,付款金额为y元,求y关于x的函数表达式;
(3)若小张一次购买该种子花费了30元,求他购买种子的数量.
【解析】
(1)根据单价乘以数量,可得答案;
(2)根据单价乘以数量和价格,可得相应的函数表达式;
(3)根据函数值,可得相应的自变量的值.
【全解】
(1)10,18;
(2)根据题意得,
当0≤x≤2时,种子的价格为5元/千克,
∴y=5x;
当x>2时,其中有2千克的种子按5元/千克计价,超过部分按4元/千克计价,
∴y=5×2+4(x-2)=4x+2.
(3)∵30>10,
∴一次性购买种子超过2千克,
∴4x+2=30.
解得x=7,
故他购买种子的数量是7千克.
举一反三
4.(2014·新疆)如图
(1)所示,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.图
(2)是客车、货车离C站路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)
(2)
(第4题)
(1)填空:
A,B两地相距 千米.
(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数表达式.
(3)客、货两车何时相遇?
【小结】此类题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数表达式,利用图象获取正确信息是解题关键.在解决分段函数问题时,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际.分类讨论是解题关键.
例5 (2014·云南)将油箱注满k升油后,轿车可行驶的总路程S(单位:
千米)与平均耗油量a(单位:
升/千米)之间是反比例函数关系
(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶700千米.
(1)求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数表达式;
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?
【解析】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型.
【全解】
(1)由题意,得a=0.1,S=700,
故该轿车可以行驶多875千米.
举一反三
5.(2013·四川凉山州)某车队要把4000t货物运到雅安地震灾区.(方案定后,每天的运量不变)
(1)从运输开始,每天运输的货物吨数n(单位:
t)与运输时间t(单位:
天)之间有怎样的函数表达式?
(2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成任务,求原计划完成任务的天数.
【小结】此类题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法,求反比例函数表达式.
例6 (2014·浙江嘉兴)实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数
(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?
最大值为多少?
②当x=5时,y=45,求k的值.
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:
00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:
00能否驾车去上班?
请说明理由.
【解析】本题主要考查反比例函数与二次函数综合应用,根据图象得出正确信息是解题关键.
【全解】
(1)①y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200,
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升);
∴第二天早上7:
00不能驾车去上班.
举一反三
6.(2014·山东淄博)关于x的反比例函数
的图象如图,A,P为该图象上的点,且关于原点成中心对称.△PAB中,PB∥y轴,AB∥x轴,PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12,则关于x的方程
的根的情况是 .
(第6题)
【小结】本类题考查了反比例函数和二次函数的应用,现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的表达式或利用反比例函数性质解决相关问题.
参考答案
【自主梳理】
知识网络
> 一 宽 高 高 工作时间
重点积累
1.
(1)表达式
(2)取值范围 (3)图象
2.最小值 最大值 最小值
【真题精讲】
1.
(1)按优惠方案1可得
y1=20×4+(x-4)×5=5x+60(x≥4),
按优惠方案2可得
y2=(5x+20×4)×90%=4.5x+72(x≥4);
(2)因为y1-y2=0.5x-12(x≥4),
①当y1-y2=0时,得0.5x-12=0,解得x=24,
∴当购买24张票时,两种优惠方案付款一样多.
②当y1-y2<0时,得0.5x-12<0,解得x<24,
∴4≤x<24时,y1 ③当y1-y2>0时,得0.5x-12>0,解得x>24, 当x>24时,y1>y2,优惠方案2付款较少. 2. (1)设今年A型车每辆售价x元,则去年售价每辆为(x+400)元. 由题意,得 解得x=1600. 经检验,x=1600是原方程的根. 故今年A型车每辆售价1600元; (2)设今年新进A型车a辆,则B型车(60-x)辆,获利y元.由题意,得 y=(1600-1100)a+(2000-1400)(60-a), =-100a+36000. ∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍, ∴60-a≤2a. ∴a≥20. ∵y=-100a+36000. ∴k=-100<0. ∴y随a的增大而减小. ∴a=20时,y最大=34000元. ∴B型车的数量为60-20=40(辆). ∴当新进A型车20辆,B型车40辆时,这批车获利最大. 3. (1)由图可知,A比B后出发1小时; B的速度60÷3=20(km/h). (2)由图可知点D(1,0),C(3,60),E(3,90), 设OC的表达式为y=kx,则3k=60. 解得k=20. 所以y=20x, 设DE的表达式为y=mx+n. 4. (1)由题意,得B,C之间的距离为60千米,A,C之间的距离为360千米, 所以A,B两地相距360+60=420(千米); (2)由图可知货车的速度为60÷2=30(千米/小时), 货车到达A地一共需要2+360÷30=14(小时), 设y2=kx+b,代入点(2,0),(14,360),得 5. (1)∵每天运量×天数=总运量, 经检验,x=4是原方程的根,故原计划4天完成. 6.没有实数根
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