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第二章第十节
教师用书配套课件
第十节导数概念、导数的运算
考纲耍求新课改151年考悄
1.了蒔导数惬念的实賦
2•理穆导数的儿何点义
3•能根弱导数定文求函数
2009年填空題T11
y=C(C为常数).y=才・y=+・$=/・y=+•严石的导数
I•能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四処运算法则求简单函数的导数•能求简单的芨佥悔数(仅限于形
511y=f(ar+b)的复合函数)的导数
沉#提示
4果您加《龙木氓件的辻右:
申出"•字他泉.講旻用衡宥幻灯片・或序力亓可正*肚・
I基础回扣G
3•物体的瞬时速度及函数f(X)在X=Xo处的导数
(1)瞬时速度:
若物体的运动方程为S=f(t),则物体在任意时刻
t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)=在d趋于
0时的极限.
⑵函数f(x)在X=Xo处的导数:
①定义:
设函数f(x)在包含X。
的某个区间上有定义,如果比值
在d趋于0时(少0)趋于,则称此
为函数f在x=x°处的导数或,记作
(fe狎x。
)
_>f(x0)(d->0).确定的极限值
f(x0+d)-f(x0)
2函数f(x)的导函数
(1)若x取定义域内的任意一点,贝归趋于0时,比值
的极限值叫作f(x)的导函数,记作.
(2)符号表示为
—f'(x)(d->0).
f'(x)
f(x+d)-f(x)
d
3•导数的实际意义
(1)物理意义:
若物体矗运动方程为s=f(t),则f(t)为物体在任意时刻t的
(2)几何意义:
函数f(xj宕点X。
处的导数f'(X。
)的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的•相应地,切线方程为
瞬时速度v(t)
y-f(x0)=fr(x0)(x-x0)
4•基本初等函数的导数公式
⑴(c)'二0.
(2)(xa)-axa-1(a^0).
⑶(ex)-ex.
(4)(ax)=ax(lna)(a>0,a#1).
(5)(lnx)f=(x>0).
(7)(sinx)-cosx.x|n
(8)(cosx)--sinx.
(9)(tanx)-
(10)(cotx)‘二
(公式对函数定义域内甲自变量x有效)
cos2x
sin2x
5•导数运算法则
⑴(cf(x))'二cf'(x);
⑵(f(x)土g(x))J;
⑶(f(x)g(x))—
(f(x)HO);
(5)二
(f(x)HO);
f'(x)±g'(x)
f(x)g(x)+f(x)g©)
(6)若y=f(u),u=g(x),piijy>fu-u,x.
(丄y
fwK
(g(x)yf(x)g[x)-g(x)f[x)
f(X)(f(x))2
I思考辨析®
判断下面结论是否正确(请在括号中打7或“X”).
⑴f(x°)与(f(X。
))表示的意义相同・()
(2)求f(Xo)时,可先求f(Xo)再求f'(Xo)・()
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()
(5)若f(x)=a3+2ax-x2,贝!
|f,(x)=3a2+2x.()
•S紹早诲d学军茸可’第邮曰XU!
S二陶冊筍二人血越卫(£)
・(°X)博虽'(X)廨辛皿•鎳⑵・O=,((°x)j)阳'0M舌一诲音茸'書卑9—者(°X)禺诲園里'诲音阴(°x)圍诲国晋((°x)j)奥〔0M舌一丈'阜糜音阴矽X二x丑(x)pi函峯羽(Ox),「阴丼一丈晋((°x)j)刍(°x)』・迩耿I)【出期】
xsx(寸)Mm)X0X(T二幣
・e0+x7H(X)4轻-em^/rv區x服呱钗皿础妁w.w钗皿g廿托凶浪颯Q腺・
I考点自测0
1.下列函数求导运算正确的个数为()
①(3x)'=3x|og3e;②(log2x)r=
1
③(sin)'=cos;@()'=x.
xQn2
(A)1(B)2(C)3(D)4
Inx
兀冗1
3
求导运算正确的只有
1
【解析】选A.由求导公式可判断①②;③sin为一常数肿
②•故彎.]]
(sin④(云r益厂-乔孑'
・%,xmH二p;)CXJ二eCN+X)+z(e—X)H(X汇・城【£礎】(%+zx)ooQ)Ge—渋)CO(Q)Ge+zx)CM(m)Ge—zxgv)()来歸吓「^(e—x)(e2+x)lx=^®・CM
3•—质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=那么速率为零的时刻是()
即砂?
t?
+砂秒末
©)2秒采、(6)1秒末和2秒末
【解析】选D.sz=t2-3t+2,令s』0,则t二1或t二2.
4•曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为()
(A)y=2x—2(B)y=2x+2
(C)y=x—1(D)y=x+1
【詹析】选Cf(x)二Inx+l,f(l)=1zf(l)=0•切线方程为y=lx(x-1)z即y二x-1,故选C.
5.若函数y=(2x+1)4,则函数在点(0,1)处的切线的斜率是【解析】/=4•(2x+l)3•(2x+l)=8(2x+l)3,
故f'(0)二8•即所求切线的斜率是8.
答案:
8
够典例愛减◎為规律
考向1导数的概念及应用
【典例1】⑴若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且xoe(a,b),贝U的值为()
(A)f(x。
)(B)2f(x0)
(C)・2f'(Xo)_v__
(2)利用定咏厨
【思路点拨】
(1)根据导数的定义,将极限符号内的表达式表示成平均变化率的形式再求解.
(2)先求再求出当
△xfO时的极限值.
【潜醫耦哩】(lgB・AXH(xo+h)—(xo2rT2h、Ayuf(xo+h)—fxolh)、耳壬
tIF+h)—f(臺卩
了0h
r2〔亍+h)IAxo—hh
To
(2>yu
444AX(2X+AX)(x+ax)2X2x2(x+ax)2
2X+AX
(x+ax)2
2X+AX
A2>x70X2(X+AX『X」
【互动探究】在本例题⑴中,若f(x)=x0=e,其他条件不变,求的值.
血/(xo+h—fX-h)
hTO
且]
严+2012,
【解析】Tf(x)二x3+2j<+2故3
=血叭+h)*J
hTOh
2h
二2f'(e)脅2+土2iim%+h)-f(x0
h->0
012//.f,(x)=x2+2z
1)rf(x0+h)-f(x0
E2h
■h)
—=2f(x0)
【拓展提升】定义法求函数的导数的三个步骤-差:
求函数的改变>Ay=f(x+Ax)-f(x).
二比:
求平均变化率三极限:
取极限,得导数y'二f'(x)二
Ayf(x+Ax)-f(x)
AxAx
lim^.
axtoAx
【变式备选】
⑴如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),贝9f(f(0))=;
=(用数字作答).
lim
△xtO
f(l+Ax)—f(l)
Ax
【解析】f(0)=4zf(f(0))=f⑷二2
由导数的定义得
当0SXS2时,f(x)二令諾(叶(如答案:
2-2woAx
(2)求函数
【解析】
在x=t处的导数.
A111-Jl+Ax
Ay==—
71+Ax7171+Ax
-Ax
Jl+Ax(1+Jl+Ax)
lim—=lim[_]=——.
△xtOAxAxtOJ1+Ax(l+Jl+Ax)2
考向2导数的运算
【典例2】求下列函数的导数:
(1)y=(2x2-1)(3x+1).
⑵y=x・(3)y-⑷y=(3-2x)s.
sin—cos—・
(5)y=sin(2x+2・2
3x2-xTx+5Vx-9
【思路点拨】
(1)可以先展开解析式,然后再求导或利用乘积的求导法则进行求导.
⑵将利用三角公式化简后,再求导.
(3)将根式化成幕的形式,再求导.
⑷y二(3-2X)湛由y却5与m=3-2x复合而成.sin-cos—
(5)y=sin(2x4)是街y二sinu,u=2x+复合而成.
71
3
・IX寸+0X81>mJX9+x寸+cxcnih(IJX0)m+(I+xm)x寸H存+xm)clJXCN)+(I+xm)qJXCM)--h+mk・m—x寸+0x8IH・eJ(xm)JGX0)+GX9H
•(叩Xmdx0+EX9)H>・・二—xmJXCXJ+exgAI+xmMl:
JXCXJTA-swl--—+w更e【帥礎帜最】
V7
•【-[+【)咒
乙乙
乙如(——)x6-0+1-厂【i1
血X6)-亦)+/-,(严)
F£
‘7X6-9+X—2X£
二,心
=A.\(s)
7"£
・XSO3——l=<(xUIS—)~^X=/XU]S;_X)
I1I
IIIe
(Xuis--x=—soo—UlS二人・・・[XX,
剖凰刑P飛竿啓闿三宙到申(乙)
⑷设p=3-2x,则y=(3-2x)5是由y二“与p=3-2x复合而成,所以丿二几•Mx=(冋•®2x)‘
二5/•(-2)=-10p4=-10(3-2x)4.
(5)设y二sinu,u=2x+
贝Uy'-yur•Ux‘=cosu•2=2cos(2x+).
【拓展提升】导数计算的原则和方法
(1)原则:
先化简解析式,再求导.
⑵方法:
1连乘积形式:
先展开化为多项式的形式,再求导;
2分式形式:
观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
3对数形式:
先化为和、差的形式,再求导;
4眞式形式:
先化为分数指数幕的形式,再求导;
5三角开纟式:
先利用三角函数公式车右化为和金臺的开纟式z再求导
6复合函数:
由外向内z层层求导.
【变式训练】求下列函数的导数:
(1)y=3xex-2x+e・
(2)y=
(3)y=
Inx
(4)y=亍
【解析】⑴y-(3xex)T2x)q(e)‘=(3x),ex+3x(ex),-(2x),=3xln3•ex+=(3e)xln3e-2xln2.
⑵
y_(lnx)」lnx),x_xbx
Xx2
如-1"—”
x2
3xex-2xln2
⑶先化简'
y二
(4)设u二1]3乂丄贝0丫二g-4,]I
则-to^•=(-3)^(1+-).
12
(l-3x)‘
考向3导数几何意义的应用
【典例3】
(1)(2013-龙岩模拟)若曲线y=x?
+ax+b在点P(0,b)处的切线方程是x—y+1=0,贝ij()
(A)a=1,b=1(B)a=—1,b=1
(C)a=1,b=—1(D)a=—1,b=—1
⑵(2012-广东高考)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为
(3)已知曲线C:
y=x3-3x2+2x,直线人y=kx,且/与C切于点P(x°,yo)(xo#O),求直线/的方程及切点坐标.
【思路点拨】
(1)先由切线斜率求出a,再由点(0,b)在切线上求出b.⑵因为点(1,3)为切点,故可由导数的几何意义求出斜率后,再用点斜式写出切线
方程・(3)因为直线/过原点z故可根据导数的几何意义及斜率公式以及点P既在曲线上又在切线上,构造一个关于X。
,y°的方程组求解.
【规范解答】⑴选A.y‘二2x+a,因为切线x・y+1二0的斜率为1,所以2x0+a=l,即a二1•又(0,b)在直线x・y+1二0上,因止匕0-b+l二0,即b二L
(2)y=3x2-l,当x“时,y=2z此时斜率k二2,故所求切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+l=0.
答案:
2x-y+l=0
⑶由直线/过原点,知k二『
又点P(Xo,yo)在曲线C上,y0=x^^+ix0因为y‘=3x2-6x+2,故k=3x02-6x0+2.
又k二故二3Xo2・6Xo+2
由①②得
A
xo
A
xo
yo=xo3-3xo2+2x
O'
—=3x02-6x0+2,
xo
所以3X()2-6x0+2=x02-3x0+2,其中Xo^O,
解得x°二
所以y°二空斤以
2
所以直线/的胡呈为y=
【互动探究】在本例题⑵中若曲线y=x3-x+3在“点(1,3)处”改为“过点(1,3)”,其他条件不变,求此时的切线方程.
【解析】当点(1,3)是切点时,由本例⑵知z切线方程为2x-y+l=0.
当点(1,3)不是切点时,设切点为(X。
,x03-x0+3).Xy=3x2-lz故斜率k二3xo2-l,所求切线方程为y-(x03-x0+3)=
(3x02-1)(x-x0),将点(1,3)代入解得X。
二或X。
二1(舍),故
切点为此时切线方程为即
1
x+4y-13=0.一3
综上所述,切线方程为2x-y+l=0或x+4y-13二0.
【拓展提升】
L求曲线y二f(x)在点P(x°,y°)处的切线方程的步骤
(丄)求出函数y二f(x)在点x二X。
处的导数,即曲线y二f(x)在点P(x°,f(x。
))处切线的斜率・
⑵①如果已知切点坐标和切线的斜率z切线方程为y二y°十f'(x°)(x-x0).②如果切线平行于y轴,切线方程为x二X°・
2•求曲线y二f(x)过点P(x°,y°)的切线方程的步骤
⑴设切点A(Xa,f(xA))z求切线的斜率k二f'(XA),写出切线方程・
【提醒】求切线方程时,—定要分清所给点是不是切点.
【变式备选】
(1)若曲线y=x4的一条切线/与直线x+4y・8=0垂
直,则切线/的方程为()
(A)4x-y-3=0(B)x+4y・5=0
(C)4x-y+3=0(D)x+4y+3=0
【諒析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线/为4x-y+m二0,即y=x4SM—点的导数为4,而y'二4x3,即4x?
二4,解得所以y=x4在点(1,1)处导数为4,此点的切线方程为4x-y-3=0,故选A.
⑵已知函数f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是2x—
3y+1=0,贝ijf
(1)+f
(1)=・
【解析】依题意得2x1-3f⑴+1=0,即f(l)二1,由切线的斜率贝叶⑴二则f⑴+f⑴二
答案:
I考题研析3
【创新体验】导数中的新定义问题
【典例】(2012-浙江高考)定义曲线C上的点到直线/的距离的最小值称为曲线
C到直线/的距离,已知曲线y=x2+a到直线Z:
y=x的距离等于曲线C2:
x2+(y+4)2=2到直线Z:
y=x的距南,则实数・
找
准
定义曲线(:
上的点到直线/的距离的最小值称创
为曲线(:
到直线/的距离新
占
八・、
寻
找
突
破
口
(1)根据定义求出曲线02:
jr2线l:
y=工的距离.
(y+4”=2到直
(2)根据定义求出曲线C}:
y=x2
=T的距离.
+a到直线I:
y
(3)根据两距离相等构造方程,求出a的值
【规范解答】曲线C?
:
x2+(y+4)2=2到直线/:
y二x的距离为
璋曲线如+什x2+ajfc的
点唸y°凰直缄y二x的距离最短,则过養兄而的坊巒行于直乂为短函数的导数为V二2x,
卅』-1)
由2x£l縛X。
」所以C]:
y=x2+a±的点(x%为
由题意知|1_1解猖01
当a二时,专鈿曲建C]相交z不合题意/故舍去•
7
答案:
-丄
4
9
4
【思考点评】
1方法感悟
本蟲△昆现了等价转化的思想在解题中的应用,即利用定义将曲线C2:
种〃等价转化〃的思想是解决数学问题的重要思想.
x2+(y+4)2二2到直线/:
y二X的距离转化为圆心到直线的距离减去半径,曲线C]:
y二x2+a到直线/:
y二x的距离转化为曲线C】上与/平行的切线与/的距离z再利用导数研究曲线C]的切线问题z最终根据两距离相等构造方程求出a的值z这
2.技巧提升
对待新定义问题z应该首先仔细审题,把新定义的规定理解透彻z提取定义中等量关系和数量关系或定义中的关键词语z如本题定义中的关键词为〃最小值",然后结合所学知识进行分析求解.
劭知能观風・提索齐
I高考模拟®
1.(2013•南平模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=2xf⑴+x2,则『⑴=()
(A)-1(B)-2(C)1(D)2
【解析】选B.f(x)=2f(l)十2x,令x二1,得f⑴=2f(l)+2,・・f⑴=-2.
2.(2012•辽宁高考)已知P,Q为抛物线x2=2y上的两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为()(A)1(B)3
(C)-4(D)-8
【解析】选C・因为点P,Q的横坐标分别为4,-2,代入抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为82由x2=2y,则所以y-x,
所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,-2,辱以迪:
忌,
P,Q的抛物线的切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2/联金方観组,解得x=lzy=故点A的纵坐标为-4.
3.(2013•泉州模拟)曲线
标轴围成的三角形的面积为(
但)|
(硝
在点
[处的切线与坐dr+x呵
【解析】i^A.,.*y/=x2+lz
・••切线在点处的斜率为2.
4
・・•切线方程为:
(1,-)
3
其与x,y轴的交点分别珂y二=2(x_i),
・••三角形的面积为3
(。
,-#),(*,0).
1.211
-XI——lx—=一・
2339
4.(2012噺课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.
【解析】函数的导数为/=3lnx+1+x•=3lnx+4,所以在
点(1,1)处的切线的斜率为心4,所以切线方程为y-l=4(x-l),即y=4x-3.3
答案:
y=4x-37
5.(2013•福州模拟)如图所示,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)二.
【解析】由图易知,P点的坐标为(5,3),即"5)=3,由导数的几何意义知,f⑸二-1,
所以f⑸+f⑸=3-1=2.
答案:
2
1)处的切线与x轴的交点的横
I新题快递o
1•设曲线y=xn+1(neN*)在点(1,坐标为X"则X〔・X2•…议门的值为(
(A)
侣)
(C)
1
(0)1
1
n
n4
n
【解析】选B.对y二xn+i(ncNJ求导得y‘=(n+l)xj令x二1得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+l,在点(1,1)处的切线方程为y-l=(n+l)(x-l)z由切线与x轴的交点横坐标为不妨设y二0,
所以则X]•x2xn=
故选B.
123n-ln
Xn
_x-x_x・・・xx
234nn+1
2•若方程kx・lnx=0有两个不等实数根,贝咔的取值范围是_・【解析】令y二kx,y=lnx若方程kx-lnx二0有两个不等实数根,则直线y二kx与曲线y二Inx有两个不同的交点故直线y二kx应介于x轴和曲线y二Inx过原点的切线之间•设曲线y二Inx过原点的切线的切点为(x°」nX。
)•又f'(X。
)二故切线方程为
y・lnx0=将原点代入得x°二e,此时f'(Xo)二
故所求k的取值范围是
答案:
11
X。
e
(0,-)・
e
(0,-)
e
◎课Oftl
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