中考总复习圆的切线专题0131171549.docx
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中考总复习圆的切线专题0131171549.docx
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中考总复习圆的切线专题0131171549
题型专项(八)与切线有关的证明与计算
类型1与全等三角形有关
针对训练
1.(2016梧州)如图,过OO上的两点A,B分别作切线,交于BO,AO的延长线于点C,D,连接CD,交OO于点E,F,过圆心O作OM丄CD,垂足为点M.
求证:
(1)△ACO◎△BDO;
(2)CE=DF.
证明:
⑴•/AC,BD分别是OO的切线,
.•./A=ZB=90°.
又•••AO=BO,/AOC=ZBOD,
•••△ACO也厶BDO.
(2)•/△ACO◎△BDO,
•••OC=OD.
又•••OM丄CD,•CM=DM.
又•••OM丄EF,点O是圆心,
•EM=FM.
•CM—EM=DM—FM.
•CE=DF.
2.(2016玉林模拟)如图,AB是OO的直径,/BAC=60°,P是OB上一点,过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.
(1)求证:
△CDQ是等腰三角形;
⑵如果△CDQCOB,求BP:
PO的值.
解:
⑴证明:
由已知得/ACB=90°,/ABC=30°
•/Q=30°,/BCO=ZABC=30°.
•/CD是OO的切线,CO是半径,
•CD丄CO.
•/DCQ=ZBCO=30°.
•/DCQ=ZQ.
故厶CDQ是等腰三角形.
(2)设OO的半径为1,则AB=2,OC=1,BC=3.
•••等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等,
•CQ=CB=
AQ=AC+CQ=1+3.
•••AP=2aq=字’
•BP:
PO=3.
3.(2016柳州)如图,AB为厶ABC外接圆OO的直径,点P是线段CA的延长线上一点点E在弧上且满足PE=PA-PC,连接CE,AE,OE交CA于点D.
(1)求证:
△PAEs^PEC;
⑵求证:
PE为OO的切线;
1
⑶若/B=30°,AP=2AC,求证:
DO=DP.
证明:
(1)•/PE2=PA-PC,
•PE=PAPC=PE.
又•••/APE=ZEPC,
•△PAEs^PEC.
⑵•/△PAEPEC,PEA=ZPCE.
1
•••/PCE=孑/AOE,
/ODF=ZPDE,
/OFD=ZPED,
OF=PE,
•••△ODF◎△PDE.•••DO=DP.
类型2与相似三角形有关
针对训练
4.(2016泰州)如图,在厶ABC中,/ACB=90°,在D为AB上一点,以CD为直径的OO交BC于点E,连接AE交CD于点P,交OO于点F,连接DF,/CAE=ZADF.
(1)判断AB与OO的位置关系,并说明理由;
⑵若PF:
PC=1:
2,AF=5,求CP的长.
解:
(1)AB是OO切线.
理由:
•••/ACB=90°,
•••/CAE+ZCEA=90°.
•••/CAE=ZADF,/CDF=ZCEA,
•••/ADF+ZCDF=90°.
•AB是OO切线.
⑵连接CF.
•••/ADF+ZCDF=90°,/PCF+ZCDF=90°,
•••/ADF=ZPCF.
•••/PCF=ZPAC.
又•••/CPF=ZAPC,
PC2=PFPA.设PF=a,贝UPC=2a.
•4a2=a(a+5).
•a=3.
PC=2a=隊
5.(2015北海)如图,AB,CD为OO的直径,弦AE//CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使/PED=ZC.
(1)求证:
PE是OO的切线;
⑵求证:
ED平分/BEP;
⑶若OO的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
解:
⑴证明:
连接0E.
•「CD是圆0的直径,
•••/CED=90°.
•/0C=0E,
•••/C=ZOEC.
又•••/PED=ZC,
•••/PED=ZOEC.
•••/PED+ZOED=ZOEC+ZOED=90°,即/OEP=90°.
•••OE丄EP.
又「•点E在圆上,
•PE是OO的切线.
(2)证明:
TAB,CD为OO的直径,
•••/AEB=ZCED=90°.
•••/AEC=ZDEB(同角的余角相等).
又•••/PED=ZC,AE//CD,
•••/PED=ZDEB,
即ED平分/BEP.
⑶设EF=x,则CF=2x.
TOO的半径为5,
•OF=2x—5.
在RtAOEF中,OE2=EF2+OF2,即52=x2+(2x—5)2,解得x=4,
•EF=4.
•BE=2EF=8,CF=2EF=8.
•DF=CD—CF=10—8=2.
•/AB为OO的直径,
•••/AEB=90°.
•/AB=10,BE=8,
•AE=6.
•••/BEP=ZA,/EFP=ZAEB=90°,
•△EFPs^AEB.
•在=圧即疋=4
BEAE'86'
PF=
1610
PD=PF—DF=—2='
33'
6.(2014桂林)如图,△ABC为OO的内接三角形,P为BC延长线上一点,/PAC=ZB,AD为OO的直径,过点C作CG丄AD于点E,交AB于点F,交OO于点G.
(1)判断直线PA与OO的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
AG2=AF・AB;
⑶若OO的直径为10,AC=2'5,AB=4,;5,求厶AFG的面积.
解:
(1)PA与OO相切.
理由:
连接CD.
•/AD为OO的直径,•••/ACD=90°••••/D+ZCAD=90°
•••/B=ZD,/PAC=ZB,
•••/PAC=ZD.
•••/PAC+ZCAD=90°,即DA丄PA.•••点A在圆上,•PA与OO相切.⑵证明:
连接BG.
•/AD为OO的直径,CG丄AD,
Ac=AG.azagf=zabg.
•/ZGAF=ZBAG,AGFABG.
•AG:
AB=AF:
AG.「.AG2=AF-AB.
⑶连接BD.
•/AD是直径,•••/ABD=90°
AB=45,
•/AG2=AF-AB,AG=AC=2:
5,
•AF
•/CG丄AD,•••/AEF=ZABD=90°./ZEAF=ZBAD,AEFABD.
•AB=AD,即4aE5=谥,解得AE=2.EF=:
'AF2—Ae^=1.
•/EG=;'AG2—AE2=4,
•FG=EG—EF=4—1=3.
•Saafg=2fg-AE=2X3X2=3.
类型3与锐角三角函数有关
针对训练
7.(2014梧州)如图,已知OO是以BC为直径的厶ABC的外接圆,OP//AC,且与BC的垂线交于点P,OP交AB于点D,BC,PA的延长线交于点E.
(1)求证:
PA是OO的切线;
3
⑵若sinZE=5,PA=6,求AC的长.
解:
⑴证明:
连接OA.
•/AC//OP,•••/AOP=ZOAC,/BOP=ZOCA.
•/OA=OC,OCA=ZOAC.AOP=ZBOP.
又•••OA=OB,OP=OP,
•△AOP◎△BOP.aZOAP=ZOBP.
•/BP丄CB,OAP=ZOBP=90°.•OA丄PA.
•PA是OO的切线.
⑵•/PB丄CB,•PB是OO的切线.
又•••PA是OO的切线,
PA=PB=6.
在RtAOPB中,OP=;62+32=3.'5.
•/BC为OO直径,CAB=90°.
•••/CAB=ZOBP=90°,/OCA=ZBOP.ACcb
•△ACBBOP..••今=乎
BOOP'
•AC=CB・BO—坐=口
■-AC=OP=3.5=5.
&(2015来宾)已知OO是以AB为直径的厶ABC的外接圆,OD//BC交OO于点D,交AC于点E,连接AD,BD,BD交AC于点F.
(1)求证:
BD平分/ABC;
⑵延长AC到点P,使PF=PB,求证:
PB是OO的切线;
3亠
(3)如果AB=10,cos/ABC=5,求AD.
解:
(1)证明:
TOD//BC,
ODB=/CBD.
•/OB=OD,
OBD=/ODB.
CBD=/OBD.
•BD平分/ABC.
(2)证明:
TOO是以AB为直径的厶ABC的外接圆,
•••/ACB=90°.•••/CFB+ZCBF=90°.
•/PF=PB,PBF=ZCFB.
由
(1)知/OBD=ZCBF,
•••/PBF+ZOBD=90°••••/OBP=90°.
•PB是OO的切线.
(3)•••在RtAABC中,/ACB=90°,AB=10,
•cos/ABC=-BC=BC=3
AB105'
•BC=6,AC=.'AB2-BC2=8.
•/OD//BC,
•△AOEABC,/AED=/OEC=180°-/ACB=90
•AE_OE_AOAE_OE__5_
…AC=BC=AB,8=6=10.
•AE=4,OE=3.
•DE=OD—OE=5-3=2.
•AD='AE2+DE2=/42+22=25.
9.(2016柳州模拟)如图,已知:
AC是OO的直径,PA丄AC,连接OP,弦CB//OP,直线PB交直线AC于点D,BD=2PA.
(1)证明:
直线PB是OO的切线;
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;⑶求sin/OPA的值.
解:
⑴证明:
连接OB.
•/BC//OP,OB=OC,
•/BCO=/POA,
/CBO=/POB,/BCO=/CBO.
•/POA=/POB.又TPO=PO,OB=OA,
•△POB◎△POA.•/PBO=/PAO=90°
•PB是OO的切线.
(2)2PO=3BC.(写PO=|bC亦可)
证明:
•••△POB◎△POA,•PB=PA.
•/BD=2PA,•BD=2PB.
•/BC//PO,•△DBCDPO.
.DCBD22
••DO=PD=3,即DC=3OD.
•••OC=3OD.•••DC=2OC.
设OA=x,PA=y.则OD=3x,OB=x,BD=2y.
在RtAOBD中,由勾股定理得(3x)2=x2+(2y)2,即2x2=y2.
■/x>0,y>0,•y=2x,OP='x2+y2=;3x.
类型4与特殊四边形有关
针对训练
10.(2016玉林)如图,AB是OO的直径,点C,D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作OO的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E,F,连接BF.
(1)求证:
BF是OO的切线;
⑵已知圆的半径为1,求EF的长.
解:
⑴证明:
连接OD.
•/EF为OO的切线,
•••/ODF=90°.
•••四边形AOCD为平行四边形,
•AO=DC,AO//DC.
又•••DO=OC=OA,
DO=OC=DC.
•△DOC为等边三角形.
•••/DOC=ZODC=60°.
•/DC//AO,
•••/AOD=ZODC=60°.
•••/BOF=180°-ZCOD-ZAOD=60°在厶DOF和厶BCF中,
DO=BO,
ZDOF=ZBOF,
OF=OF,
•••△DOF◎△BOF.
•ZODF=ZOBF=90°.
•BF是OO的切线.
⑵tZDOF=60°,ZODF=90°,
•ZOFD=30°.
tZBOF=60°,ZBOF=ZCFD+ZE,
•••/E=ZOFD=30°.
•••OF=OE.
又•••OD丄EF,
•DE=DF.
在RtAODF中,/OFD=30°.
•OF=2OD.
DF=,'OF2-OD2='22-12=3
EF=2DF=2.3.
11.(2016宁波)如图,已知OO的直径AB=10,弦AC=6,/BAC的平分线交OO于点D,过点D作DE丄AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:
DE是OO的切线;⑵求DE的长.
解:
⑴证明:
连接OD.
•/AD平分/BAC,
•••/DAE=ZDAB.
•/OA=OD,
•/ODA=ZDAO.
•/ODA=ZDAE.
•OD//AE.
•/DE丄AC,
•OD丄DE.
•DE是OO切线.
⑵过点O作OF丄AC于点F.
•AF=CF=3.
•OF=OA2-AF2=52-32=4.
•••/OFE=ZDEF=ZODE=90°,•四边形OFED是矩形.
•DE=OF=4.
12.(2015桂林)如图,四边形ABCD是OO的内接正方形,AB=4,PC,PD是OO的两条切线,C,D为切点.
(1)如图1,求OO的半径;
⑵如图1,若点E是BC的中点,连接PE,求PE的长度;
⑶如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B,C),以点M为直角顶点,在BC的上方作/AMN=90°,交直线CP于点N,求证:
AM=MN.
解:
⑴连接0D,OC.
•••PC,PD是OO的两条切线,C,D为切点,
•••/ODP=ZOCP=90°.
•••四边形ABCD是OO的内接正方形,
•••/DOC=90°,OD=OC.
•四边形DOCP是正方形.
•/AB=4,/ODC=ZOCD=45°,
DO=CO=DC-sin45°=4^22=22.
⑵连接EO,OP.
•••点E是BC的中点,
•••OE丄BC,/OCE=45°,则/EOP=90°.
•EO=EC=2,OP=■2CO=4.
•PE=OE2+OP2=25.
⑶证明:
在AB上截取BF=BM.
•/AB=BC,BF=BM,
•AF=MC,/BFM=ZBMF=45°.
•••/AMN=90°,
•/AMF+ZNMC=45°,/FAM+ZAMF=45
•/FAM=ZNMC.
•••由⑴得PD=PC,/DPC=90°,
.•./DCP=45°.
•/MCN=135°.
•••/AFM=180°-ZBFM=135°,
/FAM=ZCMN,
在厶AFM和厶MCN中,AF=MC,
ZAFM=ZMCN,
•△AFM◎△MCN(ASA).
•AM=MN.
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