相交线与平行线题型聚焦.docx
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相交线与平行线题型聚焦
相交线与平行线题型聚焦
肖老师特训中心内部资料
相交线、平行线的知识在初中几何中应用非常广泛,题型常以填空题或选择题的形式出现,多以由结论探索条件为主要题型.
题型一 余角概念的运用
【例1】如图,AOB是一条直线,∠AOC=90°,∠DOE=90°,问图中互余的角有哪几对?
哪些角是相等的?
【思考与分析】由互为余角的定义,只需找出图中和为90°的角即可.
解:
因为∠AOC=90°,∠AOB=180°,
所以∠BOC=90°,∠1与∠2、∠3与∠4互余.
因为∠DOE=90°,所以∠2与∠3互余.
因为∠1+∠DOE+∠4=180°,∠DOE=90°,
所以∠1+∠4=90°.即∠1与∠4互余.
可以得到互余的角有:
∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠4与∠1.
因为∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,
所以∠1=∠3(同角的余角相等).
因为∠3与∠4互余,∠3与∠2互余,
所以∠2=∠4(同角的余角相等).
可以得出相等的角有:
∠1=∠3,∠2=∠4,∠AOC=∠DOE=∠BOC.
题型二 对顶角的定义及其性质的运用
【例2】如图,已知直线AB,CD,MN相交于O,若∠1=22°,∠2=46°,则∠3的度数为 ( ).
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3
C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
【思考与解】这道题主要考查平行线的判定方法,观察图形,发现∠1和∠3是一组内错角,∠4和∠5是一组同位角,∠2和∠4是一组同旁内角,而∠2和∠3三种角都不是.因此不能判定直线l1∥l2.所以应选B.
题型三 垂线的定义和性质
【例3】如图,已知FE⊥AB于E,CD是过E的直线,且∠AEC=120°,则∠DEF= .
【思考与分析】我们仔细阅读题目,经过思考发现有两种解法,第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质, 因为∠AEC和∠DEB是对顶角,∠AEC=∠DEB=120°,又因为FE⊥AB,∠BEF=90°,所以∠DEF=120°-90°=30°;第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义,由∠AEC和∠AED互为邻补角,可得∠AED=60°, 再由FE⊥AB于E,可得∠AEF=90°,则∠DEF=90°-60°=30°.
解:
∠DEF=30°.
【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系,解答这类题目时,我们要清楚地知道有关概念,比如垂直,对顶角,邻补角等.
题型四、互余、互补魅力
【例4】如图3,先找到长方形纸的宽DC的中点E,将∠C过E点折起任意一个角,折痕是EF,再将∠D过E点折起,使DE和C
E重合,折痕是GE,请探索下列问题:
(1)∠FEC
和∠GEC
互为余角吗?
为什么?
(2)∠GEF是直角吗?
为什么?
(3)在上述折纸图形中,还有哪些互为余角?
还有哪些互为补角?
解:
(1)由折纸实验,知∠3=∠1,∠4=∠2,而∠1+∠2+∠3+∠4=1800
所以∠1+∠2=900,即∠FEC
+∠GEC
=900,故∠FEC
和∠GEC
互为余角.
(2)因为∠GEF=∠1+∠2=900,,所以∠GEF是直角.
(3)∠3和∠4,∠1和∠EFG互为余角,∠AGF和∠DGF、∠CEC
和∠DEC
互为补角等等(同学们还可以举出一些例子).
题型五 平行线的性质与判定证明
【例5】如图,如果∠1=∠2,∠C=∠D,那么∠A=∠F吗?
为什么?
【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.∠2和∠3互为对顶角,∠2=∠3,由∠1=∠2可得∠1=∠3,而∠1和∠3是一对同位角,由平行线的判定条件可知BD∥CE,再根据平行线的性质可得∠4=∠C.又因为已知∠C=∠D,我们可以得到∠4=∠D,从而DF∥CA,从而可以推出∠A=∠F.
解:
因为∠1=∠2,∠2=∠3,
所以∠1=∠3.
所以BD∥CE.
所以∠4=∠C.
又因为∠C=∠D,
所以∠4=∠D
所以DF∥CA.
所以∠A=∠F.
【例5】如图所示,DE、BE分别为∠BDC,∠DBA的角平分线,且∠DEB=∠1+∠2.
求证:
(1)AB∥CD;
(2)∠DEB=90°.
【思考与分析】
(1)欲证AB∥CD,就应该设法去找同位角,内错角相等,或同旁内角互补,本题直接取证∠CDB与∠ABD互补有些困难,而∠1+∠2=∠DEB,若以E点为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2,则可构造EF∥CD,由角平分线不难证明EF∥AB,故可证得AB∥CD.
(2)由
(1)证得AB∥CD后,由同旁内角互补易证,∠1+∠2=90°,可得∠DEB=90°.
解:
(1)以点E为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2.
∵DE为∠BDC的平分线(已知),∴∠2=∠EDC(角平分线定义).
∴∠FED=∠EDC(等量代换).
∴EF∥CD(内错角相等,两直线平行).
∵∠FEB=∠DEB-∠DEF=∠DEB-∠2,∠1+∠2=∠DEB(已知),
∴∠FEB=∠1(等量代换).
∵∠1=∠ABE(角平分线定义),
∴∠FEB=∠ABE(等量代换).
∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行).
∴∠DFE=∠FBA(两直线平行,同位角相等).
又∵EF∥CD,∴∠CDF+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠CDF+∠FBA=180°(等量代换).
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
(2)∵AB∥CD(已知),
∴∠BDC+∠DBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠1=
∠DBA, ∠2=
∠BDC(角平分线定义),
∴∠1+∠2=90°.
∵∠1+∠2=∠DEB,
∴∠DEB=90°.
【小结】
(1)综合运用了平行线的性质和判定定理,有利于帮助我们转化角或找到角与角之间的关系,也有利于我们确定两条直线的位置关系.
(2)对条件进行单个分析或综合分析,对结论进行转化,这是解决几何问题甚至是数学问题,找寻思路的常用方法,要加强体会
题型六 利用平行线性质与判定进行运算
【例7】 如图,AB∥CD,若∠2=135°,则么∠1的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【思考与分析】本题主要考查平行线的性质、互为邻补角概念.
解:
∠2与∠1的邻补角互为内错角,所以∠1=180°-∠2=45°.
【小结】解答本题需要注意两点:
第一,两直线平行,内错角相等,第二,互为补角与互为邻补角的区别.
题型七 条件开放性
【例8】 如图,直线AB、CD与直线EF相交,共形成八个角,请你添加一个条件,使得AB与CD平行.
【思考与解】要识别两直线平行,常用的方法有三种:
①利用“同位角相等,两直线平行”,可添加∠1=∠5,∠2=∠6,∠4=∠8,∠3=∠7中的任一个;
②利用“内错角相等,两直线平行”,可添加∠3=∠5,∠4=∠6中的任一个;
③利用“同旁内角互补,两直线平行”,可添加∠4+∠5=180°,∠3+∠6=180°中的任一个;
另外,还可以通过“对顶角相等”进行转化,可以添加∠1=∠7,∠2=∠8,∠1+∠8=180°,∠2+∠7=180°,∠4+∠7=180°,∠3+∠8=180°,∠2+∠5=180°,∠1+∠6=180°中的任一个.
【小结】条件开放性试题的特点是要得到某一个结论还缺少条件,需要补充完整,其解决方法类似于分析法,假如结论成立,逐步探索其成立的条件.
题型八 学科间的综合
【例9】 已知:
如图,∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=40°.在OB上有一点P,从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后,反射光线QR恰好与OB平行,则∠QPB的度数是( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
【思考与分析】观察题目,我们可以利用平行线的性质,“两直线平行,同位角相等”,以及PQ与OA的夹角,与QR与OA的夹角相等的原则,可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°,借助平角的定义,则∠QPB=80°.
解:
B.
【小结】在学习的过程中我们一定要注意学科间的综合,这是中考命题的热.
题型九 尺规作图
【例10】电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m、n的距离也必须相等,发射塔P应修建在什么位置?
【思考与分析】这是一道实际应用题,关键是转化成数学问题,根据题意知道,点P应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点P应是它们的交点.
解:
(1)作两条公路夹角的平分线OC;
(2)作线段AB的垂直平分线EF;则射线OC与直线EF的交点P就是发射塔的位置.
【小结】以尺规作图解决实际问题是近几年中考的常见题型,应引起注意.
题型十 垂线性质的应用
【例11】一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M.N是分别位于AB两侧的村庄.
(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹).
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M、N两村越来越近?
在哪一段路上,距离村庄N越来越近,而离村庄M却越来越远?
(分别用文字表述你的结论,不必证明).
【思考与分析】根据“垂线段最短”的性质,过M、N两点分别做AB的垂线MP、NQ.当汽车行驶到垂足的位置时,汽车离村庄的距离最近;离开村庄时,距离越来越远.
解:
(1)过点M画MP⊥AB,垂足为P,过点N画NQ⊥AB,垂足为Q,点P、Q就是要画的两
点(如图).
(2)当汽车从A向B行驶时,在AP这段路上,离两个村庄越来越近;在PQ这段路上,离村庄M越来越远,离村庄N越来越近.
点拨:
本题主要是利用垂线段的性质来解决问题的,把实际问题“模型”化.
题型十一 探究性问题
【例12】 观察图1~图5.
(1)如图1,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠BED,你能说明为什么吗?
反之,若∠B+∠D=∠BED,直线AB与CD有什么位置关系?
请说明理由;
(2)若将点E移至图2所示位置,此时∠B、∠D、∠BED之间有什么关系?
请说明理由;
(3)若将E点移至图3所示位置,情况又如何?
(4)在图4中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?
(5)在图5中,若AB∥CD,又得到什么结论?
分析:
要说明
(1)的结论成立,若过点E作EF∥AB,则由平行线的特征即可说明;其余几个问题也都可以按照此方法说明.
解:
(1)如图1,过点E作EF∥AB,则EF∥CD,∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF,而∠BED=∠BEF+∠DEF,故∠B+∠D=∠E.
反之,若∠B+∠D=∠E,则AB∥CD.
理由:
如图1,过点E作EF∥AB,则∠B=∠BEF,又因为∠B+∠D=∠E,所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D,所以EF∥CD,故AB∥CD.
(3)若将点E移至图2所示位置,此时有∠B+∠BED+∠D=360°.理由:
过点E作EF∥AB,则∠B+∠BEF=180°.因为AB∥CD,所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°,故∠B+∠BED+∠D=360°.
(3)若将E点移至图3所示位置,此时有结论:
∠BED+∠D=∠B.
理由:
因为AB∥CD,所以∠B=∠BMD,而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E,故∠E+∠D=∠B.
(4)仿照
(1)可以猜想:
在图3-4中,若AB∥CD,则有结论:
∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.
提示:
可以分别过点E、F、G作AB的平行线,仿照
(1)即可说明.
(5)由
(1)和(4)同样可以猜想:
在图5中,若AB∥CD,则有结论:
∠E1+∠E2+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D.理由略,可仿照(4)来说明.
说明:
处理这类问题一定要从特殊推导出一般,并能大胆地猜想、验证,从而得到正确的结果.
平行线中的探索题赏析
探索性数学题能够培养大家的发散思维能力,提高分析问题和解决问题的能力。
在一些试题中常常出现这种试题。
为帮助大家学习平行线的有关特性,现就有关的探索性试题例析如下。
一、探索条件
例1如图1,直线a、b与直线c相交,形成∠1、∠2、…,∠8共八个角,请你填上你认为适当的一个条件:
______,使a//b.
图1
解析:
本题只要是考查平行线的三种识别方法.
(1)从“同位角相等,两直线平行”考虑,可填∠1=∠5,∠2=∠6,∠3=∠7,∠4=∠8中的任意一个条件;
(2)从“内错角相等,两直线平行”考虑,可填∠3=∠6,∠4=∠5中的任意一个;
(3)从“同旁内角互补,两直线平行”考虑,可填∠3+∠5=180°,∠4+∠6=180°中的一个条件。
(4)从其他方面考虑,也可填∠1=∠8,∠2=∠7,∠1+∠7=180°,∠2+∠8=180°,∠4+∠7=180,
∠3+∠8=180°,∠2+∠5=180°,∠1+∠6=180°中的任意一个条件。
二、探索结论
例2如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知,则
A、只能求出其余3个角的度数B、只能求出其余5个角的度数
C、只能求出其余6个角的度数D、只能求出其余7个角的度数
图2
解析:
若具体地已知哪个角是几度的角,随后设问其他的角怎样求,大家是熟悉的,但如此题这样的设问,则需要有牢固的知识基础和基本技能来支持才行。
如图2,假设∠1已知,通过对顶角相等,知道∠4,通过互补角,求出∠2、∠3,再通过平行线的性质确定∠5、∠6、∠7、∠8的大小,所以选(D)。
三、探索解法
例3如图3,过已知直线AB外一点C,作直线CD,使CD//AB,你能想到几种画法?
分析:
本题考查平行线的特征及判断。
重点考查大家的动手操作能力。
本题的画法较多,如:
作法1.根据“同位角相等,两直线平行”
(1)过点C画直线EF,交AB与G;
(2)作∠ECD=∠EGA,
则直线DC即为所求的直线.如图4。
图3图4图5
作法2.根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”
(1)过点C作CG⊥AB,垂足为G,
(2)过点C作直线CD⊥CG。
则直线CD就是所求作的直线。
如图5。
平行线中的“开放搞活”
在解决平行线问题时,有时同学们会遇到条件不全或结论不明确的题目,需要给予补充,使之成为条件和结论完整的题目,如何解决这类题目呢,请看下面几例.
一、开放条件激活思维
已知中所给出条件不够,还需要根据结论再补充一个或多个使结论成立的条件,这种类型的题为条件探索型题.
例1如图1,直线AB,CD被直线AC,点C在直线BE上,CD//AB,请写出一个能推出CD是∠ACE平分线的条件,并给出理由.
分析:
要CD是∠ACE平分线,只要∠ACD=∠ECD即可,根据CD//AB,可得∠ACD=∠A,∠ECD=∠B,故只要∠A=∠B就可得到CD是∠ACE的平分线.
解:
添加条件:
∠A=∠B.
理由:
因为CD//AB,所以∠ACD=∠A,∠ECD=∠B,
因为∠A=∠B,所以∠ACD=∠ECD,
所以CD是∠ACE平分线.
评注:
本题的解题思路是结合已知条件及图形,从问题的结论出发,探究所要添加的条件.这也是解决条件探索型的基本思路.
二、开放结论,拓宽思维
当问题中所给的结论不明确时,需要根据已知条件并结合图形进行结论探究,像这样的问题称为结论探索型题.
例2如图2,已知F是直线AD上一点,AD//BC,根据平行写出图中所标注的角的关系.
分析:
本题是一道结论开放题,解决问题应依据平行线的特征从图形中找出同位角、内错角及同旁内角.
解:
因为AD//BC,
所以∠3=∠ABC(两直线平行,同位角相等);
∠3=∠ABC(两直线平行,内错角相等);
∠D=∠1(两直线平行,内错角相等);
∠5=∠C(两直线平行,内错角相等);
∠FAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补);
评注:
本题的解题思路是从已知条件出发,结合图形,利用平行线的性质等知识进行探究,进而得到结论.
三、开放组合锻炼思维
从给出的几个论断中分别选出条件和结论,组成一个题目,然后加以说理.
例3如图3,已知直线BC与DE交于点O,给出下面三个论断,给出下面三个论断:
(1)∠B=E;
(2)BC//EF,(3)AB//DE.请你给出其中的两个论断为条件,以另一个论断为结论组成一个题目,并给予解答.
分析:
从三个论断中选择两个条件,一个结论组成一个题目,方法有三种,分别是
(1),
(2)为条件,(3)为结论;
(1),(3)为条件,
(2)为结论;
(2),(3)为条件,
(1)为结论.只要选择一个即可.
解:
(1),
(2)为条件,(3)为结论.
因为AB//DE,所以∠B=∠COD,
因为∠B=∠E,所以∠COD=∠E,
所以BC//EF.
评注:
解决此类问题,可列出所有可能出现的情况,然后再从中选择一种比较简单进行说理.
实际问题中平行线
在实际生活中,许多问题涉及平行线,我们可以利用所学的平行的有关知识解决实际问题.
例1在铺设铁轨时,两条直轨必须平行,如图1,已知知道∠2是直角,那么在度量图中哪个角(图中已标出的),就可以判断两条直轨是否平行?
说出你的理由.
图1图2
解析:
学习了平行线的识别方法,我们可以根据平行线的识别方法解决问题,如果根据“同位角相等,两直线平行”,只要量∠4,如果∠4=90°就可以判断两条直轨平行;如果根据“内错角相等,两直线平行”,只要量∠5,如果∠5=90°就可以判断两条直轨平行;如果根据“同旁内角互补,两直线平行”,也可以量∠3,根据∠2+∠3=180°可以判断两条直轨平行.
例2如图2,一个弯曲管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB//CD对吗?
为什么?
,用什么方法可以检查相对的两边是否平行?
解析:
因为AB、CD可以看作两条线段,由于∠ABC和∠BCD是同旁内角,且∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”可直AB//CD.
例3如图3,要在一条公路的两侧铺设平行管道,如果公路一侧铺设的角度是120°,那么,为了使管道对接,另一侧应以什么角度铺设?
为什么?
图3
解析:
本题是一道实际问题,可借助我们所学习的平行线的特征解决.两条平行管道可以看作两条平行线,根据两条直线平行同旁内角互补可以解决问题.
根据平行线的特征可知,另一侧应以60°的角度铺设.根据两直线平行,同旁内角互补.
平行线新题大观园
平行线是平面几何的基础内容,近几年,在简单的知识背景下,富有新意的题型却层出不穷,可谓生动活泼,奥妙无穷,下面举例加以说明。
一、折叠探究题
例1、学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图
(1)~(4)):
从图中可知,小敏画平行线的依据有()
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行.
A.①②B.②③C.③④D.①④
分析:
观察图形可一发现,首先折出与已知直线垂直的“截线”,再折出与“截线”垂直的直线,这样折出的“八个角”都是直角,即同位角、内错角都相等,同旁内角互补。
解:
选C。
点评:
折纸活动是现在课程中最常见的一种活动,通过折纸可以帮助我们发现和验证数学结论,也是考试的一个热点。
二、操作探究题
例2、如图,给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法,其依据是( )
A、同位角相等,两直线平行B、内错角相等,两直线平行
C、同旁内角互补,两直线平行D、两直线平行,同位角相等
分析:
本题以平行线的作法为背景,考查平行线的识别方法。
在作图过程中,实际上始终保持同位角相等,所以这种作法的依据为:
“同位角相等,两直线平行”。
解:
选A。
点评:
通过动手操作获取数学知识是一种重要的学习方式,探究发现操作过程中所蕴涵的数学事实是命题的一个重要方面。
三、开放型
例3、如图3所示,请写出能判定CE∥AB的一个条件.
分析:
要确定两直线平行的条件,关键是确定“三类角”之间的关系,而要确定“三类角”必须确定两直线被哪条直线所截,“三类角”就分布在截线的两旁。
本题答案不惟一,如因为CE、AB被AD所截,可由∠DCE=∠A,根据“同位角相等,两直线平行”可得CE∥AB;也可由∠A+∠ACE=1800,根据“同旁内角互补,两直线平行”得到CE∥AB;
又因为CE、AB被BC所截,可由∠ECB=∠B,根据“内错角相等,两直线平行”得到CE∥AB。
解:
答案不唯一,如∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180º.
点评:
开放型试题已渗透到各个知识点,是中考命题者较为偏爱的一类题型.这类题的最大特点是答案具有不唯一性,能较好地考查同学们发散思维能力.
四、规律型
例4、如图4,已知两组直线分别互相平行.
(1)若∠1=115º,求∠2,∠3的度数;
(2)题
(1)中隐含着一个规律,请你根据
(1)的结果进行归纳,试用文字表述出来;
(3)利用
(2)中的结论解答:
如果两个角的两边分别平行,其中一个角是另一个角的2倍,求这两个角的大小.
分析:
本题的第
(2)问是规律探究题,应通过一定的探究,联想、猜测出其中的规律.
解:
(1)因为两组直线分别互相平行,所以由平行线的性质可得∠2=∠1=115º,∠3+∠2=180º,则∠3=180º-115º=65º;
(2)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补;
(3)设其中的一个角为xº,则另一个角为2xº.因为xº+2xº=180º,所以x=60º.故这两个角分别为60º和120º.
点评:
规律型试题在近几年的考试中可以说无处不在,主要考查同学们发现问题、探索问题和解决问题的能力.
平行线中的新题型
平行线是是平面几何的基础内容,在简单的背景下,富有新意的题型也层出不穷,可谓生动活泼,奥妙无穷,下面选择几例希望对同学们有所帮助.
一、操作型
例1如图1,给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法,其依据是
析解:
从图中可以看出,三角板平移的过程中,角的大小不变,因此根据的依据是同位角相等,两直线平行.
评注:
平行线的条件和特征是互逆的,我们在运用时,要搞清条件和结论,不要混淆,象本题中,不能写成两直线平行,同位角相等.
二、网格判断型
例2如图2,在正方形网格中,∠1、∠2、∠3的大小关系是()
A.∠1=∠2
∠3B.∠1
∠2
∠3
C.∠1
∠2
∠3D.∠1=∠2=∠3
析解:
观察网格,
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