上海市中考数学试题分类解析汇编.docx
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上海市中考数学试题分类解析汇编
2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编(12专题)
专题6:
函数的图象与性质
一、选择题
1.(上海市2004年3分)在函数的图象上有三点、,已知,则下列各式中,正确的是【】
A.B.
C.D.
【答案】C。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数的性质。
【分析】根据题意画出图形,再根据函数的增减性解答即可:
∵>0,函数图象如图,
∴图象在第一、三象限,在每个象限内,随的增大而减小。
∵,∴。
故选C。
2.(上海市2006年4分)二次函数图像的顶点坐标是【】
(A.)(-1,3)(B).(1,3)(C).(-1,-3)(D).(1,-3)
【答案】B。
【考点】二次函数的性质。
【分析】根据二次函数的顶点式的特点,直接写出顶点坐标:
(1,3)。
故选B。
3.(上海市2007年4分)如果一次函数的图象经过第一象限,且与轴负半轴相交,那么【】A.,B.,C.,D.,
【答案】B。
【考点】一次函数图象与系数的关系。
【分析】一次函数的图象有四种情况:
①当,时,函数的图象经过第一、二、三象限,y的值随x的值增大而增大;
②当,时,函数的图象经过第一、三、四象限,y的值随x的值增大而增大;
③当,时,函数的图象经过第一、二、四象限,y的值随x的值增大而减小;
④当,时,函数的图象经过第二、三、四象限,y的值随x的值增大而减小。
由题意得,函数的图象经过第一、三、四象限,,。
故选B。
4.(上海市2008年4分)在平面直角坐标系中,直线经过【】
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
【答案】A。
【考点】一次函数图象与系数的关系。
【分析】一次函数的图象有四种情况:
①当,时,函数的图象经过第一、二、三象限,y的值随x的值增大而增大;
②当,时,函数的图象经过第一、三、四象限,y的值随x的值增大而增大;
③当,时,函数的图象经过第一、二、四象限,y的值随x的值增大而减小;
④当,时,函数的图象经过第二、三、四象限,y的值随x的值增大而减小。
由题意得,函数的,,故它的图象经过第一、二、三象限。
故选A。
5.(上海市2008年Ⅰ组4分)在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点的个数是【】
A.3B.2C.1D.0
【答案】B。
【考点】抛物线与轴的交点。
【分析】抛物线与轴的交点的个数即方程不相等实数根的个数,有2个,故选B。
6.(上海市2009年4分)抛物线(是常数)的顶点坐标是【】
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】抛物线的性质。
【分析】因为抛物线是顶点式,根据顶点式的坐标特点,它的顶点坐标是。
故选B。
7.(上海市2010年4分)在平面直角坐标系中,反比例函数图像的两支分别在【】
A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限
【答案】B。
【考点】反比例函数的性质。
【分析】根据反比例函数的性质:
当时,图象分别位于第一、三象限;当时,图象分别位于第二、四象限:
∵反比例函数的系数,
∴图象两个分支分别位于第二、四象限。
故选B。
8.(上海市2011年4分)抛物线=-(+2)2-3的顶点坐标是【】
(A)(2,-3);(B)(-2,3);(C)(2,3);(D)(-2,-3).
【答案】D。
【考点】二次函数的顶点坐标。
【分析】由二次函数的顶点式表达式=-(+2)2-3直接得到其顶点坐标是(-2,-3)。
故选D。
二、填空题
1.(2001上海市2分)如果正比例函数的图象经过点(2,4),那么这个函数的解析式为▲.
【答案】。
【考点】待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设正比例函数的解析式为,
∵正比例函数的图象经过点(2,4),
∴根据点在直线上,点的坐标满足方程的关系,得,解得。
∴这个函数的解析式为。
2.(上海市2002年2分)抛物线的顶点坐标是▲.
【答案】(3,-6)。
【考点】二次函数的性质
【分析】把抛物线解析式的一般式配方为顶点式,再根据顶点式直接写出顶点坐标:
∵,∴抛物线的顶点坐标是(3,-6)。
3.(上海市2003年2分)在平面直角坐标系内,从反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段,与x、y轴所围成的矩形面积是12,那么该函数解析式是▲。
【答案】。
【考点】反比例函数系数k的几何意义。
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积S是个定值,即S=|k|:
根据题意,知|k|=12,k=±12,
又∵k>0,∴k=12。
∴该函数关系式为:
。
4.(上海市2005年3分)点A(2,4)在正比例函数的图象上,这个正比例函数的解析式是▲
【答案】。
【考点】待定系数法求正比例函数解析式,曲线上的点与坐标的关系。
【分析】设这个正比例函数的解析式是,因为点A(2,4)在该正比例函数的图象上,所以有4=2,从而可求出=2。
从而得这个正比例函数的解析式是。
5.(上海市2005年3分)如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位,那么所得图象的函
数解析式是▲
【答案】。
【考点】二次函数图象与平移变换。
【分析】直接利用平移的规律“左加右减,上加下减”,在原函数上加1可得新函数解析式。
6.(上海市2006年3分)某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示,
那么这种汽油的单价是每升▲元。
【答案】5.09。
【考点】函数的图象。
【分析】根据图象知道100升油花费了509元,由此即可求出这种汽油的单价:
单价=509÷100=5.09元。
7.(上海市2007年3分)如图,正比例函数图象经过点,该函数解析式是▲.
【答案】。
【考点】待定系数法求正比例函数解析式。
【分析】设该正比例函数的解析式为,
由图象可知,该函数图象过点A(1,3),∴。
∴该正比例函数的解析式为。
8.(上海市2008年4分)在平面直角坐标系中,如果双曲线经过点,那么
▲.
【答案】-2。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】因为双曲线经过点,所以满足方程,即,从而。
9.(上海市2009年4分)反比例函数图像的两支分别在第▲象限.
【答案】一、三。
【考点】反比例函数的性质。
【分析】根据反比例函数的性质:
当时,图象分别位于第一、三象限;当时,图象分别位于第二、四象限:
∵反比例函数的系数,∴图象两个分支分别位于第一、三象限。
10.(上海市2010年4分)一辆汽车在行驶过程中,路程y(千米)与时间x
(小时)之间的函数关系如图所示当0≤x≤1时,y关于x的函数解析式为
y=60x,那么当1≤x≤2时,y关于x的函数解析式为▲.
【答案】y=100x-40。
【考点】函数图象,直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】在0≤x≤1时,把x=1代入y=60x,则y=60,那么当1≤x≤2时由两点坐标(1,60)与(2,160)
得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x-40。
11.(上海市2011年4分)如果反比例函数(是常数,≠0)的图像经过点(-1,2),那么这个函数的解析式是▲.
【答案】。
【考点】曲线上的点与方程的关系。
【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系,把(-1,2)代入,得,即,那么这个函数的解析式是。
三、解答题
1.(2001上海市10分)如图,已知抛物线y=2x2-4x+m与x轴交于不同的两点A、B,其顶点是C,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求顶点C的坐标和线段AB的长度(用含有m的式子表示);
(3)若直线分别交x轴、y轴于点E、F,问△BDC与△EOF是否有可能全等,如果可能,请证明;如果不可能,请说明理由.
【答案】解:
(1)令y=0,则有2x2-4x+m=0,依题意有,△=16-8m>0,∴m<2。
又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,∴m>0.
因此实数m的取值范围为0<m<2。
(2)∵,∴C(1,m-2)。
令y=0,2x2-4x+m=0,则(由
(1)知)。
∴AB=。
(3)在中令y=0,得x=,∴E(,0)。
令x=0,得y=1,∴F(0,1)。
∴OE=,OF=1。
由
(2)可得BD=,CD=2-m。
当OE=BD时,,解得m=1。
此时OF=DC=1。
又∵∠EOF=∠CDB=90°,∴△BDC≌△EOF(SAS)。
∴两三角形有可能全等。
【考点】二次函数综合题,一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系,二次函数的性质和应用,全等三角形的判定。
【分析】
(1)由图象可知,抛物线与x轴有两个交点,因此对应的一元二次方程的根的判别式△>0,求解即可。
(2)直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标,再求AB的长度。
(3)要求判定△BDC与△EOF是否有可能全都,即指探索全都的可能性,本题已有∠CDE=∠EOF=90°,BD与OE或OF都可能是对应边,证出其中一种情形成立即可。
2.(上海市2002年10分)如图,直线y=x+2分别交x、y轴于点A、C,P是该直线上在第一象限内的一点,PB⊥x轴,B为垂足,S△ABP=9.
(1)求点P的坐标;
(2)设点R与点P的同一个反比例函数的图象上,且点R在直线PB的右侧,作RT⊥x轴,T为垂足,当△BRT与△AOC相似时,求点R的坐标.
【答案】解:
(1)由题意,得点C(0,2),点A(-4,0)。
设点P的坐标为(a,a+2),其中a>0。
由题意,得S△ABP=(a+4)(a+2)=9,
解得a=2或a=-10(舍去)。
而当a=2时,a+2=3,∴点P的坐标为(2,3)。
(2)设反比例函数的解析式为。
∵点P在反比例函数的图象上,∴,k=6。
∴反比例函数的解析式为。
设点R的坐标为(b,),点T的坐标为(b,0)其中b>2,那么BT=b-2,RT=。
①当△RTB∽△AOC时,,即,
∴,解得b=3或b=-1(舍去)。
∴点R的坐标为(3,2)。
②当△RTB∽△COA时,,即,
∴ ,解得b=1+或b=1-(舍去)。
∴点R的坐标为(1+,)。
综上所述,点R的坐标为(3,2)或(1+,)。
【考点】一次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程。
【分析】
(1)根据点在直线上,点的坐标满足方程的性质,求出BP,AB的值从而可求出点P的坐标。
(2)设R点坐标为(x,y),求出反比例函数.又因为△BRT∽△AOC,利用线段比联立方程组求出x,y的值。
3.(上海市2003年10分)卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分,在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB。
如图,在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图:
(1)求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式,写出函数定义域;
(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:
≈1.4,计算结果精确到1米)
【答案】解:
(1)∵顶点C在y轴上,∴设以这部分抛物线为图象的函数解析式为。
∵点A(,0)在抛物线上,∴,得。
∴所求函数解析式为:
。
(2)∵点D、E的纵坐标为,∴,得。
∴点D的坐标为(,),点E的坐标为(,)。
∴DE=-()=。
因此月河河流宽度为×11000×0.01=(米)。
【考点】二次函数的应用,曲线上的点与方程的关系。
【分析】
(1)因为C在y轴上,故设抛物线的解析式为,把A点坐标代入解析式求出a即可。
(2)因为点D、E的纵坐标相同,易求DE的长。
4.(上海市2003年10分)已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如图,二次函数的图象经过点A、B,与轴相交于点C。
(1)、的符号之间有何关系?
(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证、互为倒数;
(3)在
(2)的条件下,如果=-4,AB=,求、的值。
【答案】解:
(1)由图可知:
当抛物线开口向下,即<0时,<0(如图);
当抛物线开口向上,即>0时,>0;
因此、同号。
(2)设A(m,0),B(n,0),
抛物线的解析式中,令=0,得:
。
∴OA•OB=mn=,OC2=。
∵OA•OB=OC2,∴=,解得=1。
所以、互为倒数。
(3)由题意知:
,则m+n=,mn=。
∵AB=,∴AB2=48。
∴(n-m)2=48,即(m+n)2-4mn=48,。
解得。
∴。
因此、的值分别为:
、2或-、-2。
【考点】二次函数综合题,一元二次方程根与系数的关系。
【分析】
(1)根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时,函数图象与y轴交于负半轴,当抛物线开口向上时,函数图象与轴交于正半轴,即、同号。
(2)当CO2=OA•OB时,可用表示出OC,用、表示出OA•OB,代入上式即可求得、是否为倒数关系。
(3)沿用
(2)的思路,首先将值代入抛物线的解析式中,可依据韦达定理表示出AB的长,几何、的倒数关系,即可求得、的值。
5.(上海市2004年12分)数学课上,老师出示图和下面框中条件。
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),点B在轴上,且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作轴的垂线,分别交二次函数的图象于点C和D,直线OC交BD于点M,直线CD交轴于点H,记点C、D的横坐标分别为,点H的纵坐标为.
同学发现两个结论:
①;
②数值相等关系:
。
(1)请你验证结论①和结论②成立;
(2)请你研究:
如果将上述框中的条件“A点坐标(1,0)”改为“A点坐标为”,其他条件不变,结论①是否仍成立?
(请说明理由)
(3)进一步研究:
如果将上述框中的条件“A点坐标(1,0)”改为“A点坐标为”,又将条件“”改为“”,其他条件不变,那么和有怎么样的数值关系?
(写出结果并说明理由)
【答案】解:
(1)由已知可得点的坐标为(2,0),点C的坐标为(1,1),点D的坐标为(2,4),由点C坐标为(1,1)易得直线OC的函数解析式为
∴点M的坐标为(2,2),
∴。
∴,即结论①成立。
设直线CD的函数解析式为
则,得
∴直线CD的函数解析式为;
由上述可得,点H的坐标为(0,-2),。
∵,∴,即结论②成立。
(2)结论①仍成立,理由如下:
∵点A的坐标为,则点B坐标为(),从而点C坐标为,点D坐标为,设直线OC的函数解析式为,则,得。
∴直线OC的函数解析式为。
设点M的坐标为(),
∵点M在直线OC上,∴当时,,点M的坐标为()。
∴。
∴结论①仍成立。
(3),理由如下:
由题意,当二次函数的解析式为,且点A坐标为(t,0)()时,点C坐标为(),点D坐标为(),设直线CD的函数解析式为
则
∴直线CD的函数解析式为。
则点H的坐标为(),。
∵,∴。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)可先根据AB=OA得出B点的坐标,然后根据抛物线的解析式和A,B的坐标得出C,D两点的坐标,再依据C点的坐标求出直线OC的解析式.进而可求出M点的坐标,然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标,然后可根据这些点的坐标进行求解即可。
(2)(3)的解法同
(1)完全一样。
6.(上海市2005年10分)在直角坐标平面中,O为坐标原点,二次函数
的图象与x轴的负半轴相交于点C(如图),点C的坐标为(0,-3),且BO=CO
一、求这个二次函数的解析式;
二、设这个二次函数的图象的顶点为M,求AM的长.
【答案】解:
(1)∵C(0,-3),OC=|-3|=3,∴=-3。
又∵OC=BO,∴BO=3,∴B(3,0)。
∴9+3-3=0,=-2。
∴这个二次函数的解析式为。
(2)∵,∴M(1,-4)。
又由解得A(-1,0),
∴AM=。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理。
【分析】
(1)由已知可得B(3,0),又C(0,-3),代入抛物线解析式可求、。
(2)求抛物线顶点坐标和A点坐标,在直角三角形中用勾股定理可求AM的长。
7.(上海市2006年12分)如图,在直角坐标系中,为原点.点在第一象限,它的纵坐标是横坐标的3倍,反比例函数的图象经过点.
(1)求点的坐标(5分);
(2)如果经过点的一次函数图象与轴的正半轴交于点,且,求这个一次函数的解析式(7分)。
【答案】解:
(1)由题意,设点的坐标为,.
∵点在反比例函数的图象上,得,解得,。
经检验,是原方程的根,但不符合题意,舍去。
∴点的坐标为。
(2)由题意,设点的坐标为.
∵,∴, 解得,经检验是原方程的根。
∴点的坐标为。
设一次函数的解析式为,
∵一次函数图象过点,∴,得。
∴所求一次函数的解析式为。
【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)根据点位置及坐标特点,代入反比例函数解析式解方程即可求出的坐标。
(2)根据题意求B点坐标,再求解析式。
8.(上海市2007年12分)如图,在直角坐标平面内,函数(,是常数)的图象经过,,其中.过点作轴垂线,垂足为,过点作轴垂线,垂足为,连结,,.
(1)若的面积为4,求点的坐标;
(2)求证:
;
(3)当时,求直线的函数解析式.
【答案】解:
(1)∵函数,是常数)图象经过,∴。
设交于点,据题意,可得点的坐标为,点的坐标为,
点的坐标为。
∵,∴,。
由的面积为4,即,得,∴点的坐标为。
(2)证明:
根据题意,点的坐标为,则。
∵,易得,,
∴,。
∴。
∴。
(3)∵,∴当时,有两种情况:
①当时,四边形是平行四边形,
由
(2)得,,∴,得。
∴点的坐标是(2,2)。
设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,
得解得。
∴直线的函数解析式是。
②当与所在直线不平行时,四边形是等腰梯形,
则,∴,∴点的坐标是(4,1)。
设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,
得解得。
∴直线的函数解析式是。
综上所述,所求直线的函数解析式是或。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,待定系数法,两直线平行的判定,平行四边形的判定和性质,等腰梯形的判定和性质。
【分析】
(1)由函数(,是常数)的图象经过,根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,求出函数关系式,从而由的面积为4求出点的坐标。
(2)由已知,求出,即可证得。
(3)分和与所在直线不平行两种情况讨论即可。
9.(上海市2008年12分)如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点.二次函数的图像经过点,顶点为.
(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点的坐标(5分);
(2)如果点的坐标为,,垂足为点,点在直线上,,求点的坐标(7分).
【答案】解:
(1)∵二次函数的图像经过点,
∴,得。
所求二次函数的解析式为。
则这个二次函数图像顶点的坐标为。
(2)过点作轴,垂足为点。
在中,,,,
∴。
在中,,又,可得。
∴。
过点作轴,垂足为点。
由题意知,点在点的右侧,
易证.∴。
其中,。
设点的坐标为,则,。
①若点在的延长线上,则,得,
∴,。
∴点的坐标为。
②若点在线段上,则,得,
∴,。
∴点的坐标为。
综上所述,点的坐标为或。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的顶点坐标,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,由二次函数的图像经过点,可求得,从而得到二次函数的解析式。
把二次函数的解析式化为顶点式,可得这个二次函数图像顶点的坐标为。
(2)过点作轴,垂足为点,过点作轴,垂足为点。
分点在的延长线上和点在线段上两种情况分别求出点的坐标为或。
10.(上海市2010年12分)如图,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3).
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,
点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.
【答案】解:
(1)将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得:
,解之得:
b=4,c=0
∴抛物线的表达式为:
。
将抛物线的表达式配方得:
∴该抛物线的对称轴为x=2,顶点坐标为(2,4)。
(2)点p(m,n)关于直线x=2的对称点为点E(4-m,n),点E关于y轴的对称点为点F(4-m,-n)。
[来源:
学.科.网]
则四边形OAPF可以分为:
△OFA与△OAP,
∴=+==20
∴=5。
∵点P为第四象限的点,∴n<0,∴n=-5。
代入抛物线方程得m=5。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,抛物线的性质,轴对称的性质。
【分析】
(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将点A、B的坐标代入函数关系式即可求出b=4,c=0,得到抛物线的表达式。
将表达式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标。
(2)根据轴对称的性质可得到点E和F的坐标,由已知四边形OAPF的面积为20,列式求出n,
代入抛物线方程求得m。
11.(上海市2011年12分)已知平面直角坐标系O(如图1),一次函数的图像与轴交于点A,点M在正比例函数的图像上,且MO=MA.二次函数=2+b+c的图像经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函
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