第四章误差分析精.docx
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第四章误差分析精
第四章误差分析
物理实验中的测量结果本质上蕴含一定的随机性,带有一定的误差。
高能物理实验中,物理规律本身还具有统计性。
按照量子力学原理,对处于同一个态的微观粒子,测量同一个可观测的物理量时,即使不存在任何测量误差,各次测量的结果也不相同,除非粒子处于这个可观测量的本征态。
简言之,实验观测量是随机量。
为了能够通过对于随机量的处理,既恰当的得出合理的结论,又确切的知道结论的可靠程度,务须应用有关随机量的数学——概率论、数理统计和随机过程论等定量研究随机现象规律的科学。
误差包括两个部分:
统计误差和系统误差。
本章将概括的介绍以上两种误差分析的概念和方法,之后结合本论文的具体工作给出研究道的统计误差和系统误差。
4.1统计误差
在涉及微观粒子的测量中,出去通常测量中碰到的系统误差、偶然误差和过失误差,在随机事件测量过程中还存在一种独特的起伏现象,即重复测量的值并不相同,与测量仪器、环境状态以及观测人员的主观素质都无关,是测量中能达到的最高精度,此种误差称之为统计误差。
统计误差是微观世界几率性的反映。
例如,高能基本粒子在相互作用过程中产生各种不稳定粒子,由各个事例测出的同一种不稳定粒子的质量是不确定的,而是围绕某一平均值有一定的涨落,是在某个质量范围内的一个分布。
因此仪器测量道的数值有起伏,造成误差。
这种误差不是测量引进来的,而是微观事件本身具有的。
为了具体考察的方便,先假定在某时间间隔内具有特定特征(比如有特定的不变质量)的粒子有N个,且全部入射到探测器上,探测器对入射粒子的探测效率为ε,即每个入射粒子引起探测器计数的概率为ε,未引起计数的概率为(1-ε),这相当于一个伯努利实验。
这N个入射粒子引起的计数为n,n也是一个随机变量,它服从的分布为:
(4.1)
以上n所服从的分布,形式上与二项式分布相同,但是入射粒子本身具有一定的分布,不是一个常数,而是一个随机变数。
假定N服从泊松分布
(4.2)
其中M是入射粒子数N的期望值。
进一步考察(4)式,被探测粒子数n服从二项式分布的条件是N为一确定值,在有N个粒子入射的条件下,被探测粒子数的条件概率服从二项式分布,将(4.1)式改记为
(4.3)
等式左边表示在N确定的条件下n出现的概率。
现在入射粒子数N也是一个随机量,根据荃概率公式,可以得到n的概率密度分布为
(4.4)
令i=N-n,则有
(4.5)
即有
(4.6)
从上式可以看到,当入射到探测器上的粒子数N服从平均值为M的泊松分布时,引起的探测器的计数n服从平均值为(Mε)的泊松分布,(参考莫毕业论文)ε是每个入射粒子引起探测器计数的概率。
也就是说,探测到的事例数与产生的事例数服从同样的分布。
换言之,实验保持客观规律的原始分布或说固有特征不变。
这是物理分析的实验基础。
当n较大时,上述泊松分布可以化为高斯分布:
(4.7)
与高斯分不得标准形式比较,可知有:
μ=(Mε)和σ2=(Mε)
因此,上述情况的统计误差应为
(4.8)
具体到我前面所研究的衰变道,Mε即为所有的58M实验数据通过事例终选条件所挑选出来的事例数,而通过对反中子的反冲质量分布曲线的布里格-威格勒拟合,如图4.1所示。
图4.1反冲粒子质量拟合图
我们可以直接得到其统计误差为0.0037关于这一部分更具体的知识,可以参阅莫小虎博士毕业论文[26]的相关部分。
到目前上一章得到的分支比结果可写为:
Br(
)=
4.2系统误差
系统误差的定义是在偏离规定的测量条件下多次测量的同一量时,误差的绝对值和符号恒定;或在该测量条件改变时,按照某一确定的规律变化的误差。
所谓确定的规律是,这种误差可以归结为一个因素或几个因素的函数,这种函数一般可以用解析公式、曲线或数表来表达。
由于变化规律的不同,系统误差可以分为恒定系统误差和可变系统误差;更细致的,可变系统误差又可以分为线性系统误差和复杂规律性系统误差等等。
在谱仪取数过程中,温度湿度等因素随春夏秋冬四季呈现规律性变化,就是一种周期性系统误差,在线性刻度已对此进行了一定程度的修正。
此外,探测器囿于精度所限,譬如能量分辨时间分辨的存在,自然会使系统具有一定误差。
还有蒙特卡罗模拟与实验本身的不完全一致,亦可带来系统误差。
这些因素都需要结合具体分析过程仔细考虑。
系统误差的一个重要部分就是事例选择条件在合理范围内的改变造成的误差。
过去对其的计算方法是在本程序中直接改变相关的判选条件来计算这方面的误差(可以参见应军博士论文[27])。
然而由于在本程序中改变相应的判选条件时,不可避免的会造成最后通过的事例数的变化,因而会导致引起较大的统计误差,可见这种方法存在不足,并不能准确地得到真实的误差,于是经讨论作者决定在这里采用一种新的更合理的方法来进行系统误差的计算。
因为这种方法目前才刚刚开始应用,因此这部分工作具有重要的参考价值。
对于我们所研究的衰变道,系统误差主要由以下几个部分引起:
连续能量区域;带电粒子的重建;MDC的极角;粒子判选条件;运动学拟合;蒙特卡罗模型;
J/ψ总数误差。
下面结合上一章所研究的衰变道具体阐述得到系统误差的方法并给出相应的系统误差结果。
4.2.1能量连续区域
在收集3.097GeV质量附近的J/ψ事例总数的时候,除了J/ψ共振区域还有连续区域也对截面做出了贡献。
在3.097GeV质量附近,σJ/ψ=2500nb-1,σc=20nb-1。
实际上,总的截面为:
(4.9)
目前,在J/ψ连续区域和共振区域之间的相位角为约91o。
因此,连续区域造成的误差约为0.96%。
4.2.2带电径迹的重建
在分析衰变道时,对于带电径迹的重建在蒙特卡罗数据和真实数据之间会有不同从而带来误差,为了确认这方面误差的大小,需要找一个与所研究道不同但是又相近的衰变道进行研究。
这便是与过去方法最大的不同之处,过去只是在研究道改变相应的判选条件。
在本文所要研究的衰变道中,带电粒子为一个质子P和一个π-粒子。
除了所选择的衰变道最后出来的末态粒子要包含这两种粒子外,还要求两者末态粒子的动量尽量比较接近,最后还要求本底比较小以得到比较纯净的事例,从而便于研究。
综合以上因素,经过研究比较,最后决定选用衰变道
这个衰变道能够比较好的满足上述条件。
从上一章我们亦可看出,在分析本底时,这一道也是引起最大本底的衰变道。
对带电径迹重建引起的误差的研究过程是先针对研究道编写程序,确认四个末态粒子中的三个,剩下的那一个则是要研究的带电径迹,根据能动量守恒通过重建得到。
然后考虑判选条件以得到干净的本底以扣除它们所引起的误差,然后分别通过蒙卡和真实数据得到结果,对这些结果进行比较,就可以得到这个带电径迹重建的误差。
下面将对这个过程进行简要阐述。
因为在
道中有p、π-两个带电粒子,因此我们需要分别考虑,算出它们各自的重建系统误差。
在这里我先主要阐述重建p粒子的方法及过程,因为重建π-与其基本相似,便只简单叙述并给出结果。
●事例判选条件
1.初选条件
●带电径迹的总数不能小于3条
●选择好的带电径迹;
·是由MDC给出的径迹;
·Q等于±1;
·Mfit=2或-19;
·Rxy≤2.0cm,Z≤20cm;
●好的带电径迹的数目不少于三条;
●
●ParticleID
●X2(1C)<50
这些都是一些一般的基本判选条件,无需作过多的特别说明。
但是在本道中定点限制一项却有些特殊,因为我们知道Λ粒子的寿命比较长,在探测器中能够飞行大约7.89cm的距离,而我们在这里做了比较严格的定点限制,是因为考虑到在这种情况下这个道的末态粒子的物理特性才与
道中的比较接近。
而因为7.89cm是一个平均值,因此在2cm以内也有不少的事例。
这在下面的分析中可以看到。
2.终选条件
经过以上的初选条件,并不能完全扣除掉本底混入,现在就以p粒子的重建为例来考察进一步的判选条件。
经过研究(类似方法可见上一章)发现这一道的本底主要来自于
显然我们可以通过对p、π的不变质量来排除这一道,因为这一道p、π的不变质量不像
那样主要分布在Λ质量附近,而是一个均匀分布。
如图4.1所示。
图4.2p、π的不变质量谱二维分布图
以上左图是道
的p、π的不变质量,右图是道
的p、π的不变质量,可以很清楚的看出两者的区别,也证明通过对它们的限制来有效的去处本底。
因此在这里引入判选条件
and
为了进一步准确估算这一本底道带来的误差,我用MC产生了44444个事例数,之所以考虑产生这个数目,是因为参考PDG[13]所给出的
和
的分支比结果,为了后来计算的方便按其比例产生。
两个衰变道的分支比分别是
和
。
最后有17个事例数通过了终选条件。
而对于
产生的100,000个事例数最终通过6,784个,通过以下公式计算,最后得到误差为2.45%,小于5%,因此可以忽略其带来的误差。
(4.10)
其中:
N1,2分别为本底道和主道通过的事例数,Br1为相应的分支比。
另外考虑还有可能混入的一个本底道是
,
。
这是因为有可能在PID(粒子鉴别)时把K粒子错判成π粒子,因此对末态有K粒子的情况也做一个1C拟合,得到拟合参数chisq2,与主分析道得到的chisq相比,要求前者的比较大,最后发现通过此判选条件后能混入的本底很少。
不过对于这个过程效果不如后来分析π粒子的明显,因为在那个过程中重建的即是π粒子。
确定好判选条件条件以后,开始检查MC和数据p的重建情况。
我们知道在程序中已经做了1C拟合,因此可以得到反冲粒子p的动量。
而在程序最后再考察第四个带电粒子(认为它就是质子)的特性,可以直接得到它的动量,然后考察两者之间大小和角度的差异。
在一定的范围内可以认为重建成功。
而在加上这个cut条件后事例数会相应的减少,前后事例数的差值即为带电粒子的重建效率。
为了便于看出MC和数据之间的差别,我们把两者之间的动量大小差值的分布和角度分布图归一后叠加在一起如图4.2所示。
图4.3重建前后p粒子的动量数值及角度差
其中实线为MC得到的分布图,十字叉的是数据。
我们从图中可以看到,两者之间的差别不是很大。
而通过分析我最后确定cut条件为
和
。
最后我们通过计算得到p粒子的重建效率分别为MC:
96.51%和Data:
95.47%。
因此可以算出其导致的误差为1.09%。
这说明p粒子的重建带来的误差很小。
而对于π粒子,因为其方法与上文类似,因此在这里不再细说。
其判选条件与以上基本相同,只是加上了两个质子之间角度的限制。
最后π粒子重建前后动量大小的差异和角度差如图4.3所示。
图4.4重建前后π粒子的动量数值及角度差
然后选定cut条件为
和
。
最后得到π粒子的重建效率分别为MC:
86.42%和Data:
84.90%。
可以算得其引起的误差为1.75%。
误差也不大。
●结果讨论
先将p、π两种带电粒子的重建引起的误差总结如下。
π-和P两跟带电径迹的重建误差如表4.1所示。
表4.1带电粒子MC和数据的重建效率及其差值
Particle
MC(%)
DATA(%)
差值(%)
p
96.51
95.47
1.09
π
86.42
84.90
1.75
从以上结果可以看出,对于π-和P两个带电粒子,我们在第三章所用的重建的手段所引起的误差并不是很大,因此没有问题。
而质子p的重建效率也高于π-粒子。
另外发现质子p重建的角度差别要远小于π-粒子。
4.2.3ParticleID
在我们研究我们所感兴趣的衰变道的过程中,ParticleID对于带电径迹的判选的好坏与否有着重大的影响。
如果在蒙特卡罗和真实数据的它的效率相差比较显著,那么将会直接影响到结果。
关于这一部分的工作已由他人完成,其结果为:
,具体请参考房双世的月会总结报告[28]。
4.2.4运动学拟合
运动学拟合是粒子筛选中的又一个重要手段。
为了检验蒙卡和真实数据之间的一致性,需要对它进行细致的研究。
因为关于4C拟合现在已经做出了结果,而在上一章可以看到我们采用的运动学拟合是1C拟合,因而在这里我们将研究1C拟合引起的误差。
在这里采用的方法基本上同前面研究带电粒子的重建所引起的误差基本相同,选择相同的衰变道进行研究,得到干净的事例后再运行真实数据,进而比较蒙卡和数据之间的差别。
不同之处在于,前面我们由于条件所限最后挑选出来的是三个末态粒子,而在这里我们可以将四个末态粒子全都挑选出来,因而能够将本底扣除的更加干净。
同时因为要研究的是运动学拟合,所以在程序里不加这方面的判选条件。
故而初选条件在这两点上与做粒子重建时的有所不同,而其余的一样。
终选条件还需要重新考虑。
在通过了初选条件以后,
和
的二维质量分布如图4.5所示。
图4.5Λ
不变质量二维分布图图4.6损失能量与Λ的二维分布图
可以看到衰变道
处在左下角区域。
由此我们可以看出混入了相空间本底,其主要本底道为
。
而Emiss和
的二维分布如图4.6所示,Emiss定义的是
和
的能量差。
从这个图我们可以看到,Emiss除了大部分在零附近以外,在0-500MeV之间还有一个分布,γ这主要是来自于本底
,因此这也是一个重要的本底衰变道。
而终选条件之一则相应的确定为
。
针对图4.5,我们相应的对
和
的质量范围做出限制:
(具体可见4.2.2节)
经过以上的判选条件后,主要的本底来自于衰变道
,其混入比例约为***,因此对结果的影响可以忽略。
最后得到图4.7,为经过以上判选条件高斯拟合的
的质量分布图,
图4.7p、π的不变质量谱高斯拟合图
在确定了判选条件以后,我们则通过改变1C拟合的参数χ2来研究在其不同范围内数据和蒙卡之间的差别。
在这里虽然程序中并没有用运动学拟合作为判选条件,但我们仍然加上这一部分,只是在判选条件中对拟合参数χ2不作要求。
在加上运动学拟合判选条件前后事例数会发生变化,它们的比值即为通过此条件的效率。
具体结果如表4.2所示。
表4.2MC和数据的不同拟合优度的效率及相对误差
χ2
MC(%)
DATA(%)
相对误差(%)
χ2<50
98.86
98.48
0.18
χ2<30
98.57
98.19
0.38
χ2<15
98.20
97.69
0.52
χ2<10
97.83
97.02
0.83
χ2<5
94.85
92.67
2.30
χ2<3
89.64
87.07
2.87
可以看到,数据和蒙卡在χ2大于10时并不显著,图4.8显示了的蒙卡-数据比较分布图,连线的为蒙卡数据,十字为真实数据,我们可以看到两者的差别并不显著。
图4.8MC和数据拟合优度分布比较图
在第三章中我们选用的相应判选条件为
,对应的chisq为3.7。
因此对应的误差应为****。
4.2.5蒙特卡罗模型
由于不同的蒙特卡罗模型对强子相互作用模拟机制的不同在计算分支比时会带来不同的结果从而导致误差的产生。
这一点在参照本文的第二章有较为详细的阐述。
我分别就howl产生子和p2bb产生子产生了相同的MC数据,得到不同的结果。
在这里就不再多说,直接给出一个结果为2.07%。
4.2.6J/ψ总数误差
J/ψ事例总数为
,其相对误差约为4.72%。
4.3总的系统误差的计算
上文已经得到了系统误差各个部分的值,可见表4.3。
在计算总的系统误差时,我们认为这些误差之间相互没有关联,可以按独立变量的误差传递公式求得总的系统误差。
下面简要介绍一下函数关系未知的误差传递处理方法。
我们首先来考虑函数关系已知时独立变量的误差传递。
设间接观测量z的误差为σz,则有
(4.11)
上式称为误差传递定律,亦称为误差累积定律。
令间接观测量的部分误差
,则式(4.1)又可改记为
(4.12)
若函数关系未知,那么间接观测量的误差可由实验方法求得。
施行此法的条件有两个:
1.间接观测量所涉及的各直接观测量彼此之间相互独立,任意一个直接观测量的变化不会引起其他直接观测量的变化。
2.可以用实验的方法测得各直接观测量轮流变化时,间接观测量的变化。
由式(4.1)可知,因F未知,故各(
/
Xk)2无法得知。
但根据条件
(2)可以求出各
的整体效果。
具体的说,实验时只变动σk,而其它各σj(
)不变,即σj=0,此时的间接观测量的变化量即为部分误差Dk
(4.13)
依此类推,逐一求出各个Dk,之后利用式(4.12)求出间接观测量的误差σz。
此种方法颇具实用价值,在计算有关事例选择的系统误差时,即采用此法。
判选事例常常用到若干条件,这些条件或涉及事例的几何性质,或物理性质,或涉及不同的子探测器,各条件之间可以合理的认为是彼此独立的。
利用判选条件程序很容易变化某一条件,同时保持其它条件不变。
如此轮流求出诸条件各自对于误差的贡献(即各个部分误差),最后由式(4.12)求出总的系统误差。
因此根据以上各部分分别得出的误差的值,最后可以算出总的系统误差为
4.4结果讨论
针对以前对系统误差计算的不合理性,本章结合上一章所分析的衰变道详细阐述了新的系统误差的分析计算方法即其原理,并且就其中带电径迹的重建和运动学拟合的两个部分作了详细的说明。
最后给出了此衰变道的系统误差。
与以前对应的计算方法和结果进行比较,我们有理由相信本文所采用的方法较以前有了很大的改进,其得到的结果更具合理性。
并且此方法在以后的分支比系统误差计算中可以广泛的应用,代替以前所使用的方法。
使得在高能物理中对数据误差的处理得到改进,并且提高我们对误差处理结果的可信度。
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