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初二数学题

科目：

数学年级：

初二教师：

第一学期第一周

第一章勾股定理

（1.1）

一、主要知识介绍

本章学习的主要内容是勾股定理及其逆定理，勾股定理及其逆定理反映了互逆关系，勾股定理是直角三角形的一条重要性质，勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据.

勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系.它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用.通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解.

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的.其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多.如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）.所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的.

勾股定理:

如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.

二、本周学习目标

1.经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想.

　2.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题.

　3.学会判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些相关的实际问题.

　4.通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值.

三、重难点分析

重点：

对勾股定理的理解和实际应用，以及运用勾股定理逆定理去解决一些相关的实际问题.

　难点：

在勾股定理的探索和验证过程中，进一步体会数形结合的思想.

在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.

四、典型例题与分析

【例1】如图所示，下面提供给我们的是一种用硬纸板作成的直角三角形，直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，请你开动脑筋，利用这种直角三角形拼成一个能用来验证勾股定理的图形，并写出验证过程．

　　方法一：

如图1所示，拼成的正方形ＡＢＣＤ内嵌正方形ＥＦＧＨ，能说明a２＋b２＝c２．

　　【分析】如图1所示，整体正方形的面积等于各部分面积之和．

Ｓ△ＥＡＦ＝Ｓ△ＨＢＥ＝Ｓ△ＧＣＨ＝Ｓ△ＦＤＧ＝

ab，

Ｓ正方形ＥＦＧＨ＝c２，

　　Ｓ正方形ＡＢＣＤ＝（a＋b）２．

　利用面积公式可得

ab×４＋c２＝（a＋b）２，

　　化简可得：

a２＋b２＝c２．

　　方法二：

拼成图形如图２所示，能说明a２＋b２＝c２．

　　【分析】如图2所示，整体正方形的面积等于四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和．

利用面积公式可得（b－a）２＋

ab×４＝c２，

　　化简可得：

a２＋b２＝c２．

　　【点拨】上述两种勾股定理的证明方法巧妙地利用了数形结合的思想，构造出图形后根据图形所反映出来的数量关系来证明勾股定理．　　

【例2】（荆门）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：

a2＋b2＝c2.

【分析】我们观察图形会发现易证△ABC≌△AB′C′，得∠CAC′=90°，于是梯形BCC′D′的面积既等于

（C′D′＋BC）·BD′，又等于S△ABC＋S△CAC′+S△D′AC′，于是定理得证.

　　【证明】由题意可知四边形BCC′D′为直角梯形，

　　又因为Rt△ABC≌Rt△AB′C′，

　　所以∠BAC=∠C′AB′.

　　所以∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′

         　　     ＝∠CAB′＋∠BAC=90°.

　　所以S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′+S△D′AC′

　　所以a2＋b2＝c2.

【例3】在△ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.

　　【解析】此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC有两种情况.

当BC边上的高AD在△ABC的内部时，如图1.

　　由勾股定理，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，得BD2=AB2-AD2=152-122=81，

　　则BD=9.

　　CD2=AC2-AD2=202-122=256，

　　则CD=16.

　　所以BC=9+16=25.

　　当BC边上的高AD在△ABC的外部时，如图2.

　　同样由勾股定理可得BD=9，CD=16.

　　这时BC=16-9=7.

　　综上可得BC边的长为25或7.

【例4】如图所示，长方形ABCD的对角线AC＝10m，其中一边AB＝8m，则该矩形的周长为多少？

【分析】我们知道矩形周长的公式为C＝2（a+b），要求周长就要知道这个长方形的长和宽，本题我们已经知道长方形的一边长为8m.又知道长方形的对角线长为10m，且长方形的四个角都是直角，因此我们可以在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC的长.

　　【解】：

∵　AC2=AB2+BC2，

　　∴　BC2=AC2-AB2=102-82=36．

　　∴　BC＝6m.

　　∴　C＝2·（AＢ+BC）＝2×（8+6）＝28m.

　　答：

该矩形的周长为28m.

【例5】如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，那么△AED的面积为______.

　　【解析】由△ABF的面积为30cm2，

　　可得BF=12cm.

　　则在Rt△ABF中，AB=5cm，BF=12cm，

　　根据勾股定理可知AF=13cm.

　　再由折叠的性质可知AD=AF=13cm.

　　所以FC=1cm.

　　可设DE=EF=x，则EC=5-x.

　　在Rt△EFC中，可得：

　　12+（5-x）2=x2.

　　解这个方程，得x=

.

　　所以S△AED=

×

×13=16.9（cm2）.

【例6】如图所示，甲、乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时9海里的速度向B岛驶去，乙船沿南偏东55°的方向，以每小时12海里的速度向C岛驶去，3小时后两船同时到达了目的地.如果两船航行的速度不变，那么最少还需几小时才能相遇？

【分析】从两船出发的方位角可知，两船出发的方向是成直角的，A岛，B岛，C岛分别在一个直角三角形的三个顶点上.根据船航行的时间和航行的速度可以求出AB，AC的长度，从而可以求出B，C两岛的距离.两船要想在最短的时间内相遇，只有当它们各自从B，C两岛出发，相向而行时，所用的时间才最少.

　　解：

如图所示，

　　∠BAC=180°-35°-55°=90°，由题意知

　　AB=9×3=27（海里），

　　AC=１2×3＝36（海里）．

　　在Rt△ABC中，

　　由勾股定理得

　　BC2=AB2+AC2=272+362=452.

　　所以BC=45（海里）．

　　所以BC÷（9+12）=45÷21=2

（小时）．

　　即两船各自从B，C两岛出发，最少需2

小时才能相遇.

　　【点拨】勾股定理的应用十分广泛，找出直角或作辅助线构造直角是解答的关键.另外，在本题中还要正确找出题目中所提到的方位角，这也是正确解答本题的重要条件之一.

双基训练

A组

一、选择题

   1.Ｒt△ＡＢＣ的三边长分别为a，b，c，则下列关系式一定成立的是（　）.

　　　Ａ.a２＋b２＝c２　　　　　Ｂ.a２＋c２＝b２

　　　Ｃ.b２＋c２＝a２　　　　　Ｄ．不能确定

   2.在△ＡＢＣ中ＡＢ＝１５，ＢＣ＝９，ＡＣ＝１２，则Ｓ△ＡＢＣ＝（　）.

　　　Ａ.１８０　　Ｂ.５４　　Ｃ.６０　　Ｄ．１３５

   3.一艘小船早晨8∶00出发，以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10∶00两小船相距（　）海里.

　　　A.15　　 B．12　　C．13　　D．20

     4.一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一个直角边长为6，则斜边长为（   ）.

　　　A.6　　　B.8　　　C.10　　D.12

 二、填空题

   5.如图，一架长2.5m的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底端将滑出　  　　ｍ．

   6.校园里有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞           米。

   7.如图所示是某商品的广告设计商标方案，若每个小正方形的边长为1，则阴影部分的面积为　  　．

   8.小明放学后先到书店买书再回家，已知书店在学校正西方450米，而小明家在书店正南方，小明家与学校的距离为750米，则小明回到家共走了        米.

   9.直角三角形的三边长为连续偶数，则这个直角三角形的周长为         .

 三、解答题

   10．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=4cm，CD⊥AB于D.

　　求CD的长.

   11.如图所示，在高为3m，斜坡为5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？

B组

一、选择题

　　１.在Ｒt△ＡＢＣ中，a、b为两直角边，斜边为c，若a２＋b２=16，则斜边c的长为（　）.

　　　Ａ.3　　　Ｂ.4　　　Ｃ.5　　  Ｄ.6

　　２.直角三角形两直角边的长分别为6、8，则斜边长为（　）.

　　　Ａ.１０　　　Ｂ.

　 Ｃ.１３　　Ｄ.

　　３.在Ｒt△ＡＢＣ中，斜边AＣ=2，则AB２+BC２-CA２=（　）.

　　　Ａ.4　　　Ｂ.16　　 Ｃ.2　     Ｄ.0

　　4.下列条件能使△ＡＢＣ为直角三角形的是（   ）.

　　　Ａ.∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ　 　Ｂ.a＋b＝c

　　　Ｃ.a∶b∶c＝３∶４∶５　  　　Ｄ．∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝２∶３∶７

　　5.两只小老鼠在地下打洞，一只向前挖，每分钟挖8cm，一只向左挖，每分钟挖6cm，10分钟后两只小老鼠相距（　）.

　　　A.50cm　 　　　　　B．100cm

　　　C．140cm　　　　　　D．80cm

　　二、填空题

　　6.直角三角形的面积为12cm２，斜边长为5cm，则斜边上的高为　　．

　　7.如图一长方形的公园，如果要从景点Ａ走到景点Ｃ，则至少要走　　m．

　　8.在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所对的边分别为a，b，c，若a：

b＝３：

４，c＝１０，则a＝　　，b＝　　．

　　9.把直角三角形的三边都扩大相同的倍数后所得的新三角形是　　　　　三角形．

　　10.若直角三角形两直角边的比为３∶４，斜边的长为２５cm，则这个直角三角形的面积为　 　cm２.

　三、解答题

　　13.（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12.

　　求CD的长.

　　14．（12分）已知，如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12.

　　求证：

△ABC是等腰三角形.

　　15.（12分）如图所示，要建一个蔬菜大棚，棚宽3.2m，高2.4m，长15m，请你计算覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米？

　　16.（16分）一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着，它又转头向正东方向航行15千米.

（1）此时轮船离开出发点多少千米？

（2）若轮船每航行1千米，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？

【参考答案】

A组

一、1.D　　2.B　　3.D　　4C

二、5.0.8　6.13　 7.3.5　8.1050 9.24

三、10.CD＝2.4cm.【提示】先根据勾股定理求出直角边BC的长，再根据三角形的面积相等得

AB×CD=S△ABC＝

AC×BC.从而可以求得CD的长.

 11.地毯的长度至少需要7米.

【提示】将竖直方向的都平移到BC上，它的长度正好是BC的长，水平方向的都平移到AC上，它的长度正好等于AC的长度.所需地毯的长度正好是AC+BC的长度.  

B组

  一、１.B　　2.Ａ　　3.D4.C　　5.B　　

 二、 6.

cm　7.500    8.6，89.直角　 10.150

 三、

   11.CD=13.   【提示】先在Rt△ABD中根据勾股定理求出BD的长，再在Rt△BCD中根据已知BC和以上求出的BD的长，利用勾股定理求出ＣＤ的长，从而问题得解.

 12. △ABC为等腰三角形.【提示】先在Rt△ABD中，根据勾股定理，可以求出BD的长度，然后根据BD和CD的长度关系求出ＣＤ．最后利用勾股定理求出ＡＣ的长度，从而可以判断△ABＣ是否为等腰三角形.

  13.【提示】观察图形可知所求的薄膜面积是一个长方形，要求其面积，我们就要知道这个长方形的长和宽，题中已经给了这个长方形的长，宽是图中所示的直角三角形的斜边，我们可以根据勾股定理来求，从而问题得解.

   解：

因为3.22+2.42=16=42，

   则塑料薄膜的宽为4m，

   所以塑料薄膜的面积为4×15＝60m2.   答：

需要塑料薄膜60平方米.

14轮船离出发点的距离为17千米，在此过程中轮船共耗油9.2升.