06序关系与结构离散数学讲义海南大学共十一讲.docx

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06序关系与结构离散数学讲义海南大学共十一讲

6.序关系和结构OrderRelationsandStructures

§6.1偏序集PartialOrseredSets

偏序关系PartialOrder

1.自反Reflexive

aA,（a,a）R

2．反对称antisymmetric

（a,b）∈R∧（b,a）∈Ra=b

3．传递Transitive

（a,b）∈R∧（b,c）∈R（a,c）∈R.

大于等于，小于等于，恒等，整除关系都是偏序关系。

树是偏序。

偏序的图中没有长度大于1的回路。

偏序集PosetPartialorderedset

（A，R）,R是A上偏序。

（A,）偏序集，是集合A上偏序。

Z是偏序集，≤是Z上偏序。

<不是偏序。

例4．R，S都是A上等价关系，

RSxRy→xSy

R：

A上全体等价关系，

（R，）构成偏序。

对偶偏序集：

如果R是A上偏序，则R－1也是A上偏序。

（A，R－1）称为（A，R）的对偶偏序集。

（A，≥）是（A，≤）的对偶偏序。

全序关系，线性序关系linearorder，链chain

偏序1.2.3.＋4

4．a,bA,（a,b）R∨（b,a）∈R.

大于等于，小于等于是全序，

整除，（A,）不是。

定理1.

如果（A,≤），（B,≤）是偏序，则（A×B，≤）是乘积偏序productpartialorder，其中≤定义为：

（a,b）≤（a’,b’）

a≤a’,b≤b’

设（A，≤）是偏序，

令a

称（A，<）严格线性序

大于，小于都是严格线性序。

乘积偏序（A×B，≤）中，令

（a,b）<（a’,b’）a

<是字典序lexicograpjic

（A，≤）是偏序，

An＝A×A×……×A

（a1,a2,……,an）<（b1,b2,……,bn）

a1

定理2.偏序集的有向图中没有长度大于1的圈。

哈斯图HasseDiagram

例11．A＝{1,2,3,4,12},偏序集（A,|）的哈斯图：

例12．S＝{a,b,c},A=P（S）.（A,）的哈斯图:

A={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

拓扑排序

（A，≤）是偏序集，构造一个线性序（A，≺）使a≤ba≺b，

算法原理：

1.选择一个没有前驱的顶点输出，

2.去掉这个顶点以及从这点出发的所有边。

重复1.2.直到所有顶点都输出完毕

同构Isomorphic

f：

（A，≤）→（A’,≤’）

f是A→A’的一一对应，

a≤bifff（a）≤’f（b）。

例15．

f：

（Z，≤）→（2Z，≤）是同构。

f（a）=2a

a≤biff2a≤2b

定理3.设f：

（A,≤）（A’,≤’）。

则A,A’对应的性质都相同。

1．如果f是同构，则A的哈斯图中所有标记a换成对应的标记f（a）,得到A’的哈斯图。

2．如果A的哈斯图中所有标记a换成对应的标记f（a）,得到A’的哈斯图，则f是同构。

例17．A＝{1,2,3,6},A’=P（{a,b}）={,{a},{b},{c},{a,b}},

（A,|）（A’,）

§6.2偏序集的极大极小元ExtremalelementsofPartialOrseredSets

极大元maximalelement：

a是A的极大元，

a∈A，没有b∈A，a

极小元minimalelement：

a是A的极小元，

a∈A，没有b∈A，b

定理1.有限偏序集A中，至少有一个极大元，至少有一个极小元。

最大元greatestelement：

a是A的最大元，

a∈A，任意b∈A，b

最小元leastelement：

a是A的最小元，

a∈A，任意b∈A，a

定理2.偏序集A中，至多有一个最大元，至多有一个最小元。

偏序集A中，如果有最大元，称之为单位元1，如果有最小元，称之为零元0。

上界upperbound

偏序集A中，BA，a∈A，b∈B，b

下界lowerbound

偏序集A中，BA，a∈A，b∈B，a

上确界LUBleastupperbound

偏序集A中，BA，a是B的最小上界，即a是B的上界，对B的任意上界a’，a

下确界GLBgreatestlowerbound

偏序集A中，BA，a是B的最大下界，即a是B的下界，对B的任意下界a’，a>a’.

定理3.偏序集A中，BA，B至多一个上确界，至多一个下确界。

定理4.设f：

（A，≤）→（A’,≤’）

是偏序同构，

（a）a是A的极大（极小）元，则f（a）是A’的极大（极小）元。

（b）是A的最大（最小）元，则f（a）是A’的最大（最小）元。

（c）BA，a是B的上（下）界，则f（a）是f（B）的上（下）界

（d）BA，a是B的上确（下）界，则f（a）是f（B）的上（下）确界

§6.3格Lattices

定义格是一个偏序集（L，≤），任意a，b∈L，a，b有上下确界。

令a∨b＝LUB（a,b）,

a∧b＝GLB（a,b）.

格（L,≤，∨，∧）

例1．（P（S）,）是格，

A∨B＝A∪B，A∧B＝A∩B。

记做（P（S）,,∪,∩）

例2．（Z＋，|）是格，

a∨b＝LCM（a,b）,

a∧b＝GCD（a,b）.

例3．令Dn是n的所有正因子的集合，（Dn，|）是格。

D20＝{1,2,4,5,10,20},D30={1,2,3,5,6,10,15,20}

线性序是格

例4．Hasse图是否格的判断。

设（L，≤,∨，∧）是格，则对偶（L，≥，∧，∨）也是格。

例6.（P（S）,，∩，∪）是格，

A∨B＝A∩B，A∧B＝A∪B。

例5．R：

A上全体等价关系，偏序（R，）是格。

R∧S＝R∩S

R∨S＝（R∪S）∞

定理1.

设（L1,≤,∨,∧），（L2,≤,∨,∧）都是格。

则（L1×L2，≤,∨,∧）也是格。

（a,b）∨（c,d）=（a∨c,b∨d）

（a,b）∧（c,d）=（a∧c,b∧d）

子格sublattice

设（L，≤）是格，SL，S对∨，∧封闭，

即a，b∈Sa∨b，a∧b∈S。

记做（S，≤,∨,∧）（L，≤,∨,∧）

或格SL。

（Dn，|,LCM,GCD）

（Z+,|,LCM,GCD）

例9PP209－210图6.42

格的同构IsomorphicLattices

f：

（L1,≤,∨,∧）→（L1,≤,∨,∧），

f是L1到L2的序同构，则f保持∨，∧运算，

f（a∨b）=f（a）∨f（b）

f（a∧b）=f（a）∧f（b）

格同构也记做L1L2。

D6P（{a,b}）.

RΠ见练习33

格的性质PropertiesofLattices

定理2

设L是格，

则a≤ba∨b＝ba∧b＝a.

定理3.

设L是格，则L具有如下性质：

幂等律a∨a＝a，a∧a＝a

交换律a∨b＝b∨a，a∧b＝b∧a

结合律a∨（b∨c）=（a∨b）∨c,a∧（b∧c）=（a∧b）∧c

吸收律a∨（a∧b）=a,a∧（a∨b）=a

定理3’.

设集合L上有运算∨，∧，（L,∨,∧）满足幂等律，交换律，结合律，吸收律，则L是格。

证明.

先证明a∨b＝biffa∧b＝a。

a∧b＝a∧（a∨b）=a.

a∨b＝a∨（a∧b）=a.

定义L上≤关系：

a≤biffa∨b＝biffa∧b＝a。

≤是L上偏序：

1）自反性：

由a∨a＝a，得a≤a

2）反对称性：

设a≤b，b≤a，

a＝a∧b＝b∧a＝b，

3）传递性

设a≤b，b≤c，

a∨c＝a∨（b∨c）＝（a∨b）∨c

＝b∨c＝c

a≤c

还要证明a∨b，a∧b分别是上下确界，

这里仅证a∨b是上确界，将a∧b是下确界留给同学：

上界：

a∧（a∨b）=a,a≤a∨b

b∧（a∨b）=b,b≤a∨b

上确界

设a≤c，b≤c，（a∨b）∨c=a∨（b∨c）=a∨c＝c

a∨b≤c

a∨b是a，b的最小上界。

定理4.设L是格，如果a≤b，则

（a）a∨c≤b∨c

（b）a∧c≤b∧c

a≤c，b≤ciffa∨b≤c

c≤a，c≤biffc≤a∧b

如果a≤b，c≤d则

a∨c≤b∨d

a∧c≤b∧d

特殊格

有界格Boundedlattice：

有最大元1，最小元0的格叫有界格。

L是有界格，则对任意a∈L，有0，1律成立。

0≤a≤1

a∨0＝a，a∧0＝0

a∨1＝1，a∧1＝a

定理5.L是有限格，则L有界。

分配格DistributiveLattice：

满足分配律的格：

1.a∧（b∨c）＝a∧b∨a∧c

2.a∨（b∧c）＝（a∨b）∧（a∨c）

12

例16．格（P（S）,∪,∩）是分配格。

例18．不分配的格，含有如下子格：

定理6格L不是分配格

当且仅当L含有例18中的子格。

可补格ComplementLattice.

有界格L是可补格，如果任意a∈L，

有a’∈L，使

a∨a’=1，a∧a’=0.

称a’为a的补元。

例19．格（P（S）,∪,∩）是可补格。

例21．D20，D30都是可补格。

定理7.设L是有界格，a∈L，如果a有补元，则其补元唯一。

证明.设a’,a”都是a的补元。

则a’=a’∨0＝a’∨（a∧a”）

＝（a’∨a）∧（a’∨a”）

=a’∨a”

a”=a”∨0＝a”∨（a∧a’）

＝（a”∨a）∧（a”∨a’）

=a’∨a”

因此a’=a”.

§6.4有限布尔代数

FiniteBooleanAlgeblas

定理1设S1＝{x1,x2,……,xn},S2＝{y1,y2,……,yn}，则格（P（S1）,）（P（S2）,）.

证明.令f：

S1→S2，

f（xi）=yi,i=1,2,……,n.

则f：

P（S1）→P（S2）是格同构。

1.任意A∈P（S1）,AS1,

f（A）S2,是一一对应。

2.任意A，B∈P（S1）,AB,

f（A）f（B）.f保序。

{a,b}

|S|=n,格（P（S1）,）记做Bn，

设x＝a1a2……ak，y＝b1b2……bk∈Bn

1．x≤yiffak≤bk，k＝1,2,……,n

2.x∧y＝c1c2……ck，ck＝min{ak，bk}

3.x∨y＝d1d2……dk，dk＝max{ak，bk}

4．x’=z1z2……zk，zk＝xk’.

有补分配格叫做布尔代数。

Bn是布尔代数。

定理2.n=p1p2……pk时，Dn是布尔代数。

证明.令S＝{p1,p2,……,pk},任意TS，T中所有素数的乘积AT整除n，

n的任何一个因数中的素因子必是S的一个子集T，A＝1。

AT1|AT2iffT1T2.

f:

P（S）→Dn

f（T）=AT.

是同构对应。

所以Dn是布尔代数。

|Dn|=2k.

例D1001是布尔代数。

定理3.设B是布尔代数，x，y∈B，

1．（x’）’=x,

2.（x∧y）’=x’∨y’.De.Morgan律

3.（x∨y）’=x’∧y’

布尔代数的性质：

交换律commutativeproperties

1.x∧yy∧x

2.x∨yy∨x

结合律associativeproperties

3.（x∧y）∧rx∧（y∧r）.

4.（x∨y）∨rx∨（y∨r）.

分配律distributiveproperties

5.x∧（y∨r）x∧y∨x∧r.

6.x∨（y∧r）（x∨y）∧（x∨r）.

幂等律idempotentproperties

7.x∨xx.

8.x∧xx.

双重否定propertyofnegation

9．x’’x

DeMorgan’slaw

10.（x∨y）’x’∧y’

11.（x∧y）’x’∨y’

吸收律

12x∨（x∧y）＝x

13x∧（x∨y）＝x

01律

14．x∨0＝x，x∧0＝0

15．x∨1＝1，x∧1＝x

16.x∨x’=1,x∧x’=0

17.1’=0,0’=1

例7．P222图6.62不是布尔代数。

例8．p2|n,p是素数，则Dn不是布尔代数。

证明.

设Dn是布尔代数。

p2|n,n=p2k.p∈Dn，p’∈Dn。

p∧p’＝0，GCD（p,p’）=1,

P∨p’＝1，LCM（p,p’）=n.

LCM（p,p’）=p×p’÷GCD（p,p’）=pp’=n

p’=pk,p|GCD（p,p’）,p|1矛盾。

例9．D12不是布尔代数。

定理4。

Bn＝B×B×……×B，n个B的卡氏积。

证明.

令f：

Bn→B×B×……×B

x＝a1a2……an，ai＝0或1。

f（x）=（a1,a2,……,an）.

f是一一对应

设x＝a1a2……ak，y＝b1b2……bk∈Bn

x≤yiffak≤bk，k＝1,2,……,n

f保序，

§6.5布尔函数FunctiononBooleanAlgebra

布尔函数

f:

Bn→B，argument是n个0，1，取值为0，1,f（x1,x2,……,xn）

x1

x2

x3

f（x1,x2,x3）

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

布尔函数也叫真值函数,布尔函数的表也叫真值表

布尔多项式BooleanPolynomials

布尔表达式Booleanexpressionp（x1,x2,……,xn）:

1.单个变元xi，1≤i≤n，是布尔多项式。

2.0，1是布尔多项式。

3.若p（x1,x2,……,xn），q（x1,x2,……,xn）是布尔多项式，则p（x1,x2,……,xn）∨q（x1,x2,……,xn），p（x1,x2,……,xn）∧q（x1,x2,……,xn），

（p（x1,x2,……,xn））’，也是布尔多项式。

（x∨y）∧z,（x∨y’）∨（y∧1），

（x∨（y’∧z））∨（x∧（y∧1）），

都是布尔多项式。

命题公式是布尔多项式。

布尔多项式是布尔函数。

x1

x2

x3

（x1∧x2）∨（x1∨（x2’∧x3））

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

两个布尔表达式表示同一个布尔函数，就称之为等价。

布尔表达式的等价变换，也叫代数变形algebraicmanipulation，与命题公式的等价变换相同。

（x1∧x2）∨（x1∨（x2’∧x3））

（（x1∧x2）∨x1）∨（x2’∧x3））

x1∨（x2’∧x3））

布尔多项式的逻辑图logicdiagram

与门或门非门

§6.6线路设计CircuitDesigns

设f：

Bn→B是一个布尔函数，令S（f）={b∈Bn|f（b）=1}

定理1.令f，f1,f2都是Bn到B的布尔函数。

（a）如果S（f）=S（f1）∪S（f2）,则对任意b∈Bn，f（b）=f1（b）∨f2（b）

（b）如果S（f）=S（f1）∩S（f2）,则对任意b∈Bn，f（b）=f1（b）∧f2（b）

例f：

B2→B。

f（x,y）=x,S（f）={（1,0）,（1,1）}

f（x,y）=y,S（f）={（0,1）,（1,1）}

f（x,y）=x’,S（f）={（0,0）,（0,1）}

f（x,y）=y’,S（f）={（0,0）,（1,0）}

f（x,y）=x∧y,S（f）={（1,1）}

f（x,y）=x’∧y,S（f）={（0,1）}

f（x,y）=x∧y’,S（f）={（1,0）}

f（x,y）=x’∧y’,S（f）={（0,0）}

S（x’∧y’∧z）={（0,0,1）}

极小项minterm：

使S（f）是单元集的布尔函数f（x1,…，xn）叫极小项。

极小项相当于基本合取范式。

x1’∧x2∧x3∧x4’，

S（x1’∧x2∧x3∧x4’）={（0,1,1,0）}

定理2.任意一个布尔函数都是布尔多项式。

证明.

令f:

Bn→B，S（f）={b1,b2,…,bk}

令fi：

Bn→B，S（fi）={bi},

fi可以表示为一个极小多项式，

f＝f1∨f2∨……∨fk，可以表示为布尔多项式，极小多项式的析取，析取范式。

布尔函数的Karnaugh图（卡诺图）

例4．

x

y

f（x,y）

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

f（x,y）=x’∧y’∨x’∧y＝x’

例5．

x

y

f（x,y）

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

f（x,y）=x’∧y’∨x’∧y∨x∧y’＝x’∨y’

例6．

x

y

z

f（x,y,z）

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

y’y

1

1

1

0

1

0

1

0

x’

x

f（x,y,z）=y’∧z’∨x’∧y’∨y∧z

例7．

x

y

z

f（x,y,z）

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

y’y

1

0

0

1

1

0

1

1

x’

x

f（x,y,z）=z’∨x∧y

f：

B4→B

00

01

11

10

00

0000

0001

0011

0010

01

0100

0101

0111

0110

11

1100

1101

1111

1110

10

1000

1001

1011

1010

z’

z

z

z’

x’

y’

x’

Y

x

Y

x

y’

w’

w

w

w’

例8．

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

z’

z’

z

z

x’

1

0

0

1

y’

x’

0

1

1

0

Y

x

0

1

1

0

Y

x

1

0

0

1

y’

w’

w

w

w’

f（x,y,z,w）=y’∧w’∨y∧w

例9．

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

z’

z’

z

z

x’

1

1

1

1

y’

x’

0

0

0

0

Y

x

0

0

1

0

Y

x

1

1

0

0

y’

w’

w

w

w’

f（x,y,z,w）=z’∧y’∨x’∧y’∧z∨x∧y∧z∧w