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3Momentum10110331502747
第三章动量和角动量
(MomentumandAngularMomentum)
·牛顿定律需要知道力随时间变化的细节
·在碰撞打击(宏观)、散射(微观)一类问题
中,
力的作用时间很短
力随时间变化很快,无法知其细节。
·关心:
力在一段时间过程中的积累作用
效果。
§1冲量、动量、动量定理
一.质点的动量定理
(theoremofmomemtum)
ddt
1.微分形式
由
有Fdt=dp
力在一段微过程(长dt)的积累作用
2.积分形式
对于时间过程:
初态末态
t1t2
末
力在一段时间过程的积累作用等于此过
程始、末状态的动量的增量。
二.动量(momentum)
p=m
状态量
三.冲量(impulse)
末
·过程量
·过程量和状态量的关系
★几点说明:
·动量定理
矢量式:
I=p末-p初
分量式:
x向Ix=p末x-p初x
y向Iy=p末y-p初y
t
·平均力的大小
t
·动量定理只适用于惯性系。
视频:
动量定理应用
请证明:
在不同的惯性系中动量定理的形
式相同。
[例]已知小球m
o
以速度1碰墙,
碰后速度为2(大
小等于1)。
求:
墙所受的冲量
解:
用分量法
·对m
x向Ix=m2cos-(-m1cos)
y向Iy=(-m2sin)-(-m1sin)
Ix=2m1cos
Iy=0
I球=(2m1cos)i
·墙受的冲量
I墙=-I球=-(2m1cos)i
F帆对风Δ
演示:
逆风行舟
§2质点系的动量定理,
动量守恒定律
一.质点系的动量定理
1.质点系:
由有相互作用的质点组成的系统。
(以由两个质点组成的质点系为例)
F2
·内力:
f1=-f2
内力成对出现
·外力:
F1、F2
f1
f2
对m2初(F2+f2)dt=p2末-p2初
2.质点系的动量定理
·
或I=P末-P初
·两式相加有
系统所受的合外力的冲量等于系统动量
的增量
·是什么力可改变系统的动量?
外力只能改变系统的动量吗?
内力可改变什么动量?
不能改变什么动
量?
·用质点系动量定理处理问题可避开内力,
较为方便。
二.动量守恒定律
(Lawofconservationofmomentum)
1.动量守恒定律
·条件:
系统所受的合外力为零
F=0
·则系统动量保持不变
p=常矢量
或p初=p末
系统初动量等于系统末动量
2.几点说明
·动量守恒定律是关于自然界一切过程的一
条最基本的定律。
它适用于
宏观粒子系统
电磁场
微观粒子系统
更普遍的动量守恒定律并不依赖
牛顿定律。
·分动量守恒
若(F)x=0,则p末x=p初x
(F)y=0,则p末y=p初y
·动量守恒定律只适用于惯性系。
·用守恒定律作题,注意分析:
过程、系统、条件
x
[例]
已知:
大炮质量M,炮弹质量m
炮筒长l,仰角
炮弹出口速度0(相对于炮车)
水平轨道光滑
求:
(1)炮车反冲速度V
(2)炮弹出口时,炮车移动的距离D
解:
(1)·分析:
过程:
自点火炮弹出口
系统:
m---M
条件:
水平合外力为零
水平分动量守恒
·守恒式
0=mx+M(-V)
·注意:
x0cos(why?
)
[x]弹对地=[x]弹对炮+[Vx]炮对地
x=0cos-V
代入守恒式有
M+m
(2)·在过程中的任一时刻t都有
mx(t)-MVx(t)=0
·两边对t积分
末
md-MD=0
·注意:
dlcos
d=lcos-D
M+m
·代入有
讨论:
系统动量是否守恒?
MV
(1)由结果看
*系统初动量为零
*系统末动量
(不为零)
(2)由守恒条件看
点火前:
地面支持力N=(M+m)g
重力(M+m)g
y向合力为零
点火后:
N>(M+m)g
y向合力不为零
y向动量不守恒系统动量不守恒
录像:
《动量原理》
“神舟”号飞船升空
§3火箭飞行原理
·变质量问题:
低速(< 粘附(质量添加) 抛射(质量减少) 高速(c): 质量随速度变化 m=m() ·讨论: 火箭飞行原理(是变质量问题的重 要实例) ·应用原理: 动量定理和动量守恒定律。 u 一.火箭不受外力情形 1.火箭的速度 ·系统: 火箭壳体+尚存燃料 ·条件: 不受引力、 阻力(简化) ·总体过程: i(点火)f(燃料烧尽) ·看一微过程: tt+dt 初态: 火箭壳体+尚存燃料 质量M 速度(箭对地) 系统动量M 末态: 喷出燃料 质量dm=-dM 速度-u (燃料对地=u燃料对箭+箭对地) 火箭壳体+尚存燃料 质量M-dm 速度+d(箭对地) 系统动量 -dM(-u)+(M-dm)(+d) ·由动量守恒 M=-dM(-u)+(M-dm)(+d) = 得Md=-udM i ·速度公式 Mf N= 火箭质量比: =i+ulnN 最后速度 =ulnN ·如火箭点燃时静止(i=0),则 ·讨论: 提高f的途径 (1)提高u (2)增大N 2.火箭所受的反推力 ·研究对象: 喷出气体dm t时刻: 速度(和主体的速度相同) 动量dm t+dt时刻: 速度-u 动量(-u)dm ·由动量定理,dt内喷出气体所受冲量 F气dt=(-u)dm-dm dt 和u同向 dt ·火箭所受的反推力 dt F箭方向: 和u反向, 大小: 决定于u及 单位时间喷气量 3.多级火箭 ·单级火箭: u=4.1km/s N=15 f=11km/s 考虑地球引力和空气阻力,实际末速只有 7km/s<7.9km/s(第一宇宙速)。 ·多级火箭(一般为三级) =u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3 资料: 长征三号(三级大型运载火箭) 全长: 43.25m,最大直径: 3.35m, 起飞质量: 202吨,起飞推力: 280吨力。 二.重力场中的火箭发射 Mt ·可得t时刻火箭的速度: Mt: t时刻火箭的质量 *§3变质量问题,火箭飞行原理 (较多内容) 是动量定理和动量守恒定律的重要应用。 一.变质量问题 低速(< 粘附(质量添加) 抛射(质量减少) 高速(c): 质量随速度变化 m=m() 讨论: 低速情形 1.动力学方程 (1)粘附(质量添加) ·系统: 主体(M);微小质量(dm>0) ·t时刻: 主体M速度 微小质量dm速度 (、相对同一惯性系) 动量: M+(dm) ·t+dt时刻: 系统质量M+dm 速度+d 动量: (M+dm)(+d) ·dt时间内系统受外力F *由质点系动量定理 Fdt=(M+dm)(+d)-[M+(dm)] (2)抛射(质量减少) ·t时刻: 主体M(内含|dm|),速度 动量: M ·dt时间内有微小质量|dm|(dm<0)从主 体分离出去 ·t+dt时刻: 主体质量(M+dm) 速度+d 抛出物质量(-dm)>0 速度 (、相对同一惯性系) 动量: (M+dm)(+d)+(-dm) ·dt时间内系统受外力F ·由质点系动量定理 * Fdt=[(M+dm)(+d)+(-dm)]-M =(M+dm)(+d)-[M+(dm)] 可见,粘附、抛射两方程形式相同。 (3)动力学方程 ·将上式化简,并忽略二阶小量有 dt Fdt=dm+Md-dm 动力学方程 ·上式可改写为 dt 但dm对地=udm对M+M对地 * dt u=- 有 密舍尔斯基方程 讨论: ·上述方程是关于主体M的动力 F=M 学方程 当dm=0时,有 ·主体M的加速度决定于 u 系统外力F 附加力(内力) 附加力的效果可能是推动力或制动力 决定于u的方向和dm的正负。 =F+ ·根据需要,上述方程也可以改写为 二.火箭飞行原理 是变质量问题的重要实例。 1.火箭不受外力情形(F=0) dt ·运动方程 ·已知,初态: Mi(火箭壳体+全部燃料) i 末态: Mf(火箭壳体) f 燃料相对火箭的速度: u(u=const.) u ·运动方程投影式 = dm=dM(<0) Md=-udM ·速度公式 i Mf N= 火箭质量比: =i+ulnN 最后速度 ·如火箭点燃时静止(i=0),则 =ulnN ·讨论: 提高f的途径 (1)提高u (2)增大N 2.火箭所受的反推力 ·研究对象: 喷出气体-dm>0 t时刻: 速度(和主体的速度相同) 动量(-dm) t+dt时刻: 速度 动量(-dm) ·dt内喷出气体所受冲量 F气dt=(-dm)-(-dm) dt -dm F气dt=(-dm)(u+)-(-dm) 和u同向(因为dm<0) F箭=-F气=u() ·火箭所受的反推力 dt F箭方向: 和u反向, 大小: 决定于u及 单位时间的喷气量 3.多级火箭 ·单级火箭: u=4.1km/s N=15 f=11km/s 考虑地球引力和空气阻力,实际末速 只有 7km/s<7.9km/s(第一宇宙速)。 ·多级火箭(一般为三级) =u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3 资料: 长征三号(三级大型运载火箭) 全长: 43.25m,最大直径: 3.35m, 起飞质量: 202吨,起飞推力: 280吨力。 dt 4.重力场中的火箭发射 ·由 及F=mg Mt=mg ·可得t时刻火箭的速度: Mt: t时刻火箭的质量 §4质心,质心运动定理 ·对质点系可引入质心的概念 ·用质心来分析质点系的运动有方便之处 一.质心(centerofmass) 1.质心的定义 ·质点系: m1、m2、…、mi o r1、r2、…、ri M ·质心C的矢径 M: 质点系总质量 M ·直角坐标系中 yc=…(类似可得) zc=… ·质心是几何点。 思考: 质心位置决定于什么因素? 改变坐标系时,质心位置变不变? 质心和重心概念是否相同? = ·当物体或物体系质量连续分布时, 二.质心的运动 1.质心的速度和加速度 M (1)速度 M ac= (2)加速度 M 2.质心的动量 由c式有 (mii)=Mc ·意义: 质点系的总动量=M与c的乘积 (质心的动量) 质心的运动可以反映质点系整体的运动。 3.质心运动定理 由ac式有, miai=Mac (Fi+fi)=Mac(fi=? ) Fi=Mac质心运动定理 ·意义: 质心的加速度决定于质点系所受的 合外力。 质心的运动只由合外力决定, 内力不能改变质心的运动情况。 ·把质量和力都集中在质心,质心的运动 可看成是一个质点的运动。 如: 正在空中翻滚的手榴弹; 正在空中翻滚的跳水运动员; 其质心均沿抛物线运动,为什么? 小实验: 请你揪着自己的头发向上,使身 体离开座椅(脚不能沾地)。 可能吗? 为什么? ☆使自行车前进的力是什么力? 这是内力还是外力? 视频: 质心1;质心2 4.合外力为零时质心的运动 当F=0时,有ac=0, *c=常矢量 ·意义: 当质点系的合外力为零时,质心 静止或作匀速直线运动。 质点系动量守恒质心匀速直线运动 (或静止) 质点系x向分动量守恒 质心在x向匀速直线运动(或静止) ·你是否已看出引进质心概念的好处? 用质心的运动代替整个质点系的运动。 练习: 如前所述, 质点系的动量=质心的动量。 问: 是否也有 质点系的动能=质心的动能? 请证明二者是否相等,并导出两者的 关系式。 *三.质心参考系(center-of-massframe) 1.质心参考系 ·是固定在质心C上的参考系, ·且以c相对于惯性系平动。 2.质心参考系的特点: 在质心参考系中, 质点系的总动量恒为零。 质心系---零动量系。 ·在质心系中看,质点系的总动量为 p=mii i是质点mi相对于质心的速度 因为i=i+c mi对惯性系mi对cc对惯性系 0 所以 讨论: (1)如一质点系只含两个质点,则在 质心系中看 质心系中看来,此二 质点在任一瞬时都具 有大小相等而方向相 反的动量。 (2)质心系不一定是惯性系 i ·如,则质心相对惯性系作匀速 直线运动, 此质心系也是惯性系。 i ·如,则质心系不是惯性系, 但仍是零动量系。 (3)一质点系的复杂运动通常可分解为 质点系整体随质心的运动; 各质点相对于质心的运动。 前者即讨论质心的运动,后者就是在 质心系中考察质点系的运动。 (4)在质心系中讨论问题常常很方便。 在讨 论天体运动及碰撞问题时经常用到。 [例]实验室中,两质点质量均为m (m1=m2=m),速率均为(1=2=), 运动方向如图。 求: (1)c, (2)质心系中两质点的动量 c=0 解: (1)求c ·1x=cos,1y=-sin, 2x=cos,2y=sin M=m1+m2=2m · 2m 2m c=cx=cos *c=(cos)i (2)求质心系中两质点的动量 ·对任一质点i有i=i+c i=i-c,即ix=ix-cx iy=iy-cy ·对m1,1x=1x-cx=0 1y=1y-cy=-sin 对m2,2x=2x-cx=0 2y=2y-cy=sin ·质心系中动量 p1=-(msin)j p2=(msin)j p1+p2=0 质心系中两质点动量之和为零。 §5角动量(angularmomentum) r 一.质点的角动量 1.定义 质点m在某时刻的动量为p=m 该时刻对某定点o的矢径为r 则此时刻质点m对固定点o的角动量为 L=rp=rm L大小: L=rpsin=mrsin 方向: 由矢积确定 单位: kgm2/s或Js 2.说明 ·同一质点相对于不同的点,角动量不同。 在说明质点的角动量时,必须指明是对哪个点而言的。 o ·质点作匀速率圆周 运动时,角动量的 大小、方向均不变。 L=mR 二.质点的角动量定理 讨论: 质点对惯性系中某固定点的角动 量的时间变化率和什么因素有关。 1.微分形式 ·由角动量定义L=rp +r 有 m ·引入力矩概念 (momentofforce) M=rF M称为力对固定点o的矩 大小: M=r0F=rFsin 方向: 由叉积决定(M矢量的方向并非指 “顺(逆)时针力矩”方向) dt ·于是有角动量定理的微分形式 或Mdt=dL ·意义: 质点对某定点的角动量的时间变化 率等于质点所受合外力对该点的力矩。 说明: 质点受力矩,角动量将改变 (反之亦然)。 2.积分形式 ·若力矩作用一段时间过程: 初态末态, 则有 末 末 · 反映在一段时间过程内 力矩的积累作用效果 ·角动量定理的意义: 在一段时间过程中, 质点所受的冲量矩,等于质点角动量的 增量。 三.质点的角动量守恒定律 1.角动量守恒定律 =0 由角动量定理, 如果M=0,则 有L=常矢量 2.几点说明 (1)角动量守恒定律是物理学的基本定律之 一。 不仅适用于宏观体系,也适用于微 观系统。 (2)在中心力作用下,质点的角动量守恒。 ·中心力(有心力): 质点受力始终指向(或 离开)一个中心(力心)。 ·中心力对力心的力矩为零, 质点对力心的角动量一定守恒 (但质点受力不为零,动量并不守恒)。 ·如行星绕太阳运动,对太阳角动量守恒 卫星绕地球,地心 L 电子绕核,核 [例]由角动量守恒定律导出行星运动的开普 m 勒第二定律(自学教材P161)。 演示: 质点的角动 量守恒 Aspiralgalaxyisanonrigid system.Evenifinternalforces causethegalaxytochange shapewhileitrotates,thetotal angularmomentumis conserved. · *四.质点对轴的角动量 1.对轴的力矩 将对点定义 的力矩对轴 (如z轴)投影 ·对o点的力矩 M=rF ·M对z轴的投影---力对轴z的矩 Mz=Mk=(rF)k =[(r+r)(F+F)]k =(rF+rF +rF+rF)k =(rF)k =rFsin rsin 2.对轴的角动量 同理,将对点 定义的角动量 · 对轴(如z轴) 投影。 ·对o点的角动量 L=rp ·L对z轴的投影---对轴z的角动量 同样有 Lz=rpsin dt 3.质点对轴的角动量定理 由 dt 有 dt 即 质点对轴的角动量定理 若Mz=0则Lz=const. *五.质点系(对点)的角动量 L=Li 1.质点系(对点)的角动量 (对同一点o) 2.质点系的角动量定理 M外= (M外、L均对同一点) 3.质点系的角动量守恒 当M外=0则有 L=const. 练习: 模仿质点系动量定理的导出,由质点 的角动量定理导出质点系的角动量定理和角动量守恒定律(为简单,可设质点系内只有两个质点)(可参考教材§3.9,P163-165)。 o为惯性系 *六.质心系中的角动量定理 1.各角动量的关系 ·设o为惯性系 C为质心,且 是质心系的原点。 ·利用 ri=ri+rc miri=0 i=i+c,mii=0 可证有(教材P167) L=L+Lc 其中L=ri(mii) 是质点系对o点的角动量 L=ri(mii) 是质点系对质心的角动量 (注意: 这里和书上p167用的符号不同, 书上的Lc即上面的L) Lc=rc(mi)c=rcpc 是质心对o点的角动量 2.质心系中质点系对质心的角动量定理 =(ri-rc)Fi=riFi=M外 由 dt 有 ---质心系中质点系对质心的角动量定理 ·可见,尽管质心系不一定是惯性系,但 对质心来说,角动量定理依然成立。 第三章结束
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