因式分解精选练习.docx

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因式分解精选练习

【数】因式分解精选练习

命题说明：

应部分学员的要求，天之骄的老师从多种参考书上精选了这套因式分解练习题.虽然新课标对因式分解这部分内容要求已经降低，但鉴于因式分解的重要性，我们仍然将十字交叉法，配方法，换元法作为补充内容保留了下来。

因式分解口诀：

先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适.答案仅供参考，若有疑问，请致电客服中心。

一分解因式

1.2x4y2－4x3y2＋10xy4。

2.5xn+1－15xn＋60xn--1。

3.

4.（a+b）2x2-2（a2-b2）xy+（a-b）2y2

5.x4-1

6.－ａ2－ｂ２＋2ab＋４分解因式。

7.

8.

9.

10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

11.x2-2x-8

12．3x2+5x-2

13.（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1

14.（x2+3x+2）（x2+7x+12）-120.

15．把多项式3x2+11x+10分解因式。

16.把多项式5x2―6xy―8y2分解因式。

二证明题

17．求证：

32000－4×31999＋10×31998能被7整除。

18.设

为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：

是57的倍数.

19.求证：

无论x、y为何值，

的值恒为正。

20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。

三求值。

21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值.

22．已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。

因式分解精选练习答案

一分解因式

1.解：

原式=2xy2·x3－2xy2·2x2＋2xy2·5y2

=2xy2（x3－2x2＋5y2）。

提示：

先确定公因式，找各项系数的最大公约数2；各项相同字母的最低次幂xy2，即公因式2xy2，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。

2.提示：

在公因式中相同字母x的最低次幂是xn--1，提公因式时xn+1提取xn--1后为x2，xn提取xn--1后为x。

解：

原式=5xn--1·x2－5xn--1·3x＋5xn--1·12

=5xn--1（x2－3x＋12）

3.解：

原式=3a（b-1）（1-8a3）

=3a（b-1）（1-2a）（1+2a+4a2）*

提示：

立方差公式：

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

立方和公式：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

所以，1-8a3=（1-2a）（1+2a+4a2）

4.解：

原式=[（a+b）x]2-2（a+b）（a-b）xy+[（a-b）y]2

=（ax+bx-ay+by）2

提示：

将（a+b）x和（a-b）y视为一个整体。

5.解：

原式=（x2+1）（x2-1）

=（x2+1）（x+1）（x-1）

提示：

许多同学分解到（x2+1）（x2-1）就不再分解了，因式分解必须分解到不能再分解为止。

6.解：

原式＝－（a2－2ab＋b2－４）

＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）

提示：

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

但也不能见负号就先“提”，要对全题进行分析.防止出现诸如－９x2＋４y２＝（－3x）２－（2y）2＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的错误。

7.解：

原式=x4-x3-（x-1）

=x3（x-1）-（x-1）

=（x-1）（x3-1）

=（x-1）2（x2+x+1）*

提示：

通常四项或者以上的因式分解，分组分的要合适，否则无法分解。

另外，本题的结果不可写成（x-1）（x-1）（x2+x+1）,能写成乘方的形式的，一定要写成乘方的形式。

*使用了立方差公式，x3-1=（x-1）（x2+x+1）

8.解：

原式=y2[（x+y）2-12（x+y）+36]-y4

=y2（x+y-6）2-y4

=y2[（x+y-6）2-y2]

=y2（x+y-6+y）（x+y-6-y）

=y2（x+2y-6）（x-6）

9.解：

原式==（x+y）2（x2-12x+36）-（x+y）4

=（x+y）2[（x-6）2-（x+y）2]

=（x+y）2（x-6+x+y）（x-6-x-y）

=（x+y）2（2x+y-6）（-6-y）

=-（x+y）2（2x+y-6）（y+6）

10.解：

原式=.（a2+b2+2ab）+2bc+2ac+c2

=（a+b）2+2（a+b）c+c2*

=（a+b+c）2

提示：

*将（a+b）视为1个整体。

11.解：

原式=x2-2x+1-1-8*

=（x-1）2-32

=（x-1+3）（x-1-3）

=（x+2）（x-4）

提示：

本题用了配方法，将x2-2x加上1个“1”又减了一个“1”，从而构成完全平方式。

12．解：

原式=3（x2+

x）-2

=3（x2+

x+

-

）-2*

=3（x+

）2-3×

-2

=3（x+

）2-

=3[（x+

）2-

]

=3（x+

+

）（x+

-

）

=3（x+2）（x-

）

=（x+2）（3x-1）

提示：

*这步很重要，根据完全平方式的结构配出来的。

对于任意二次三项式ax2+bx+c（a≠0）可配成a（x+

）2+

.

13.解：

原式=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1

令x2+5x=a,则原式=（a+4）（a+6）+1

=a2+10a+25

=（a+5）2

=（x2+5x+5）

提示：

把x2+5x看成一个整体。

14.解 原式=（x+2）（x+1）（x+4）（x+3）-120

       =（x+2）（x+3）（x+1）（x+4）-120

       =（x2+5x+6）（x2+5x+4）-120

令  x2+5x=m,代入上式,得

原式=（m+6）（m+4）-120=m2+10m-96

=（m+16）（m-6）=（x2+5x+16）（x2+5x-6）=（x2+5x+16）（x+6）（x-1）

提示：

把x2+5x看成一个整体。

15．解：

原式＝（x+2）（3x+5）

提示：

把二次项3x2分解成x与3x（二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x=x×5+3x×2。

说明：

十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。

分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。

需要注意的是:

⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。

⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。

　　　　　axc

二次项　　　　　　　　　常数项

bxd

adx+bcx=（ad+bc）x一次项

abx2+（ad+bc）x+cd=（ax+c）（bx+d）

16.解：

原式＝（x－2y）（5x＋4y）

x－2y

5x4y

－6xy

二证明题

17．证明：

原式=31998（32－4×3＋10）=31998×7，

∴能被7整除。

18.证明：

=8（82n-7n）+8×7n+7n+2

=8（82n-7n）+7n（49+8）

=8（82n-7n）+57

7n

是57的倍数.

19.证明：

=4x2-12x+9+9y2+30y+25+1

=（2x-3）2+（3y+5）2+1

≥1.

20.解：

∵x2+y2-4x+6y+13=0

∴x2-4x+4+y2+6y+9=0

（x-2）2+（y+3）2=0

（x-2）2≥0,（y+3）2≥0.

x-2=0且y+3=0

x=2,y=-3

三求值。

21.解：

∵a-b=8

∴a=8+b

又ab+c2+16=0

即∴（b+8）b+c2+16=0

即（b+4）2+c2=0

又因为，（b+4）2≥0，C2≥0,

∴b+4=0,c=0,

b=-4,c=0,a=b+8=4

∴a+b+c=0.

22．解：

设它的另一个因式是x2+px+6,则

x4-6x3+mx2+nx+36

=（x2+px+6）（x2+3x+6）

=x4+（p+3）x3+（3p+12）x2+（6p+18）x+36

比较两边的系数得以下方程组：

解得