第2章集合与函数.docx

第2章集合与函数.docx

《第2章集合与函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章集合与函数.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第2章集合与函数

第2章集合与函数

§2—1集合

一、集合的概念

在数学里，我们用集合这个概念来表示由一些指定的事物组成的整体。

集合中的每个事物称为该集合的元素。

通常，事物a是集合M的一个元素，记作a∈M，读作a属于M；事物a不是集合M的一个元素，记作a

M，读作a不属于M。

在数学中，由数字组成的集合称为数集，由方程或不等式的解组成的集合称为解集。

一些常用的数集都有特定的记法，如下表所示：

集合表述

集合名称

集合符号

自然数（即非负整数）的全体

自然数集（非负整数集）

N

正整数的全体

正整数集

N+

整数的全体

整数集

Z

有理数的全体

有理数集

Q

实数的全体

实数集

R

正实数的全体

正实数集

R+

负实数的全体

负实数集

R-

二、集合的表示方法

1、列举法

通过列举集合中的每个元素来表示集合的方法叫做列举法。

如{2，4，6，8}

2、描述法

用特定条件指定集合的元素，从而表示集合的方法叫做描述法。

如{x|x>5}

三、集合与集合的关系

通常，对于集合A和集合B，如果A的任何一个元素都是B的元素，那么两者的关系就是集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作

A

B（或B

A）

例如：

{1,3,5}

{1,2,3,4,5}

集合与集合之间还存在相等的关系。

例如：

{x|x-1=0}={1}

四、区间的概念

我们在实际生活中经常会遇到下列不等式：

a≤x≤ba≤x

a

这些不等式可以对应实数x的四种集合。

这种集合都可用区间的形式来表示，实数a和b称为相应区间的端点。

我们对这四种集合的具体规定如下：

名称

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

集合表示

{a≤x≤b}

{a

{a≤x

{a

区间表示

[a，b]

（a，b）

[a，b）

（a，b]

数轴表示

除上面提到的四种集合外，符合不等式x≥a，x≤b，x>a，x

需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处。

为此，我们规定：

符号“∞”表示无穷大，“+∞”表示正无穷大，“—∞”表示负无穷大。

§2—2函数概念及性质

一、函数的概念

一般地，设x、y是两个变量，当x在某个数集D（即x的取值范围）内取任意一个确定的值，按照某个确定的对应关系f，y都有唯一的值与x对应，那么我们就说x是自变量，y是变量x的函数，数集D是这个函数的定义域。

我们通常将y是x的函数记作

y=f（x），x∈D

当自变量x在定义域中取确定的值a时，它所对应的函数值记作

f（a）

所有函数值组成的集合叫做函数的值域。

如果一个函数的定义域没有被特别指出，那么我们就认为这个函数的定义域是使函数表达式有意义的所有实数组成的集合。

如：

函数y=1/x的定义域是除0以外的所有实数组成的集合。

二、函数的表示方法

表示一个函数的方法有解析法、列表法和图像法。

1、解析法

用代数式来表示两个变量间的关系，这种表示函数的方法叫做解析法。

如：

y=x

2、列表法

所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。

下表是一个例子，它记录了李俊上小学时数学的期末考试成绩。

学期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

成绩

95

90

92

87

83

94

85

83

89

94

95

93

上表中，学期序号和成线是两个变量。

3、图像法

所谓图像法是指用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法。

如下图所示：

三、函数的单调性

观察二次函数y=x2的图像，总结函数值随自变量取值的变化规律。

可得：

1、y轴左侧，自变量越大函数值越小。

2、y轴右侧，自变量越大函数值越大。

我们用数学语言来定义上述现象：

一般地，在函数f（x）定义域内某个给定区间I上，任选两个自变量的取值x1、x2，如果当x2>x1时，总有f（x2）>f（x1），我们就说函数f（x）在区间I上是增函数；如果当x2>x1时，总有f（x2）

如果函数y=f（x）在区间I上是增函数或减函数，那么我们就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y=f（x）的单调区间。

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

下表总结了增函数、减函数的定义和特征：

类型

（区间I上的）增函数

（区间I上的）减函数

条件

当x2>x1时，有f（x2）>f（x1）

当x2>x1时，有f（x2）

图像特征

沿x轴正方向图像上升

沿x轴正方向图像下降

图例

例：

函数y=f（x）的定义域是[—10，10]，下图是它的图像，根据图像指出函数y=f（x）的单调区间，以及在每一个单调区间上函数y=f（x）是增函数还是减函数？

解：

函数y=f（x）的单调区间有：

[—10，—4）、[—4，1）、[—1，2）、[2，8）、[8，10）。

其中函数y=f（x）在区间[—10，—4）、[—1，2）、[8，10）上是减函数；在区间[—4，1）、[2，8）上是增函数。

§2—3反函数

导入：

研究两个变量关系的时候，哪个是自变量，哪个是函数，是由实际问题决定的。

如：

一个圆柱形的玻璃杯，底面积是12平方厘米，杯子的高度是10厘米。

设杯中水的高度为h厘米，水的体积为V立方厘米。

显然，水的体积V变化，水的高度h会随之变化。

在此例中，如果用h表示V的代数式为V=15h。

反过来，可以推出用V表示h的函数关系式

h=V/15

因为V的取值范围为[0，150]。

自然地，我们把函数

h=V/15（V∈[0，150]）

叫做函数V=15h（h∈[0，10]）的反函数。

通常，在函数y=f（x）（x∈D）中，设它的值域为M，我们根据这个函数中、y的关系，用y把x表示出来，得到x=g（y）。

如果x=g（y）（y∈M）也是一个函数，那么就把函数x=g（y）（y∈M）叫做函数y=f（x）（x∈D）的反函数，记作

x=f-1（y）

一般情况下，我们将函数x=f-1（y）改写成

y=f-1（x）

今后我们说函数y=f（x）的反函数是指y=f-1（x）。

如果函数y=f（x）有反函数y=f-1（x），那么函数y=f-1（x）的反函数就是y=f（x），也就是说，函数y=f（x）与函数y=f-1（x）互为反函数。

从反函数的定义可以看出，函数y=f（x）的定义域是它的反函数y=f-1（x）的值域；函数y=f（x）的值域是它的反函数y=f-1（x）的定义域。

例：

求下列函数的反函数：

（1）y=2x—1（x∈R）

（2）

（x≥0）

（3）

（x≠1）

解：

（1）由y=2x—1，解得

。

所以，函数y=2x—1的反函数是

（x∈R）

（2）由

（x≥0），解得

由此推出

所以，函数

（x≥0）的反函数是

（x≥—1）

（3）由函数

（x≠1），解得

所以，函数

（x≠1）的反函数是

（x≠2）

§2—4指数函数

导入：

在生活中经常会遇到呈指数增长或衰减这样的问题，我们以细胞分裂问题为例，引入指数函数概念，研究指数函数的性质。

细胞分裂的个数——某种细胞的分裂规律为：

一个细胞一次分裂成两个细胞。

一个这样的细胞经过x次分裂后，得到y个与它本身相同的细胞，那么细胞个数y与分裂次数x的关系如下：

初始细胞个数是1，此时经过的分裂次数是0，即20=1；

经过第1次分裂后细胞的总数是21=2；

经过第2次分裂后细胞的总数是22=4；

经过第3次分裂后细胞的总数是23=8；

经过第4次分裂后细胞的总数是24=16；

……

经过第x次分裂后细胞的总数是2x个。

如果设细胞总数为y，我们就可得到细胞总数与分裂次数的函数关系y=2x。

一般地，我们把形如

y=ax（a>0，a≠1）

的函数叫做指数函数。

由实数指数幂的运算性质可知：

当a>0时，对于每一个实数x的值，都有唯一确定的实数值ax与它对应。

因此，指数函数y=ax的定义域是实数集R。

下面以底数a=2和a=1/2的两个指数函数为例讨论指数函数的图像和性质：

为便于研究，在同一个平面直角坐标系中用描点画函数y=2x和

的图像。

x

…

-3

-2

-2

-0.5

0

0.5

1

2

3

…

y=2x

…

0.125

0.25

0.5

0.71

1

1.41

2

4

8

…

…

8

4

2

1.41

1

0.71

0.5

0.25

0.125

…

画图如下：

从图像上可以看出，两函数相同的性质有：

1、两个图像都在x轴上方，所以这两个函数的值域都是R+。

2、两个图像都经过点（0，1），可见当x=0时，对这两个函数都有y=1。

两函数也有不同的性质：

函数y=2x的图像沿x增大的方向是上升的，所以它在（—∞，+∞）上是增函数。

函数

的图像沿x增大的方向是下降的，所以它在（—∞，+∞）上是减函数。

一般地，指数函数y=ax（a>0，a≠1）的图像和性质如下：

函数

y=ax，x∈R

a>1

0

图像

性质

（1）定义域是R，值域是正实数集R+

（2）当x=0时，y=1

（3）在（—∞，+∞）内是增函数

（3）在（—∞，+∞）内是减函数

例：

利用指数函数的性质比较下列各题中两个实数的大小：

（1）33.6与32.8

（2）

与

解：

（1）指数函数y=3x是增函数。

因为3.6>2.8，所以

33.6>32.8

（2）指数函数

是减函数。

因为2.5<3，所以

<

§2—4对数函数

导入：

细胞分裂的次数——某种细胞的分裂规律为：

1个细胞1次分裂成2个。

1个细胞经过第1次分裂成2个；经过第2次分裂成为2个；经过第2次分裂成为4个……那么，第几次分裂后恰好出现16个细胞？

第几次分裂后恰好出现128个细胞？

设这样的细胞经过x分裂后，得到的细胞个数是y。

根据上节所述，我们知道，以分裂次数x为自变量就可以得到指数函数

y=2x

显然，只要求出这个函数的反函数，上面的问题就可以解决了。

根据对数的定义，指数函数式y=2x可以写成对数的形式

x=log2y

显然，给定一个y值，由上式可以得到唯一的x值，因此，x=log2y表示的是指数函数y=2x的反函数。

按照习惯，我们用x表示自变量，用y表示函数，这个函数应写成

y=log2x

一般地，函数y=logax（a>0，a≠1）与指数函数y=ax互为反函数。

因为y=ax的值域是（0，+∞），所以函数y=logax的定义域是（0，+∞）；y=ax的定义域是R，所以函数y=logax的值域是R。

我们把函数y=logax（a>0，a≠1）叫做对数函数。

现在我们研究对数函数y=logax（a>0，a≠1）的图像和性质。

由于a的取值范围分成（0，1）和（1，+∞）两部分，所以我们分别以y=log2x和y=log0.5x为例画图。

由于对数函数和指数函数互为反函数，所以借助指数函数的图像以及互为反函数的两个函数图像的关系，就可以得到对数函数的图像。

通过对这两个图像的分析，我们将对数函数y=logax（a>0，a≠1）的图像和性质列于下表中：

函数

y=logax（a>0，a≠1），x>0

a>1

0

图像

性质

（1）定义域是R+，值域是正实数集R

（2）当x=1时，y=0

（3）在（0，+∞）内是增函数

（3）在（0，+∞）内是减函数

例：

指出下列对数函数在区间（0，+∞）内是增函数还是减函数。

（1）y=log3x

（2）y=log1/3x

（3）y=log10x（4）y=log1/10x

解：

（1）因为a=3>1，所以y=log3x在区间（0，+∞）内是增函数。

（2）因为a=1/3<1，所以y=log1/3x在区间（0，+∞）内是减函数。

（3）因为a=10>1，所以y=log10x在区间（0，+∞）内是增函数。

（4）因为a=1/10<1，所以y=log1/10x在区间（0，+∞）内是减函数。

例：

在下列各小题中，比较两个实数的大小：

（1）log34与log35

（2）log1/23与1

解：

（1）对数函数y=log3x是增函数。

因为4<5，所以log34

（2）对数函数y=log1/2x是减函数。

因为1=log1/21/2，3>1/2，所以log1/23<1。