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第1章 集合与常用逻辑用语
第1讲 集合的概念与运算
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 集合与元素
1.集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
2.元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
3.集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
4.常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
考点2 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素相同
A⊆B且B⊆A
⇔A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
∅⊆A
∅B(B≠∅)
考点3 集合的基本运算
并集
交集
补集
图形
符号
A∪B=
{x|x∈A或x∈B}
A∩B=
{x|x∈A
且x∈B}
∁UA=
{x|x∈U
且x∉A}
[必会结论]
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩(∁UA)=∅;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=A.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)集合{x|y=
}与集合{y|y=
}是同一个集合.( )
(2)已知集合A={x|mx=1},B={1,2},且A⊆B,则实数m=1或m=
.( )
(3)M={x|x≤1},N={x|x>ρ},要使M∩N=∅,则ρ所满足的条件是ρ≥1.( )
(4)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中有4个元素.( )
(5)若5∈{1,m+2,m2+4},则m的取值集合为{1,-1,3}.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)× (5)×
2.[2017·北京高考]若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( )
A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}
答案 A
解析 ∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},
∴A∩B={x|-2<x<-1}.故选A.
3.[课本改编]已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|0 A.[-1,4]B.(0,3] C.(-1,0]∪(1,4]D.[-1,0]∪(1,4] 答案 A 解析 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},故A∪B=[-1,4].选A. 4.[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( ) A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅ 答案 A 解析 ∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}. 又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}. 故选A. 5.[2018·重庆模拟]已知集合A={x∈N|πx<16},B={x|x2-5x+4<0},则A∩(∁RB)的真子集的个数为( ) A.1B.3C.4D.7 答案 B 解析 因为A={x∈N|πx<16}={0,1,2},B={x|x2-5x+4<0}={x|1 板块二 典例探究·考向突破 考向 集合的基本概念 例 1 (1)[2017·郑州模拟]已知集合A={x|y= ,x∈Z},B={p-q|p∈A,q∈A},则集合B中元素的个数为( ) A.1B.3C.5D.7 答案 C 解析 由题意知A={-1,0,1},当p=-1,q=-1,0,1时,p-q=0,-1,-2;当p=0,q=-1,0,1时,p-q=1,0,-1;当p=1,q=-1,0,1时,p-q=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知,集合B中的元素为-2,-1,0,1,2,共计5个.选C. (2)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},则a=________. 答案 -1 解析 由A∩B={-3}知,-3∈B. 又a2+1≥1,故只有a-3,a-2可能等于-3. ①当a-3=-3时,a=0,此时A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1,-3}.故a=0舍去. ②当a-2=-3时,a=-1, 此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2}, 满足A∩B={-3},故a=-1. 触类旁通 解决集合概念问题的一般思路 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.本例 (1)集合B中的代表元素为实数p-q. (2)要深刻理解元素的互异性,在解决集合中含有字母的问题时,一定要返回代入验证,防止与集合中元素的互异性相矛盾. 【变式训练1】 (1)[2018·昆明模拟]若集合A={x|x2-9x<0,x∈N*},B= ,则A∩B中元素的个数为________. 答案 3 解析 解不等式x2-9x<0可得0 ∈N*,y∈N*,所以y可以为1,2,4,所以B={1,2,4},所以A∩B=B,A∩B中元素的个数为3. (2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________. 答案 - 解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3, 此时集合A中有重复元素3, 所以m=1不符合题意,舍去; 当2m2+m=3时,解得m=- 或m=1(舍去), 此时当m=- 时,m+2= ≠3符合题意. 所以m=- . 考向 集合间的基本关系 例 2 已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________. 答案 (-∞,-1] 解析 由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1]. 本例中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余不变,该如何求解? 解 当B=∅时,有m+1>2m-1,则m<2. 当B≠∅时, 或 解得m>6.综上可知m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞). 本例中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},又该如何求解? 解 当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1>2m-1,即m<2;当B≠∅时,要使B⊆A,则有 解得2≤m≤4. 综上可知m的取值范围是(-∞,4]. 触类旁通 根据两集合的关系求参数的方法 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 【变式训练2】 设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}. (1)若a= ,试判定集合A与B的关系; (2)若BA,求实数a组成的集合C. 解 (1)由x2-8x+15=0, 得x=3或x=5,∴A={3,5}. 若a= ,由ax-1=0,得 x-1=0,即x=5. ∴B={5}.∴BA. (2)∵A={3,5},又BA, 故若B=∅,则方程ax-1=0无解,有a=0; 若B≠∅,则a≠0,由ax-1=0,得x= . ∴ =3或 =5,即a= 或a= . 故C= . 考向 集合的基本运算 命题角度1 集合的交集及运算 例 3 [2017·山东高考]设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=( ) A.(-1,1)B.(-1,2) C.(0,2)D.(1,2) 答案 C 解析 ∵M={x|0 ∴M∩N={x|0 故选C. 命题角度2 集合的并集及运算 例 4 [2018·武汉模拟]设全集U=R,集合A={x|2x-x2>0},B={y|y=ex+1},则A∪B等于( ) A.{x|x<2}B.{x|1 C.{x|x>1}D.{x|x>0} 答案 D 解析 由2x-x2>0得0 命题角度3 集合的补集及运算 例 5 [2016·浙江高考]已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3]B.(-2,3] C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 答案 B 解析 ∵Q=(-∞,-2]∪[2,+∞),∴∁RQ=(-2,2),∴P∪(∁RQ)=(-2,3].故选B. 命题角度4 抽象集合的运算 例 6 [2018·唐山统一测试]若全集U=R,集合A= ,B={x|2x<1},则下图中阴影部分表示的集合是( ) A.{x|2 C.{x|0≤x<6}D.{x|1≤x≤6} 答案 C 解析 A={x|-1≤x<6},B={x|x<0},A∩(∁UB)={x|0≤x<6}.选C项. 触类旁通 集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. (2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图. 核心规律 解决集合问题,要正确理解有关集合的含义,认清集合元素的属性;再依据元素的不同属性,采用不同的方法对集合进行化简求解,一般的规律为: (1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴来解; (2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若给定的集合是抽象集合,用Venn图求解. 满分策略 1.元素的属性: 描述法表示集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的先决条件. 2.元素的互异性: 在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. 3.空集的特殊性: 在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,要先考虑∅是否成立,以防漏解. 板块三 启智培优·破译高考 创新交汇系列1——集合中的创新性问题 [2018·吉林模拟]设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如: {2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000. (1)若M={2,3,6},则∁UM表示的6位字符串为________; (2)已知A={1,3},B⊆U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是________. 解题视点 考查新定义问题,关键是正确理解题目中的新定义,利用集合间的关系及运算解决问题. 解析 (1)由已知得,∁UM={1,4,5}, 则∁UM表示的6位字符串为100110. (2)由题意可知A∪B={1,3,6}, 而A={1,3},B⊆U, 则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4. 答案 (1)100110 (2)4 答题启示 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: 1紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;2用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 跟踪训练 设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“孤立元”,给定A={1,2,3,4,5},则A的所有子集中,只有一个“孤立元”的集合共有( ) A.10个B.11个C.12个D.13个 答案 D 解析 “孤立元”是1的集合: {1},{1,3,4},{1,4,5},{1,3,4,5}; “孤立元”是2的集合: {2},{2,4,5}; “孤立元”是3的集合: {3}; “孤立元”是4的集合: {4},{1,2,4}; “孤立元”是5的集合: {5},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,5},共有13个.故选D. 板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标] 1.[2017·全国卷Ⅱ]设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( ) A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5} 答案 C 解析 ∵A∩B={1},∴1∈B. ∴1-4+m=0,即m=3. ∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C. 2.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( ) A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N=∅ 答案 C 解析 M={x||x|≤1}=[-1,1],N={y|y=x2,|x|≤1}=[0,1],所以N⊆M.故选C. 3.[2017·山东高考]设函数y= 的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1) 答案 D 解析 ∵4-x2≥0,∴-2≤x≤2,∴A=[-2,2]. ∵1-x>0,∴x<1,∴B=(-∞,1),∴A∩B=[-2,1). 故选D. 4.已知集合A={x|x2≥4},B={m}.若A∪B=A,则m的取值范围是( ) A.(-∞,-2)B.[2,+∞) C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 答案 D 解析 因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得m≥2或m≤-2.故选D. 5.[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( ) A.3B.2C.1D.0 答案 B 解析 集合A表示以原点O为圆心,半径为1的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合. 由图形可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B. 6.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 答案 D 解析 集合B={1,2,3,4},有4个元素,集合A={1,2},则集合C的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题,即22=4. 7.[2018·陕西模拟]设全集U=R,集合A= ,B={x∈Z|x2≤9},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{1,2}B.{0,1,2} C.{x|0≤x<3}D.{x|0≤x≤3} 答案 B 解析 题图中阴影部分表示的是A∩B,因为A= = ={x∈Z|0≤x<3}={0,1,2},B={x∈Z|-3≤x≤3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以A∩B={0,1,2}.故选B. 8.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x 答案 (-1,+∞) 解析 因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1. 9.[2018·郑州模拟]已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B= ,且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5 由A∩B=(-1,n),可知m<1, 则B={x|m 10.设m,n∈R,集合{1,m,m+n}= ,则m-n=________. 答案 -2 解析 ∵{1,m,m+n}= 且m≠0, ∴m+n=0,即m=-n,于是 =-1. ∴由两集合相等,得m=-1,n=1,∴m-n=-2. [B级 知能提升] 1.已知集合A= ,B={-2,-1,1,2},则下列结论正确的是( ) A.A∩B={-2,-1}B.(∁RA)∪B=(-∞,0) C.A∪B=(0,+∞)D.(∁RA)∩B={-2,-1} 答案 D 解析 因为A=(0,+∞),所以A∩B={1,2},(∁RA)∪B={y|y≤0或y=1,2},A∪B={y|y>0或y=-1,-2},(∁RA)∩B={-1,-2}.所以D正确. 2.[2018·湖南模拟]设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( ) A.(-∞,2)B.(-∞,2] C.(2,+∞)D.[2,+∞) 答案 B 解析 集合A讨论后利用数轴可知 或 解得1≤a≤2或a≤1,即a≤2.故选B. 3.已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1 对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与 两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则( ) A.{1,3,4}为“权集”B.{1,2,3,6}为“权集” C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1 答案 B 解析 由于3×4与 均不属于数集{1,3,4},故A不正确;由于1×2,1×3,1×6,2×3, , , , , , 都属于数集{1,2,3,6},故B正确;由“权集”的定义可知 需有意义,故不能有0,同时不一定有1,故C,D错误. 4.已知集合A={x∈R|x2-ax+b=0},B={x∈R|x2+cx+15=0},A∩B={3},A∪B={3,5}. (1)求实数a,b,c的值; (2)设集合P={x∈R|ax2+bx+c≤7},求集合P∩Z. 解 (1)因为A∩B={3},所以3∈B,所以32+3c+15=0,c=-8,所以B={x∈R|x2-8x+15=0}={3,5}. 又因为A∩B={3},A∪B={3,5},所以A={3},所以方程x2-ax+b=0有两个相等的实数根都是3,所以a=6,b=9,所以a=6,b=9,c=-8. (2)不等式ax2+bx+c≤7即6x2+9x-8≤7, 所以2x2+3x-5≤0, 所以- ≤x≤1, 所以P= , 所以P∩Z= ∩Z={-2,-1,0,1}. 5.[2018·南宁段考]已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|x2-3x≤10}. (1)若a=3,求(∁RP)∩Q; (2)若P∪Q=Q,求实数a的取值范围. 解 (1)因为a=3,所以P={x|4≤x≤7}, ∁RP={x|x<4或x>7}. 又Q={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},所以(∁RP)∩Q={x|x<4或x>7}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x<4}. (2)当P≠∅时,由P∪Q=Q得P⊆Q, 所以 解得0≤a≤2; 当P=∅,即2a+1 综上,实数a的取值范围是(-∞,2].
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