八年级数学上册第5章二次根式湘教版.docx
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八年级数学上册第5章二次根式湘教版
八年级数学上册第5章二次根式(湘教版)
第5章 二次根式
1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
了解二次根式的概念.
理解并掌握二次根式的性质:
2=a和a2=a.
自学指导:
阅读教材P155~157,完成下列问题.
知识探究
形如a的式子叫作二次根式,根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是非负实数时,二次根式才在实数范围内有意义.
二次根式的性质:
2=a;a2=|a|=a,-a.
自学反馈
下列各式中,一定是二次根式的是
A.-7
B.3
c.1+x2
D.2x
二次根式应满足两个条件:
,有二次根号“ ”;第二,被开方数是正数或0.
代数式x+1有意义,则x的取值范围是
A.x≥-1
B.x≠1
c.x≥1
D.x≤-1
二次根式有意义的条件是:
被开方数大于等于零.
活动1 小组讨论
例1 当x是怎样的实数时,二次根式x-1在实数范围内有意义?
解:
由x-1≥0,解得x≥1.
因此,当x≥1时,x-1在实数范围内有意义.
例2 计算:
;2.
解:
2=5.
=22×2=4×2=8.
例3 计算:
;2.
解:
2=22=2.
=1.22=1.2.
活动2 跟踪训练
若2=a-3,则a的取值范围是
A.a3
D.a≥3
把下列非负数写成一个非负数的平方的形式:
=2;3.4=2;
=2;x=2.
当x是怎样的实数时,下列二次根式有意义?
-x;5-2x;x2+1.
解:
由-x≥0,得x≤0.因此,当x≤0时,-x有意义.
由5-2x≥0,得x≤52.因此,当x≤52时,5-2x有意义.
由x2+1≥0,得x为任意实数.因此,当x为任意实数时,x2+1都有意义.
计算:
;2;2;-22.
解:
11.6.20.-14.
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获?
第2课时 二次根式的化简
了解最简二次根式的概念.
会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.
自学指导:
阅读教材P157~159,完成下列问题.
知识探究
积的算术平方根的性质:
a•b=a•b.化简二次根式时,可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.
最简二次根式应有如下两个特点:
被开方数中不含开得尽方的因数;被开方数不含分母.
自学反馈
下列各式正确的是
A.×=-4×-9
B.16+94=16×94
c.449=4×49
D.4×9=4×9
运用积的算术平方根的性质a•b=a•b化简时,注意a≥0,b≥0这一条件.
把200化成最简二次根式是102.
活动1 小组讨论
例1 化简下列二次根式:
;20;72;
解:
18=9×2=9×2=32.
0=4×5=4×5=25.
2=8×9=2×22×32=2×32=62.
例2 化简下列二次根式:
;35.
解:
12=1×22×2=2×2=122.
=3×55×5=2×15=1515.
活动2 跟踪训练
下列二次根式中是最简二次根式的是
A.30
B.12
c.8
D.12
实数0.5的算术平方根等于
A.2
B.2
c.22
D.12
化简二次根式2×6得
A.-36
B.36
c.18
D.6
化简下列二次根式:
;45;72;72.
解:
23.35.62.142.
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获?
2 二次根式的乘法和除法
第1课时 二次根式的乘法
会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.
自学指导:
阅读教材P161~162,完成下列问题.
知识探究
积的算术平方根的性质:
a•b=a•b,反过来,a•b=a•b,利用这一公式,可以进行二次根式的乘法运算.
自学反馈
计算:
×7;13×9;9×27.
解:
35.3.93.
这里要用到公式:
a•b=ab;计算9×27时,将27写成9×3,方便开平方.
活动1 小组讨论
例1 计算:
×6;13×72.
解:
3×6=3×6=32×2=32.
3×72=13×72=24=22×6=26.
例2 计算:
3×521;32×.
解:
23×521=2×5×3×21=1032×7=307.
×=3××2×18=-342×18=-92.
例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是37c和7c,求这张长方形图片的面积.
解:
37×7=3×7=212.
答:
这张长方形图片的面积为21c2.
活动2 跟踪训练
计算2×3的结果是
A.5
B.6
c.23
D.32
下列各等式成立的是
A.45×25=85
B.53×42=205
c.43×32=75
D.53×42=206
50•a的值是一个整数,则正整数a的最小值是
A.1 B.2 c.3 D.5
一个直角三角形的两条直角边分别为a=23c,b=36c,那么这个直角三角形的面积为92c2.
计算下列各题:
×5;12×3;12×32;
×27;6×15×10;68×.
解:
15.6.22.614.30.-72.
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获?
第2课时 二次根式的除法
理解商的算术平方根的性质ab=ab,并能运用于二次根式的化简.
能熟练运用二次根式的除法法则ab=ab进行二次根式的除法运算.
自学指导:
阅读教材P163~164,完成下列问题.
知识探究
商的算术平方根的性质:
ba=ba,可以利用它进行二次根式的化简.
二次根式的除法规定:
ba=ba.
自学反馈
下列各式成立的是
A.-3-5=35=35
B.-7-6=-7-6
c.2-9=2-9
D.9+14=9+14=312
计算123÷13的结果正确的是
A.3
B.15
c.5
D.53
化简下列二次根式:
100;0.24;315;11549.
解:
710.65.455.87.
活动1 小组讨论
例1 化简下列二次根式:
16;95.
解:
716=716=74.
5=95=35=3×55×5=355.
例2 计算:
÷3;34256;146.
解:
15÷3=153=153=5.
256=35426=357.
=146=73=7×33×3=213.
例3 电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h与电视节目信号的传播半径r之间满足r=2Rh.现有两座高分别为h1=400,h2=450的电视塔,问它们的传播半径之比等于多少?
解:
设两座电视塔的传播半径分别为r1,r2.
因为r=2Rh,400=0.4,450=0.45,
所以r1r2=2Rh12Rh2=h1h2=0.40.45=4045=21035=223.
活动2 跟踪训练
下列运算正确的是
A.50÷5=10
B.10÷25=22
c.32+42=3+4=7
D.27÷3=3
计算:
123=2.
如果一个三角形的面积为15,一边长为3,那么这边上的高为25.
计算:
0÷5;322;44876;45÷215.
解:
22.4.827.6.
活动3 课堂小结
商的算术平方根的性质.
二次根式的除法法则.
3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加法和减法
理解二次根式的加、减运算法则.
会进行简单的二次根式的加、减运算.
自学指导:
阅读教材P167~168,完成下列问题.
知识探究
在进行二次根式的加减运算时,应先将每个二次根式化简,然后再将被开方数相同的二次根式相加减.
自学反馈
计算:
0-45;28+47;18-32+2;-.
解:
5.1677.0.85+2.
活动1 小组讨论
例1 计算:
-227+18;218-50+1345.
解:
原式=102-63+32=132-63.
原式=62-52+5=2+5.
二次根式的加减与合并同类项类似,进行二次根式的加减运算时,必须先将各个二次根式化简,再合并被开方数相同的二次根式.
例2 如图是某土楼的平面剖面图,它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.022和150.722,求圆环的宽度d.
解:
设大圆和小圆的半径分别为R,r,面积分别为S1,S2,由S1=πR2,S2=πr2可知R=S1π,r=S2π,则
d=R-r
=S1π-S2π
=763.023.14-150.723.14
=243-48
=93-43
=53.
答:
圆环的宽度d为53.
活动2 跟踪训练
下列二次根式中,不能与2合并的是
A.12
B.8
c.24
D.18
下列计算是否正确?
为什么?
-3=8-3;4+9=4+9;
-2=22.
解:
不正确.此式结果为22-3.
不正确.此式结果为5.
正确.
计算:
+18;212+27;80-20+5;
+;-.
解:
52.73.35.102-33.6-3.
活动3 课堂小结
怎样进行二次根式的加减计算?
第2课时 二次根式的混合运算
会正确快速地进行二次根式的混合运算.
自学指导:
阅读教材P169~171,完成下列问题.
知识探究
二次根式的运算顺序:
先算乘方,再算乘除,最后算加减;有括号的先算括号里的,再算括号外面的.
与二次根式相关的乘法公式:
=a-b,2=a+2ab+b,2=a-2ab+b.
自学反馈
计算:
;;×3;8+182.
解:
2=2+25+1=5+25+1=6+25.
=2-32=13-9=4.
×3=12×3-13×3=36-1=6-1=5.
+182=82+182=4+9=2+3=5.
活动1 小组讨论
例1 计算:
×2;.
解:
×2=6×2-38×2=6×2-38×2=23-32=323.
=2-22+2-2×2=2-22+2-2=-2.
例2 计算:
;2.
解:
=2-12=1.
=2-22×3+2=2-22×3+3=5-26.
例3 计算:
÷2;12+3+12-3.
解:
÷2=÷2=52÷2=5.
+3+12-3=2-3+2+3=4=422-2=4.
活动2 跟踪训练
化简8-2的结果是
A.-2
B.2-2
c.2
D.42-2
估计20×15+3的运算结果应在
A.1到2之间
B.2到3之间
c.3到4之间
D.4到5之间
计算:
×3=8.
计算:
;2.
解:
-2.8+215.
计算:
-24-6-3;23÷223×25-110.
解:
原式=6-3-26+6-3=-6.
原式=23×38×25-110=1010-1010=0.
活动3 课堂小结
如何进行二次根式的混合运算?
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