数学实验Mathematic实验七多元函数微分.docx
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数学实验Mathematic实验七多元函数微分
天水师范学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称多元函数微分
所属课程名称数学实验
实验类型微积分实验
实验日期2011.11.2
班级
学号
姓名
成绩
一、实验概述:
【实验目的】
1.掌握用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法,并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法;
2.理解和掌握曲面的切平面的作法;
3.通过作图和观察,理解方向导数、梯度和等高线的概念.
【实验原理】
1.求偏导数命令D.
命令D既可以用于求一元函数的导数,也可以用于求多元函数的偏导数.用于求偏导数时,
若求
对
的偏导数,输入D[f[x,y,z],x]
若求
对
的偏导数,输入D[f[x,y,z],y]
若求
对
的二阶偏导数,输入D[f[X,y,z],{x,2}]
若求
对
的混合偏导数,输入D[f[x,y,z],x,y]
其余类推.
2.求全微分命令Dt.
该命令只用于求二元函数
的全微分时,其形式为
Dt[f[x,y]]
其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y],它们分别表示自变量的微分dx,dy.若函数
的表达式中还含有其他用字符表示的常数,例如a,则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a].若采用选项Constants一>{a},就可以得到正确结果,即只要输入
Dt[f[x,y],Constants一>{a}]
3.在Oxy平面上作二元函数
的等高线命令ContourPlot.
命令ContourPlot的基本形式是
ContourPlot[f[x,y],{x,xl,x2},{y,yl,y2}]
例如输入
ContourPlot[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]
【实验环境】
Mathematic4
二、实验内容:
【实验方案】
1.求多元函数的偏导数与全微分;
2.微分学的几何应用;
3.多元函数的极值;
4.梯度场.
【实验过程】(实验步骤、记录、数据、分析)
1.求多元函数的偏导数与全微分.
例7.1 设
求
.
Clear[z];
z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2;
D[z,x]
D[z,y]
D[z,{x,2}]
D[z,x,y]
例7.2 设
求
和全微分
.
Clear[z];
z=(1+x*y)^y;
D[z,x]
D[z,y]
Dt[z]
例7.3 设
其中
是常数,求
Clear[z,a];
z=(a+x*y)^y;
wf=Dt[z,Constants{a}]//Simplify
wf/.{Dt[x,Constants{a}]dx,Dt[y,Constants{a}]dy}
例7.4 设
求
.
eq1=D[xE^u+u*Sin[v],x,NonConstants{u,v}]
eq2=D[yE^u-u*Cos[v],x,NonConstants{u,v}]
Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants{u,v}],D[v,x,NonConstants{u,v}]}]//Simplify
2.微分学的几何应用.
例7.5 求曲面
在点
处的切平面方程,并把曲面和它的切平面作在同一图形里.
Clear[k,z];
k[x_,y_]=4/(x^2+y^2+1);
kx=D[k[x,y],x]/.{x1/4,y1/2};
ky=D[k[x,y],y]/.{x1/4,y1/2};
z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k[1/4,1/2];
qm=Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotRange->{0,4},BoxRatios{1,1,1},PlotPoints30,DisplayFunctionIdentity];
qpm=Plot3D[z,{x,-2,2},{y,-2,2},DisplayFunctionIdentity];
Show[qm,qpm,DisplayFunction$DisplayFunction]
3.多元函数的极值.
例7.6 求
的极值
Clear[f];
f[x_,y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x;
fx=D[f[x,y],x]
fy=D[f[x,y],y]
critpts=Solve[{fx0,fy0},{x,y}]
fxx=D[f[x,y],{x,2}];
fyy=D[f[x,y],{y,2}];
fxy=D[f[x,y],x,y];
disc=fxx*fyy-fxy^2
data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts;
TableForm[data,TableHeadings{None,{"x","y","disc",""f}}]
d2={x,y}/.critpts;
g4=ListPlot[d2,PlotStylePointSize[0.02],DisplayFunctionIdentity];
g5=ContourPlot[f[x,y],{x,-5,3},{y,-3,5},Contours40,PlotPoints60,ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutomatic,AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity];
Show[g4,g5,DisplayFunction$DisplayFunction]
FindMinimum[f[x,y],{x,-1},{y,1}]
例7.7 求函数
在条件
下的极值.
Clear[f,g,la];
f[x_,y_]=x^2+y^2;
g[x_,y_]=x^2+y^2+x+y-1;
la[x_,y_,r_]=f[x,y]+r*g[x,y];
extpts=Solve[{D[la[x,y,r],x]0,D[la[x,y,r],y]0,D[la[x,y,r],r]0}]
f[x,y]/.extpts//Simplify
dian={x,y}/.Table[extpts[[s,j]],{s,1,2},{j,2,3}]
g1=ListPlot[dian,PlotStylePointSize[0.03],DisplayFunctionIdentity]
cp1=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Contours20,PlotPoints60,ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutomatic,AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity];
cp2=ContourPlot[g[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Contours{0},PlotPoints60,ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutomatic,ContourStyleDashing[{0.01}],AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity];
Show[g1,cp1,cp2,AspectRatio1,DisplayFunction$DisplayFunction]
4.梯度场.
例7.8 设
作出
的图形和等高线,再作出它的梯度向量grad的图形.把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起,观察它们之间的关系.
< Clear[f]; f[x_,y_]=x*Exp[-x^2-y^2]; dgx=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints60,Contours25,ContourShadingFalse,AxesAutomatic,AxesOrigin{0,0}] td=PlotGradientField[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},FrameFalse] Show[dgx,td] 【实验结论】(结果) 1.用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法方便; 2.用Mathematica计算二元函数极值和条件极值的方法新颖; 3.通过作图和观察,理解方向导数、梯度和等高线的概念. 【实验小结】(收获体会) 掌握了用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法,并掌握了计算二元函数极值和条件极值的方法.理解和掌握了曲面的切平面的作法.通过作图和观察,理解方向导数、梯度和等高线的概念. 三、指导教师评语及成绩: 评语 评语等级 优 良 中 及格 不及格 1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强 2.实验方案设计合理 3.实验过程(实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻) 4实验结论正确. 成绩: 指导教师签名: 批阅日期: 附录1: 源程序 实验七多元函数微分 第一题 Clear[z]; z: =E^(y/x); Dt[z] 第二题 eq1=D[xE^u+u*Sin[v],y,NonConstants->{u,v}] eq2=D[yE^u-u*Cos[v],y,NonConstants->{u,v}] Solve[{eq1,eq2},{D[u,y,NonConstants->{u,v}],D[v,y,NonConstants->{u,v}]}]//Simplify 第三题 Clear[z]; z: =f[x*y,y]; D[z,{x,2}] D[z,{y,2}] D[z,x,y] 第四题 Clear[z]; z: =E^(-((x^2+y^2)/8)*(Cos[x]^2+Sin[y]^2)); D[z,x] D[z,y] D[z,x,y] 第五题 Clear[z]; f[x_,y_]=-120x^3-30x^4+18x^5+5x^6+30x*y^2; fx=D[f[x,y],x] fy=D[f[x,y],y] critpts=Solve[{fx0,fy0}] 60xy {{y0,x-3},{y0,x-2},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x2}} 第六题 Clear[f,g,la]; f[x_,y_]=x^2+4*y^3; g[x_,y_]=x^2+4*y^2-1; la[x_,y_,r_]=f[x,y]+r*g[x,y]; extpts=Solve[{D[la[x,y,r],x]0,D[la[x,y,r],y]0,D[la[x,y,r],r]0}] dian={x,y}/.Table[extpts[[s,j]],{s,1,2},{j,2,3}] g1=ListPlot[dian,PlotStylePointSize[0.03], DisplayFunctionIdentity] cp1=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}, Contours20,PlotPoints60,ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutmatic,AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity]; cp2=ContourPlot[g[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}, PlotPoints60,Contours{0}, ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutmatic,ContourStyleDashing[{0.01}],AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity]; Show[g1,cp1,cp2,AspectRatio1,DisplayFunction$DisplayFunction] {{-1,0},{1,0}} Graphics Graphics 第七题 pts=Table[{Random[Real,{-1,1}],Random[Real,{0,1}]},{k,2000}]; ListPlot[pts,PlotStylePointSize[0.005]] Graphics 第八题 Clear[x,y,f]; f[x_]: =Sin[x]/x; j=0;n=1000; Do[{Clear[x,y],x=Random[],y=Random[],If[y Print[N[j/n]] 0.937 附录2: 实验报告填写说明 1.实验项目名称: 要求与实验教学大纲一致。 2.实验目的: 目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。 3.实验原理: 简要说明本实验项目所涉及的理论知识。 4.实验环境: 实验用的软、硬件环境。 5.实验方案(思路、步骤和方法等): 这是实验报告极其重要的内容。 概括整个实验过程。 对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。 对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。 对于创新性实验,应注明其创新点、特色。 6.实验过程(实验中涉及的记录、数据、分析): 写明具体实验方案的具体实施步骤,包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。 7.实验结论(结果): 根据实验过程中得到的结果,做出结论。 8.实验小结: 本次实验心得体会、思考和建议。 9.指导教师评语及成绩: 指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。
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