数学实验Mathematic实验七多元函数微分.docx

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数学实验Mathematic实验七多元函数微分

天水师范学院数学与统计学院

实验报告

实验项目名称多元函数微分

所属课程名称数学实验

实验类型微积分实验

实验日期2011.11.2

班级

学号

姓名

成绩

一、实验概述：

【实验目的】

1.掌握用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法,并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法;

2.理解和掌握曲面的切平面的作法;

3.通过作图和观察,理解方向导数、梯度和等高线的概念.

【实验原理】

1.求偏导数命令D.

命令D既可以用于求一元函数的导数,也可以用于求多元函数的偏导数.用于求偏导数时,

若求

对

的偏导数,输入D[f[x,y,z],x]

若求

对

的偏导数,输入D[f[x,y,z],y]

若求

对

的二阶偏导数,输入D[f[X,y,z],{x,2}]

若求

对

的混合偏导数,输入D[f[x,y,z],x,y]

其余类推.

2.求全微分命令Dt.

该命令只用于求二元函数

的全微分时,其形式为

Dt[f[ｘ,ｙ]]

其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y],它们分别表示自变量的微分dx,dy.若函数

的表达式中还含有其他用字符表示的常数,例如a,则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a].若采用选项Constants一>{a},就可以得到正确结果,即只要输入

Dt[f[ｘ,ｙ],Constants一>{a}]

3.在Oxy平面上作二元函数

的等高线命令ContourPlot.

命令ContourPlot的基本形式是

ContourPlot[f[x,y],{x,xl,x2},{y,yl,y2}]

例如输入

ContourPlot[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]

【实验环境】

Mathematic4

二、实验内容：

【实验方案】

1.求多元函数的偏导数与全微分;

2.微分学的几何应用;

3.多元函数的极值;

4.梯度场.

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）

1.求多元函数的偏导数与全微分.

例7.1　设

求

.

　Clear[z]；

　z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2；

　D[z,x]

　D[z,y]

　D[z,{x,2}]

　D[z,x,y]

例7.2　设

求

和全微分

.

　Clear[z]；

　z=（1+x*y）^y；

　D[z,x]

　D[z,y]

　Dt[z]

例7.3　设

其中

是常数,求

Clear[z,a]；

z=（a+x*y）^y；

wf=Dt[z,Constants{a}]//Simplify

wf/.{Dt[x,Constants{a}]dx,Dt[y,Constants{a}]dy}

例7.4　设

求

.

　eq1=D[xE^u+u*Sin[v],x,NonConstants{u,v}]

　eq2=D[yE^u-u*Cos[v],x,NonConstants{u,v}]

　Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants{u,v}],D[v,x,NonConstants{u,v}]}]//Simplify

2.微分学的几何应用.

例7.5　求曲面

在点

处的切平面方程,并把曲面和它的切平面作在同一图形里.

Clear[k,z]；

k[x_,y_]=4/（x^2+y^2+1）；

kx=D[k[x,y],x]/.{x1/4,y1/2}；

ky=D[k[x,y],y]/.{x1/4,y1/2}；

z=kx*（x-1/4）+ky*（y-1/2）+k[1/4,1/2]；

qm=Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotRange->{0,4},BoxRatios{1,1,1},PlotPoints30,DisplayFunctionIdentity]；

qpm=Plot3D[z,{x,-2,2},{y,-2,2},DisplayFunctionIdentity]；

Show[qm,qpm,DisplayFunction$DisplayFunction]

3.多元函数的极值.

例7.6　求

的极值

　Clear[f]；

　f[x_,y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x；

　fx=D[f[x,y],x]

　fy=D[f[x,y],y]

　critpts=Solve[{fx0,fy0},{x,y}]

　fxx=D[f[x,y],{x,2}]；

　fyy=D[f[x,y],{y,2}]；

fxy=D[f[x,y],x,y]；

disc=fxx*fyy-fxy^2

data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts；

TableForm[data,TableHeadings{None,{"x","y","disc",""f}}]

d2={x,y}/.critpts；

g4=ListPlot[d2,PlotStylePointSize[0.02],DisplayFunctionIdentity]；

g5=ContourPlot[f[x,y],{x,-5,3},{y,-3,5},Contours40,PlotPoints60,ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutomatic,AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity]；

Show[g4,g5,DisplayFunction$DisplayFunction]

FindMinimum[f[x,y],{x,-1},{y,1}]

例7.7　求函数

在条件

下的极值.

Clear[f,g,la]；

f[x_,y_]=x^2+y^2；

g[x_,y_]=x^2+y^2+x+y-1；

la[x_,y_,r_]=f[x,y]+r*g[x,y]；

extpts=Solve[{D[la[x,y,r],x]0,D[la[x,y,r],y]0,D[la[x,y,r],r]0}]

f[x,y]/.extpts//Simplify

dian={x,y}/.Table[extpts[[s,j]],{s,1,2},{j,2,3}]

g1=ListPlot[dian,PlotStylePointSize[0.03],DisplayFunctionIdentity]

cp1=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Contours20,PlotPoints60,ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutomatic,AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity]；

cp2=ContourPlot[g[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Contours{0},PlotPoints60,ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutomatic,ContourStyleDashing[{0.01}],AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity]；

Show[g1,cp1,cp2,AspectRatio1,DisplayFunction$DisplayFunction]

4.梯度场.

例7.8　设

作出

的图形和等高线,再作出它的梯度向量grad的图形.把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起,观察它们之间的关系.

<

Clear[f]；

f[x_,y_]=x*Exp[-x^2-y^2]；

dgx=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints60,Contours25,ContourShadingFalse,AxesAutomatic,AxesOrigin{0,0}]

td=PlotGradientField[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},FrameFalse]

Show[dgx,td]

【实验结论】（结果）

1.用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法方便;

2.用Mathematica计算二元函数极值和条件极值的方法新颖;

3.通过作图和观察，理解方向导数、梯度和等高线的概念.

【实验小结】（收获体会）

掌握了用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法，并掌握了计算二元函数极值和条件极值的方法．理解和掌握了曲面的切平面的作法．通过作图和观察，理解方向导数、梯度和等高线的概念．

三、指导教师评语及成绩：

评语

评语等级

优

良

中

及格

不及格

1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强

2.实验方案设计合理

3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）

4实验结论正确.

成绩：

指导教师签名：

批阅日期：

附录1：

源程序

实验七多元函数微分

第一题

Clear[z];

z:

=E^（y/x）;

Dt[z]

第二题

eq1=D[xE^u+u*Sin[v],y,NonConstants->{u,v}]

eq2=D[yE^u-u*Cos[v],y,NonConstants->{u,v}]

Solve[{eq1,eq2},{D[u,y,NonConstants->{u,v}],D[v,y,NonConstants->{u,v}]}]//Simplify

第三题

Clear[z];

z:

=f[x*y,y];

D[z,{x,2}]

D[z,{y,2}]

D[z,x,y]

第四题

Clear[z];

z:

=E^（-（（x^2+y^2）/8）*（Cos[x]^2+Sin[y]^2））;

D[z,x]

D[z,y]

D[z,x,y]

第五题

Clear[z];

f[x_,y_]=-120x^3-30x^4+18x^5+5x^6+30x*y^2;

fx=D[f[x,y],x]

fy=D[f[x,y],y]

critpts=Solve[{fx0,fy0}]

60xy

{{y0,x-3},{y0,x-2},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x2}}

第六题

Clear[f,g,la];

f[x_,y_]=x^2+4*y^3;

g[x_,y_]=x^2+4*y^2-1;

la[x_,y_,r_]=f[x,y]+r*g[x,y];

extpts=Solve[{D[la[x,y,r],x]0,D[la[x,y,r],y]0,D[la[x,y,r],r]0}]

dian={x,y}/.Table[extpts[[s,j]],{s,1,2},{j,2,3}]

g1=ListPlot[dian,PlotStylePointSize[0.03],

DisplayFunctionIdentity]

cp1=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},

Contours20,PlotPoints60,ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutmatic,AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity];

cp2=ContourPlot[g[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},

PlotPoints60,Contours{0},

ContourShadingFalse,FrameFalse,AxesAutmatic,ContourStyleDashing[{0.01}],AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity];

Show[g1,cp1,cp2,AspectRatio1,DisplayFunction$DisplayFunction]

{{-1,0},{1,0}}

Graphics

Graphics

第七题

pts=Table[{Random[Real,{-1,1}],Random[Real,{0,1}]},{k,2000}];

ListPlot[pts,PlotStylePointSize[0.005]]

Graphics

第八题

Clear[x,y,f];

f[x_]:

=Sin[x]/x;

j=0;n=1000;

Do[{Clear[x,y],x=Random[],y=Random[],If[y

Print[N[j/n]]

0.937

附录2：

实验报告填写说明

1.实验项目名称：

要求与实验教学大纲一致。

2.实验目的：

目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。

3.实验原理：

简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4.实验环境：

实验用的软、硬件环境。

5.实验方案（思路、步骤和方法等）：

这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。

对于创新性实验,应注明其创新点、特色。

6.实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：

写明具体实验方案的具体实施步骤,包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7.实验结论（结果）：

根据实验过程中得到的结果,做出结论。

8.实验小结：

本次实验心得体会、思考和建议。

9.指导教师评语及成绩：

指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。