完整版中考二次函数真题.docx

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完整版中考二次函数真题

二次函数

参考答案与试题解析

一．选择题（共22小题）

1．（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（　　）

A．无实数根B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3

【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．

【解答】解：

（x+1）（x﹣3）=2x﹣5

整理得：

x2﹣2x﹣3=2x﹣5，

则x2﹣4x+2=0，

（x﹣2）2=2，

解得：

x1=2+

＞3，x2=2﹣

，

故有两个正根，且有一根大于3．

故选：

D．

2．（2018•杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．

【解答】解：

假设甲和丙的结论正确，则

，

解得：

，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．

当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，

∴乙的结论不正确；

当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，

∴丁的结论正确．

∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，

∴假设成立．

故选：

B．

3．（2018•潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　）

A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6

【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：

当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．

【解答】解：

当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，

解得：

h1=1，h2=3（舍去）；

当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；

当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，

解得：

h3=4（舍去），h4=6．

综上所述：

h的值为1或6．

故选：

B．

4．（2018•泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）

A．1或﹣2B．

或

C．

D．1

【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．

【解答】解：

∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），

∴对称轴是直线x=﹣

=﹣1，

∵当x≥2时，y随x的增大而增大，

∴a＞0，

∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，

∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，

∴3a2+3a﹣6=0，

∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．

故选：

D．

5．（2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a﹣b+c＜0；

③b2﹣4ac＜0；

④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．

【解答】解：

①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，

∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；

②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；

③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；

④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），

∴A（3，0），

故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．

故选：

B．

6．（2018•连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（　　）

A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同

B．点火后24s火箭落于地面

C．点火后10s的升空高度为139m

D．火箭升空的最大高度为145m

【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．

【解答】解：

A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；

B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；

C、当t=10时h=141m，此选项错误；

D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；

故选：

D．

7．（2018•成都）关于二次函数y=2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）

A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）

B．图象的对称轴在y轴的右侧

C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小

D．y的最小值为﹣3

【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否在成立，从而可以解答本题．

【解答】解：

∵y=2x2+4x﹣1=2（x+1）2﹣3，

∴当x=0时，y=﹣1，故选项A错误，

该函数的对称轴是直线x=﹣1，故选项B错误，

当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，

当x=﹣1时，y取得最小值，此时y=﹣3，故选项D正确，

故选：

D．

8．（2018•凉州区）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：

①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）

A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．

【解答】解：

①∵对称轴在y轴右侧，

∴a、b异号，

∴ab＜0，故正确；

②∵对称轴x=﹣

=1，

∴2a+b=0；故正确；

③∵2a+b=0，

∴b=﹣2a，

∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，

∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；

④根据图示知，当m=1时，有最大值；

当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，

所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．

故正确．

⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．

故错误．

故选：

A．

9．（2018•岳阳）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）

A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）

【分析】根据二次函数的性质y=a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）即可求解．

【解答】解：

抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），

故选：

C．

10．（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．

【解答】解：

由二次函数的图象可知，

a＜0，b＜0，

当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，

∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，

故选：

D．

11．（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．

下列结论：

①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（

，y1），点N（

，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣

＜a＜﹣

．

其中正确结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．

【解答】解：

①由开口可知：

a＜0，

∴对称轴x=

＞0，

∴b＞0，

由抛物线与y轴的交点可知：

c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），

对称轴为x=2，

∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），

∴x=3时，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，故②正确；

③由于

＜2

，

且（

，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（

，y2），

∵

，

∴y1＜y2，故③正确，

④∵

=2，

∴b=﹣4a，

∵x=﹣1，y=0，

∴a﹣b+c=0，

∴c=﹣5a，

∵2＜c＜3，

∴2＜﹣5a＜3，

∴﹣

＜a＜﹣

，故④正确

故选：

C．

12．（2018•青岛）已知一次函数y=

x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出

＜0、c＞0，由此即可得出：

二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣

＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．

【解答】解：

观察函数图象可知：

＜0、c＞0，

∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣

＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．

故选：

A．

13．（2018•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：

①抛物线经过点（1，0）；

②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；

③﹣3＜a+b＜3

其中，正确结论的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

【分析】①由抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1时y＞0，结论①错误；

②过点（0，2）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；

③由当x=1时y＞0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与y轴交于点（0，3）可得出c=3，进而即可得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣1，0）可得出a+b=2a+c，结合a＜0、c=3可得出a+b＜3，综上可得出﹣3＜a+b＜3，结论③正确．此题得解．

【解答】解：

①∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，

∴当x=1时y＞0，结论①错误；

②过点（0，2）作x轴的平行线，如图所示．

∵该直线与抛物线有两个交点，

∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；

③∵当x=1时y=a+b+c＞0，

∴a+b＞﹣c．

∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（0，3），

∴c=3，

∴a+b＞﹣3．

∵当a=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，

∴b=a+c，

∴a+b=2a+c．

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴a+b＜c=3，

∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．

故选：

C．

14．（2018•德州）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．

【解答】解：

A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：

a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；

B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣

＞0，故选项正确；

C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣

＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；

D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．

故选：

B．

15．（2018•威海）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　）

A．abc＜0B．a+c＜bC．b2+8a＞4acD．2a+b＞0

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．

【解答】解：

（A）由图象开口可知：

a＜0

由对称轴可知：

＞0，

∴b＞0，

∴由抛物线与y轴的交点可知：

c＞0，

∴abc＜0，故A正确；

（B）由图象可知：

x=﹣1，y＜0，

∴y=a﹣b+c＜0，

∴a+c＜b，故B正确；

（C）由图象可知：

顶点的纵坐标大于2，

∴

＞2，a＜0，

∴4ac﹣b2＜8a，

∴b2+8a＞4ac，故C正确；

（D）对称轴x=

＜1，a＜0，

∴2a+b＜0，故D错误；

故选：

D．

16．（2018•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：

①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣

；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点可对④进行判断．

【解答】解：

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

而抛物线的对称轴为直线x=﹣

=1，即b=﹣2a，

∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正确；

∵2≤c≤3，

而c=﹣3a，

∴2≤﹣3a≤3，

∴﹣1≤a≤﹣

，所以②正确；

∵抛物线的顶点坐标（1，n），

∴x=1时，二次函数值有最大值n，

∴a+b+c≥am2+bm+c，

即a+b≥am2+bm，所以③正确；

∵抛物线的顶点坐标（1，n），

∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．

故选：

D．

17．（2018•枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　）

A．b2＜4acB．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=0

【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．

【解答】解：

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴ac＜0，所以B选项错误；

∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，

∴﹣

=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；

∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；

故选：

D．

18．（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：

①2a+b+c＞0；

②a﹣b+c＜0；

③x（ax+b）≤a+b；

④a＜﹣1．

其中正确的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．

【解答】解：

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣

=1，

∴b=﹣2a，

∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，

∴当x=﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②正确；

∵x=1时，二次函数有最大值，

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；

∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，

∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，

即9a+3b+c＜﹣3+c，

而b=﹣2a，

∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．

故选：

A．

19．（2018•襄阳）已知二次函数y=x2﹣x+

m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）

A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞2

【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．

【解答】解：

∵二次函数y=x2﹣x+

m﹣1的图象与x轴有交点，

∴△=（﹣1）2﹣4×1×（

m﹣1）≥0，

解得：

m≤5，

故选：

A．

20．（2018•台湾）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：

与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？

（　　）

A．1B．9C．16D．24

【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；

【解答】解：

如图，

由题意A（1，﹣2），C（2，﹣2），

分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，

∴a+b=1，

故选：

A．

21．（2018•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（　　）

A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）

【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．

【解答】解：

∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，

∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），

∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．

将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．

当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，

∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．

故选：

B．

22．（2018•安顺）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：

①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，

其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；

②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；

③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；

④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，

【解答】解：

①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；

②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；

③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0

（1）

当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0

（2）

（1）+

（2）×2得：

6a+3c＜0，

即2a+c＜0

又∵a＜0，

∴a+（2a+c）=3a+c＜0．

故③错误；

④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，

∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，

即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，

∴（a+c）2＜b2，

故④正确．

综上所述，正确的结论有2个．

故选：

B．