单科标准练2.docx
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单科标准练2
单科标准练
(二)
(满分:
150分 时间:
120分钟)
(对应学生用书第148页)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合M={x|x<2},N={x|x2-x<0},则下列关系中正确的是( )
A.M∪N=RB.M∪(∁RN)=R
C.N∪(∁RM)=RD.M∩N=M
B [N={x|0<x<1},∴M∪N={x|x<2},∁RN={x|x≤0,或x≥1},M∪(∁RN)=R.故选B.]
2.已知i为虚数单位,实数x,y满足(x+2i)i=y-i,则|x-yi|=( )
A.1B.
C.
D.
D [∵(x+2i)i=y-i,∴-2+xi=y-i,∴
,则|x-yi|=|-1+2i|=
.故选D.]
3.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点E满足
=2
,则
·
的值为( )
A.1B.3
C.
D.
A [由四边形ABCD为矩形,由数量积几何意义知:
·
=(
)2=1.故选A.]
4.函数f(x)=
x2-xsinx的大致图象可能是( )
A B
C D
C [由f(-x)=f(x),x∈R,得函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.又f
=
×
-
×
=
×
×
<0,因此结合各选项知C正确,故选C.]
5.甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车,汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车,丁说:
“甲买的是奇瑞,乙买的不是奇瑞,丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个,则甲、乙所买汽车的品牌分别是( )
A.吉利,奇瑞B.吉利,传祺
C.奇瑞,吉利D.奇瑞,传祺
A [因为丁的猜测只对了一个,所以“甲买的是奇瑞,乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞,乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞,乙买的是奇瑞”是正确的,这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾,“丙买的不是吉利”是正确的,所以乙买的是奇瑞,甲买的是吉利,选A.]
6.如图1,网格纸上小正方形的边长为1,粗线或虚线画出某几何体的三视图,该几何体的体积为( )
图1
A.8B.12
C.18D.24
B [由题意得,根据给定的三视图可知,该几何体为如图所示的几何体,是一个三棱锥与三棱柱的组合体,其中三棱锥的体积为V1=
×
×4×3×2=4,三棱柱的体积为V2=2V1=2×4=8,所以该几何体的体积为V=12,故选B.]
7.甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是( )
A.
B.
C.
D.
D [由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有C
A
=18个,甲不跑第一棒,乙不跑第二棒的基本事件有C
A
-A
A
=14.由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是P=
=
.故选D.]
8.已知实数x,y满足约束条件
,则z=
的取值范围为( )
A.
B.
C.
∪
D.
∪
C [作出的可行域为三角形(图略),把z=
改写为
=
,所以
可看作点(x,y)和(5,0)之间的斜率,记为k,则-
≤k≤
,
所以z∈-∞,-
∪
,+∞.]
9.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:
“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?
”用程序框图表达如图2所示,即最终输出的x=0,则一开始输入x的值为( )
图2
A.
B.
C.
D.
C [i=1,
(1)x=2x-1,i=2,
(2)x=2(2x-1)-1=4x-3,i=3,
(3)x=2(4x-3)-1=8x-7,i=4,
(4)x=2(8x-7)-1=16x-15,i=5,
所以输出16x-15=0,得x=
,故选C.]
10.若双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被抛物线y=4x2所截得的弦长为
,则双曲线C的离心率为( )
A.
B.1
C.2D.4
C [双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程不妨设为bx+ay=0,与抛物线方程联立,
,消去y,得4ax2+bx=0,所以
,所以所截得的弦长为
=
,化简可得
=
,bc=2
a2,(c2-a2)c2=12a4,e4-e2-12=0,得e2=4或-3(舍),所以双曲线C的离心率e=2.]
11.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的最小正周期为π,且f(x)≤f
,则下列说法不正确的是( )
A.f(x)的一个零点为-
B.f(x)的一条对称轴为x=
C.f(x)在区间
上单调递增
D.f
是偶函数
C [由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,
得
=π,则ω=2.又f(x)≤f
,
∴f(x)max=f
,即2×
+φ=
+2kπ(k∈Z),
得φ=
+2kπ,k∈Z.
故f(x)=sin
=sin
.
∵f
=0,∴f(x)的一个零点为-
,故A项正确;
∵f
=1,∴f(x)的一个对称轴为x=
,故B项正确;
当x∈
时,2x+
∈
,
∴f(x)在区间
上单调递减,故C项错误;
∵f
=sin
=sin
=cos2x,
∴f
是偶函数,故D项正确.故选C.]
12.已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B,以线段AB为直径的圆E上存在点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t),则实数t的取值范围为( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)
B.[-1,3]
C.(-∞,2-
]∪[2+
,+∞)
D.[2-
,2+
]
D [由题意可得直线AB的方程为x=y+1,与y2=4x联立消去x,可得y2-4y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4,设E(xE,yE),则yE=
=2,xE=yE+1=3,又|AB|=x1+x2+2=y1+1+y2+1+2=8,所以圆E是以(3,2)为圆心,4为半径的圆,所以点D恒在圆E外.圆E上存在点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t),即圆E上存在点P,Q,使得DP⊥DQ,设过D点的两直线分别切圆E于P′,Q′点,要满足题意,则∠P′DQ′≥
,
所以
=
≥
,整理得t2-4t-3≤0,解得2-
≤t≤2+
,故实数t的取值范围为[2-
,2+
],故选D.]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.(2-x)(x-1)4的展开式中,x2的系数是__________.
16 [(x-1)4的展开式中,T3=C
x2(-1)2,T2=C
x1(-1)3,故x,x2的系数分别为-4,6,从而(2-x)(x-1)4的展开式中x2的系数为2×6+(-1)(-4)=16.]
14.奇函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,f(3)=2,则f
(1)=__________.
2 [由题设得f(-x)=-f(x),f(2-x)+f(x)=0,
从而有f(2-x)=f(x),f(x)为周期函数且周期为2,所以f
(1)=f(3)=2.]
15.已知圆锥的高为3,侧面积为20π,若此圆锥内有一个体积为V的球,则V的最大值为________.
[设圆锥的母线长l,底面的半径为r,则πrl=20π,即rl=20,又l2-r2=9,解得l=5,r=4.
当球的体积最大时,该球为圆锥的内切球,设内切球的半径为R,则
(5+5+8)×R=
×3×8,故R=
,所以Vmax=
π
3=
π.]
16.已知a,b,c是锐角△ABC的内角A,B,C所对的边,b=
,且满足
cosB=cosA,则a+c的取值范围是________.
[∵
cosB=cosA,∴由正弦定理得
(2sinC-sinA)cosB-sinBcosA=0,
即sinC(2cosB-1)=0,
∵sinC≠0,∴cosB=
.
∵B为△ABC的内角,∴B=
.
∵b=
,∴
=
=
=2,
∴a+c=2sinA+2sinC=2sin
+2sinC
=2
sin
,
∵△ABC是锐角三角形,∴
<C<
,∴
<C+
<
,
∴a+c的取值范围为
.]
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{an}满足a
=3a
+2anan+1,且a2+a4=3(a3+3),其中n∈N*.
(1)证明:
数列{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
[解]
(1)由a
=3a
+2anan+1,
得a
-2anan+1-3a
=0,
即(an+1+an)(an+1-3an)=0,
由已知an>0,得an+1+an≠0,
所以an+1=3an.
所以数列{an}是公比为3的等比数列.
由a2+a4=3(a3+3),得3a1+27a1=3(9a1+3),
解得a1=3,
所以an=3n.
(2)由
(1)知,bn=nan=n·3n,
则Sn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn
=3+2×32+3×33+…+(n-1)·3n-1+n·3n,①
3Sn=32+2×33+3×34+…+(n-1)·3n+n·3n+1,②
①-②得-2Sn=3+32+33+…+3n-n·3n+1
=
-n·3n+1=
·3n+1-
.
所以Sn=
·3n+1+
.
18.(本小题满分12分)如图3
(1),在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=2
,BC=4,AD=6,E是AD上的点,AE=
AD,P为BE的中点,将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,使得A1C=4,如图3
(2).
(1)
(2)
图3
(1)求证:
平面A1CP⊥平面A1BE;
(2)求二面角BA1PD的余弦值.
[解]
(1)证明:
∵在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,
AB=2
,BC=4,AD=6,E是AD上的点,AE=
AD,
∴BE=4,∠ABE=30°,∠EBC=60°,BP=2,
∴BP2+PC2=BC2,∴BP⊥PC,
∵A1P=AP=2,A1C=4,
∴A1P2+PC2=A1C2,∴PC⊥A1P,
∵BP∩A1P=P,∴PC⊥平面A1BE,
∵PC⊂平面A1CP,∴平面A1CP⊥平面A1BE,
(2)以P为原点,PB为x轴,PC为y轴,过P作平面BCDE的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(2,0,0),A1(-1,0,
),P(0,0,0),D(-4,2
,0),所以
=(2,0,0),
=(-1,0,
),
=(-4,2
,0).
设平面A1PD的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=2
,得n=(2
,4,2),
平面A1PB的法向量n=(0,1,0),
设二面角BA1PD的平面角为θ,
则cosθ=-
=-
=-
.
∴二面角BA1PD的余弦值为-
.
19.(本小题满分12分)某厂生产不同规格的一种
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