届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编解析版第15章 坐标系与参数方程.docx
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届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编解析版第15章坐标系与参数方程
第十五章 坐标系与参数方程
命题探究
(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离d=.
当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=-16.
综上,a=8或a=-16
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.坐标系与极坐标
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线性质
掌握
2017课标全国Ⅱ,22;
2016课标全国Ⅱ,23;
2015课标Ⅰ,23;2015湖南,12;
2014安徽,4
解答题
★★★
2.参数方程
了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质
掌握
2017课标全国Ⅲ,22;2017江苏,21C;
2016课标全国Ⅲ,23
2015陕西,23;2014课标Ⅰ,23;
2014北京,3
解答题
★★★
分析解读 坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.
五年高考
考点一 坐标系与极坐标
1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 .
答案 1
2.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 .
答案 2
3.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解析
(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cosα·=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
解析
(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)
(2)在
(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.(6分)
|AB|=|ρ1-ρ2|==.(8分)
由|AB|=得cos2α=,tanα=±.(9分)
所以l的斜率为或-.(10分)
5.(2015课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线C1:
x=-2,圆C2:
(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解析
(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(5分)
(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)
教师用书专用(6—21)
6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.B.2
C.D.2
答案 D
7.(2014江西,11
(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
答案 A
8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1
答案 B
9.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcosθ-ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|= .
答案 2
10.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为 .
答案 x2+y2-2y=0
11.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为 .
答案 (2,-4)
12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:
(α为参数)交于A,B两点,且
|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .
答案 ρcos=1
13.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= .
答案
14.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 .
答案 (1,1)
15.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 .
答案 3
16.(2013北京,9,5分)在极坐标系中,点到直线ρsinθ=2的距离等于 .
答案 1
17.(2013湖北,16,5分)(选修4—4:
坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为 .
答案
18.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 .
答案 ρcosθ+ρsinθ=2
19.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:
2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析
(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得
由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.
故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,
即ρ=.
20.(2013课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解析
(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:
x2+y2-8x-10y+16=0.
将代入x2+y2-8x-10y+16=0得
ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
21.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
解析
(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)
注:
极坐标系下点的表示不唯一.
(2)由
(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
由参数方程可得y=x-+1,所以
解得a=-1,b=2.(10分)
考点二 参数方程
1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
解析 直线l的普通方程为x-2y+8=0.
因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),
从而点P到直线l的距离d==.
当s=时,dmin=.
因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.
2.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解析
(1)C1的普通方程为+y2=1.
C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cosα,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.(8分)
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)
3.(2015陕西,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
解析
(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,
从而有x2+y2=2y,
所以x2+(y-)2=3.
(2)设P,又C(0,),
则|PC|==,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,P点的直角坐标为(3,0).
4.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线C:
+=1,直线l:
(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解析
(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为
d=|4cosθ+3sinθ-6|.
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,
其中α为锐角,且tanα=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
5.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:
(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解析
(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).
M的轨迹的参数方程为
(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
教师用书专用(6—13)
6.(2014北京,3,5分)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上
答案 B
7.(2014湖北,16,5分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为 .
答案 (,1)
8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:
(t为参数)过椭圆C:
(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为 .
答案 3
9.(2013陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为 .
答案 (θ为参数)
10.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
解析 椭圆C的普通方程为x2+=1.
将直线l的参数方程代入x2+=1,得
+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.
所以AB=|t1-t2|=.
11.(2014福建,21
(2),7分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
解析
(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,
圆C的普通方程为x2+y2=16.
(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.
12.(2014江苏,21C,10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.
解析 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-8.
所以AB=|t1-t2|=8.
13.(2013福建,21
(2),7分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解析
(1)由点A在直线ρcos=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2,
从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,
因为圆心C到直线l的距离d==<1,
所以直线l与圆C相交.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 坐标系与极坐标
1.(2018四川南充模拟,22)在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,圆C的圆心是C,半径为1,求:
(1)圆C的极坐标方程;
(2)直线l被圆C所截得的弦长.
解析
(1)因为圆C的圆心是C,半径为1,
所以转化成直角坐标为C,半径为1,
所以圆的方程为+=1,
转化成极坐标方程为ρ2-ρcosθ-ρsinθ=0.
(2)已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,
所以ρ=1,
即x+y-=0.
直线l的方程为x+y-=0,圆心C满足直线的方程,所以直线经过圆心,
所以直线l被圆C所截得的弦为圆的直径.
由于圆的半径为1,所以所截得的弦长为2.
2.(2018四川德阳模拟,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程;
(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=-与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积.
解析
(1)曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.
转化为直角坐标方程为x2+y2=4x.
直线l的参数方程为(t为参数),
转化为直角坐标方程为y=x-m.
(2)当m=0时,A,B,
所以S△AOB=×2×2sin=+1.
3.(2017安徽合肥二模,22)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)求出圆C的直角坐标方程;
(2)已知圆C与x轴交于A,B两点,直线l:
y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l',若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.
解析
(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,故x2+y2-4x=0,即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)l:
y=2x关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+2m,易知AB为圆C的直径,故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,故≤2,于是,实数m的最大值为-2.
4.(人教A选4—4,一,1-3,5,变式)在极坐标系中,曲线C:
ρ=4acosθ(a>0),直线l:
ρcos=4,C与l有且只有一个公共点.
(1)求a的值;
(2)若O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.
解析
(1)曲线C的直角坐标方程为(x-2a)2+y2=4a2(a>0),曲线C表示以(2a,0)为圆心,2a为半径的圆.
l的直角坐标方程为x+y-8=0.
由题意知直线l与圆C相切,则=2a,解得a=(舍负).
(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=cosθ+cos=8cosθ-sinθ=cos,
所以当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值,为.
考点二 参数方程
5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:
(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,l与C相交于A、B两点.
(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;
(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.
解析
(1)直线l的参数方程为(t为参数),
转化为直角坐标方程为x-y-1=0.
曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,
转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.
(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4t+2=0,A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,
则|MA|·|MB|=|t1·t2|=2.
6.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=asinθ(a≠0).
(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;
(2)设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,求a的值.
解析
(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0.
由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ(a≠0),可得ρ2=aρsinθ,根据ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,
可得圆C的直角坐标方程为x2+y2-ay=0,
即x2+=.
(2)由
(1)可知圆C的圆心为,半径r=,
直线方程为4x+3y-8=0,
圆心到直线l的距离d==,
直线l截圆C的弦长为=2,
解得a=32或a=,
故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时,a的值为32或.
7.(2017河北石家庄二中3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别是(t是参数)和(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;
(2)射线OM:
θ=α与曲线C1的交点为O,P,与曲线C2的交点为O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值.
解析
(1)C1的普通方程为y2=4x,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(2)由
(1)可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得:
ρ=,即OP=,同理可得OQ=2sinα.
所以|OP|·|OQ|==,令f(α)=,易知f(α)在α∈上单调递减,所以(|OP|·|OQ|)max==8.
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:
40分 时间:
35分钟)
解答题(共40分)
1.(2018
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- 届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编解析版第15章 坐标系与参数方程 届高三 理科 数学 年高 三年 模拟 分类 汇编 解析 15 坐标系 参数 方程