数三真题标准答案及解析.docx
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数三真题标准答案及解析
2006年考研数学(三)真题
一、填空题:
1-6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
(1)
(2)设函数在的某邻域内可导,且,,则
(3)设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分
(4)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则.
(5)设随机变量相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则_______.
(6)设总体的概率密度为为总体的简单随机样本,其样本方差为,则
二、选择题:
7-14小题,每小题4分,共32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则
(A).(B).
(C).(D).[]
(8)设函数在处连续,且,则
(A)存在(B)存在
(C)存在(D)存在[]
(9)若级数收敛,则级数
(A)收敛.(B)收敛.
(C)收敛.(D)收敛.[]
(10)设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数,则该方程的通解是
(A).(B).
(C).(D)[]
(11)设均为可微函数,且,已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若,则.
(B)若,则.
(C)若,则.
(D)若,则.[]
(12)设均为维列向量,为矩阵,下列选项正确的是
(A)若线性相关,则线性相关.
(B)若线性相关,则线性无关.
(C)若线性无关,则线性相关.
(D)若线性无关,则线性无关.[]
(13)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的倍加到第2列得,记,则
(A).(B).
(C).(D).[]
(14)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且
则必有
(A)(B)
(C)(D)[]
三、解答题:
15-23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分7分)
设,求
(Ⅰ);
(Ⅱ).
(16)(本题满分7分)
计算二重积分,其中是由直线所围成的平面区域.
(17)(本题满分10分)
证明:
当时,
.
(18)(本题满分8分)
在坐标平面上,连续曲线过点,其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于(常数).
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值.
(19)(本题满分10分)
求幂级数的收敛域及和函数.
(20)(本题满分13分)
设4维向量组,问为何值时线性相关?
当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
(21)(本题满分13分)
设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.
(Ⅰ)求的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得;
(Ⅲ)求及,其中为3阶单位矩阵.
(22)(本题满分13分)
设随机变量的概率密度为
,
令为二维随机变量的分布函数.
(Ⅰ)求的概率密度;
(Ⅱ);
(Ⅲ).
(23)(本题满分13分)
设总体的概率密度为
其中是未知参数,为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于1的个数.
(Ⅰ)求的矩估计;
(Ⅱ)求的最大似然估计
2006年考研数学(三)真题解析
二、填空题:
1-6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
(1)
【分析】将其对数恒等化求解.
【详解】,
而数列有界,,所以.
故.
(2)设函数在的某邻域内可导,且,,则
【分析】利用复合函数求导即可.
【详解】由题设知,,两边对求导得
,
两边再对求导得,又,
故.
(3)设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.
【详解】方法一:
因为,
,
所以.
方法二:
对微分得
,
故.
(4)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则2.
【分析】将矩阵方程改写为的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】由题设,有
于是有,而,所以.
(5)设随机变量相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则
.
【分析】利用的独立性及分布计算.
【详解】由题设知,具有相同的概率密度
.
则
.
【评注】本题属几何概型,也可如下计算,如下图:
则.
(6)设总体的概率密度为为总体的简单随机样本,其样本方差为,则
【分析】利用样本方差的性质即可.
【详解】因为
,
,
所以,又因是的无偏估计量,
所以.
二、选择题:
7-14小题,每小题4分,共32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则
(A).(B).
(C).(D).[A]
【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.
【详解】由知,函数单调增加,曲线凹向,作函数的图形如右图所示,显然当时,
,故应选(A).
(8)设函数在处连续,且,则
(A)存在(B)存在
(C)存在(D)存在[C]
【分析】从入手计算,利用导数的左右导数定义判定的存在性.
【详解】由知,.又因为在处连续,则
.
令,则.
所以存在,故本题选(C).
(9)若级数收敛,则级数
(A)收敛.(B)收敛.
(C)收敛.(D)收敛.[D]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.
【详解】由收敛知收敛,所以级数收敛,故应选(D).
或利用排除法:
取,则可排除选项(A),(B);
取,则可排除选项(C).故(D)项正确.
(10)设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数,则该方程的通解是
(A).(B).
(C).(D)[B]
【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解,所以它的通解是,故原方程的通解为
,故应选(B).
【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:
.
其中是所给一阶线性微分方程的特解,是对应齐次微分方程的通解.
(11)设均为可微函数,且,已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若,则.
(B)若,则.
(C)若,则.
(D)若,则.[D]
【分析】利用拉格朗日函数在(是对应的参数的值)取到极值的必要条件即可.
【详解】作拉格朗日函数,并记对应的参数的值为,则
,即.
消去,得
整理得.(因为),
若,则.故选(D).
(12)设均为维列向量,为矩阵,下列选项正确的是
(C)若线性相关,则线性相关.
(D)若线性相关,则线性无关.
(C)若线性无关,则线性相关.
(D)若线性无关,则线性无关.[A]
【分析】本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定.
【详解】记,则.
所以,若向量组线性相关,则,从而,向量组也线性相关,故应选(A).
(13)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的倍加到第2列得,记,则
(A).(B).
(C).(D).[B]
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】由题设可得
,
而,则有.故应选(B).
(14)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且
则必有
(B)(B)
(C)(D)[A]
【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.
【详解】由题设可得
,
则,即.
其中是标准正态分布的分布函数.
又是单调不减函数,则,即.
故选(A).
三、解答题:
15-23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分7分)
设,求
(Ⅰ);
(Ⅱ).
【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将作为常量求解,此问中含型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含未定式极限.
【详解】(Ⅰ)
.
(Ⅱ)(通分)
(16)(本题满分7分)
计算二重积分,其中是由直线所围成的平面区域.
【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可.
【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数,“先后”积分较容易,所以
(17)(本题满分10分)
证明:
当时,
.
【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.
【详解】令,
则,且.
又,(),
故当时,单调减少,即,则单调增加,于是,即
.
(18)(本题满分8分)
在坐标平面上,连续曲线过点,其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于(常数).
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值.
【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数.
【详解】(Ⅰ)设曲线的方程为,则由题设可得
,这是一阶线性微分方程,其中,代入通解公式得
,
又,所以.
故曲线的方程为.
(Ⅱ)与直线()所围成平面图形如右图所示.所以
,
故.
(19)(本题满分10分)
求幂级数的收敛域及和函数.
【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.
【详解】记,则
.
所以当时,所给幂级数收敛;当时,所给幂级数发散;
当时,所给幂级数为,均收敛,
故所给幂级数的收敛域为
在内,,
而,
所以,又,
于是.同理
,
又,所以.
故..
由于所给幂级数在处都收敛,且在处都连续,所以在成立,即
,.
(20)(本题满分13分)
设4维向量组,问为何值时线性相关?
当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数;用初等变换求极大线性无关组.
【详解】记以为列向量的矩阵为,则
.
于是当时,线性相关.
当时,显然是一个极大线性无关组,且;
当时,
,
由于此时有三阶非零行列式,所以为极大线性无关组,且.
(21)(本题满分13分)
设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.
(Ⅰ)求的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得;
(Ⅲ)求及,其中为3阶单位矩阵.
【分析】由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵;由可得到和.
【详解】(Ⅰ)因为矩阵的各行元素之和均为3,所以
,
则由特征值和特征向量的定义知,是矩阵的特征值,是对应的特征向量.对应的全部特征向量为,其中为不为零的常数.
又由题设知,即,而且线性无关,所以是矩阵的二重特征值,是其对应的特征向量,对应的全部特征向量为,其中为不全为零的常数.
(Ⅱ)因为是实对称矩阵,所以与正交,所以只需将正交.
取,
.
再将单位化,得
,
令,
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