高中数学导数知识点归纳总结及例题.docx
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高中数学导数知识点归纳总结及例题
导数
考试知识要点
1.导数(导函数的简称)的定义:
设x0是函数yf(x)定义域的一点,如果自变量x在x0处有增量x,则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0);比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率;如果极限xx
f(x0x)f(x0)y存在,则称函数yf(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做limx0xx0xlim
记作f’(x0)或y’|xx0,即f’(x0)=limyf(x)在x0处的导数,f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x
注:
①x是增量,我们也称为“改变量”,因为x可正,可负,但不为零.
②以知函数yf(x)定义域为A,yf’(x)的定义域为B,则A与B关系为AB.
2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系:
⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.
可以证明,如果yf(x)在点x0处可导,那么yf(x)点x0处连续.
事实上,令xx0x,则xx0相当于x0.
1
于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]xx0x0x0
lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f’(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx
y|x|,当x>0时,xx⑵如果yf(x)点x0处连续,那么yf(x)在点x0处可导,是不成立的.例:
f(x)|x|在点x00处连续,但在点x00处不可导,因为
yyy不存在.1;当x<0时,1,故limx0xxx
注:
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3.导数的几何意义:
函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率,也就是说,曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f’(x0),切线方程为yy0f’(x)(xx0).
4.求导数的四则运算法则:
(uv)’u’v’yf1(x)f2(x)...fn(x)y’f1’(x)f2’(x)...fn’(x)
(uv)’vu’v’u(cv)’c’vcv’cv’(c为常数)
vu’v’uu(v0)2vv’
注:
①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如:
设f(x)2sinx22,g(x)cosx,则f(x),g(x)在x0处均不可导,但它们和xx
f(x)g(x)sinxcosx在x0处均可导.
5.复合函数的求导法则:
fx’((x))f’(u)’(x)或y’xy’uu’x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6.函数单调性:
⑴函数单调性的判定方法:
设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f’(x)>0,则yf(x)为增函数;如果f’(x)<0,则yf(x)为减函数.
⑵常数的判定方法;
如果函数yf(x)在区间I内恒有f’(x)=0,则yf(x)为常数.
注:
①f(x)0是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0,有一个点例外即x=0时f(x)=0,同样f(x)0是f(x)递减的充分非必
2
要条件.
②一般地,如果f(x)在某区间(sinx)cosx(arcsinx)’1
x2
(xn)’nxn1(nR)(cosx)’sinx(arccosx)’1
x21’11’(arctanx)II.(lnx)(logax)logaexxx21’
(ex)’ex(ax)’axlna(arccotx)’
III.求导的常见方法:
①常用结论:
(ln|x|)’1x21(xa1)(xa2)...(xan)1.②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y两(xb1)(xb2)...(xbn)x
边同取自然对数,可转化求代数和形式.
③无理函数或形如yxx这类函数,如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx,对两边y’1lnxxy’ylnxyy’xxlnxxx.求导可得yx
3
导数中的切线问题
例题1:
已知切点,求曲线的切线方程
曲线yx33x21在点(1,1)处的切线方程为()
例题2:
已知斜率,求曲线的切线方程
与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程是()
注意:
此题所给的曲线是抛物线,故也可利用法加以解决,即设切线方程为y2xb,代入yx2,得x22xb0,又因为0,得b1,故选D.
例题3:
已知过曲线上一点,求切线方程
过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.求过曲线yx32x上的点(1,1)的切线方程.
例题4:
已知过曲线外一点,求切线方程
1求过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程.x
4
练习题:
已知函数yx33x,过点A(016),作曲线yf(x)的切线,求此切线方程.看看几个高考题
1.(2009全国卷Ⅱ)曲线yx在点1,1处的切线方程为2x1
22.(2010江西卷)设函数f(x)g(x)x,曲线yg(x)在点(1,g
(1))处的切线方程为
y2x1,则曲线yf(x)在点(1,f
(1))处切线的斜率为
3.(2009宁夏海南卷)曲线yxe2x1在点(0,1)处的切线方程为。
4.(2009浙江)(本题满分15分)已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR).(I)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值;
5.(2009北京)(本小题共14分)
设函数f(x)x3axb(a0).
(Ⅰ)若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切,求a,b的值;
332x
.1函数的单调性和导数
1.利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地,设函数yf(x)在某个区间可导,
如果在这个区间内f(x)0,则yf(x)为这个区间内的;
如果在这个区间内f(x)0,则yf(x)为这个区间内的
2.利用导数确定函数的单调性的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求出函数的导数;
(3)解不等式f(x)>0,得函数的单调递增区间;
解不等式f(x)<0,得函数的单调递减区间.
5
‘‘
【例题讲解】
a)
b)确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间
(2)y=3x-x3
2.已知函数f(x)xlnx,则()
A.在(0,)上递增B.在(0,)上递减求证:
yx1在(,0)上是增函数。
3
11
ee
323.函数f(x)x3x5的单调递增区间是_____________.C.在0,上递增D.在0,上递减
6
函数图象及其导函数图象3
1.函数yf(x)在定义域(,3)2.函数f(x)的定义域为开区间(
/
/
3
3),导函数2
yf(x)
3
f(x)在(,3))
2
5.函数yf(x)的图象过原点且它的导函数f’(x)的图象是如图所示的一
条直线,则yf(x)图象的顶点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2007年广东佛山)设f(x)是函数f(x)的导函数,y
f(x)象如右图所示,则yf(x)的图象最有可能的是()
yf(x)
A
B
7.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下左图所示,则导函数y=f
(
x)的图象可能
为()
7
8.(安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科)函数yf(x)的图像如下右图
所示,则yf(x)的图像可能是
(
)
9.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已
(x)ax2bxc的图象如右图,则知函数f(x)的导函数ff(x)的图象可能是()
10.(2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科)如右图所示是某一
容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()
(A)(B)(C)
正视图侧视图
‘
(D)
11.(2008广州二模文、理)已知二次函数fx的图象如图1所示,则其导函数f
象大致形状是()
x的图
8
12.(2009湖南卷文)若函数yf(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数yf(x)...
在区间[a,b]上的图象可能是
()A.B.C.D.a
baba
13.(福建卷11)如果函数yf(x)的图象如右图,那么导
函数yf(x)的图象可能是()
14.(2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么
y=f(x),y=g(x)的图象可能是()
15.(2008珠海一模文、理)设f’(x)是函数f(x)的导函数,将yf(x)和yf’(x)的图
像画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()
9
A.
B.C.D.16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
则()yf(x)的导函数yf(x)的图像如下,
函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
f(x)有2个极大值点,2个极小值点
函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点函数
17.(2008珠海质检理)函数f(x)的定义域为
(a,b),其导函数f(x)在(a,b))
(A).1(B).2(C).3(D).4
118.【湛江市·文】函数f(x)lnxx2的图象大致是2
A.
C.
D.
219.【珠海·文】如图是二次函数f(x)xbxa的部分图
象,则函数g(x)lnxf(x)的零点所在的区间是()
111
422
C.(1,2)D.(2,3)
A.(,)B.(,1)
10
)axbxcx在点x0处取得极大值5
,f’(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所
的值.
1121.已知函数f(x其导函数y示.求:
(Ⅰ)x0的值;(Ⅱ)a,b,c
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