初中升高中的数学衔接资料.docx
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初中升高中的数学衔接资料
第一讲数与式
1.1数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:
正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
a,a0,
|a|0,a0,
a,a0.
绝对值的几何意义:
一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义:
ab表示在数轴上,数a和数b之间的距离.
例1解不等式:
x1x3>4.
解法一:
由x10,得x1;由x30,得x3;①若x1,不等式可变为(x1)(x3)4,即2x4>4,解得x<0,又x<1,∴x<0;②若1x2,不等式可变为(x1)(x3)4,即1>4,∴不存在满足条件的x;③若x3,不等式可变为(x1)(x3)4,即2x4>4,解得x>4.又x≥3,∴x>4.
综上所述,原不等式的解为x<0,或x>4.
解法二:
如图1.1-1,x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x-1|;|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|.
|x-3|
所以,不等式xx3>4的几何意义即为
|PA|+|PB|>4.由|AB|=2,可知
点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.
x<0,或x>4.练习
1.填空:
(1)若x5,则x=_________;若x4,则x=_________.
|x-1|
图1.1-1
(2)如果ab5,且a1,则b=________;若c2,则c=________.
2.选择题:
下列叙述正确的是()
(A)若ab,则ab(B)若ab,则ab
(C)若ab,则ab(D)若ab,则ab
3.化简:
|x-5|-|2x-13|(x>5).
1.1.2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式(ab)(ab)a2b2;
(2)完全平方公式(ab)2a22ab2.b
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式(ab)(a2ab2b)3a;3b
(2)立方差公式(ab)(a2ab2b)3a;3b
(3)三数和平方公式(abc)2a22b2c2(abbc;)a
(4)两数和立方公式(ab)3a33a2b3a2b;3b
(5)两数差立方公式(ab)3a33a2b3a2b.b
对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
例1计算:
(x1)(x1)(x2x1)(x2x1).
解法一:
原式=(x21)(x21)2x2
=(x21)(x4x21)
=x61.
解法二:
原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)
=(x31)(x31)
=x61.
例2已知abc4,abbcac4,求a2b2c2的值.
解:
a2b2c2(abc)22(abbcac)8.
练习
1.填空:
(1)1
9a21
4b2(11
2b3a)();
(2)(4m)216m24m();
(3)(a2bc)2a24b2c2().
2.选择题:
(1)若x21
2mxk是一个完全平方式,则k等于(
(A)m2(B)1
4m2(C)1
3m2(D)12
16m
(2)不论a,b为何实数,a2b22a4b8的值(c))
(A)总是正数(B)总是负数
(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数
1.1.3.二次根式
a0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如
3a
2b
2x
1,x2
y21.分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式
,例如
与
一般
地,
b与b互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,
a0,b0);而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2
aa,a0,a,a0.
例1将下列式子化为最简二次根式:
(1
(2
a0);(3
x0).
解:
(1
(2
a0);
(3
2x2xx0).
例2
(3.
=解法一:
(3
)393
解法二:
(3)
=
1.2
例3
试比较下列各组数的大小:
(1
(2解:
(1
,
11
1,
10
1又4>2,
6+46+
2,
.
例4
化简:
2004
2005.
(2
)∵解:
2004
2005
=
2004
2004
=
=12004
2004
例5化简:
(1
;(2解:
(1)原式x1).
2
2.
(2)原式
x1
x,
∵0x1,1
x1x,
所以,原式=1
xx.
例6
已知xy3x25xy3y2的值.
解:
∵xy2210,
xy1,
∴3x25xy3y23(xy)211xy310211289.练习
1.填空:
(1
=_____;
(2
(xx的取值范围是;
(3
)_____;
(4
)若x
22.选择题:
成立的条件是(
(A)x2(B)x0(C)x2(D)0x2
3
.若b,求ab的值.
4.比较大小:
24(填“>”,或“<”).
)
1.1.4.分式
1.分式的意义形如
分式AA的式子,若B中含有字母,且B0,则称为分式.当M≠0时,BBA具有下列性质:
B
AAM;BBM
AAM.BBM
上述性质被称为分式的基本性质.
2.繁分式a
mnp像,这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.cd
np
5x4AB例1若,求常数A,B的值.x(x2)xx2
ABA(x2)Bx(AB)x2A5x4解:
,xx2x(x2)x(x2)x(x2)
AB5,∴2A4,
解得A2,B3.
111例2
(1)试证:
(其中n是正整数);n(n1)nn1
111
(2)计算:
;1223910
1111.(3)证明:
对任意大于1的正整数n,有2334n(n1)2
11(n1)n1
(1)证明:
,nn1n(n1)n(n1)
111(其中n是正整数)成立.n(n1)nn1
(2)解:
由
(1)可知
1111223910
11111()
(1))223910
1110
=9
10.
(3)证明:
1
2311
34n(n1)
=(111111
23)(34)(nn1)
=11
2n1,
又n≥2,且n是正整数,1
n+1一定为正数,
11112334n(n1)<2.
例3设ec
a,且e>1,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.
解:
在2c2-5ac+2a2=0两边同除以a2,得2e2-5e+2=0,
∴(2e-1)(e-2)=0,
∴e=12<1,舍去;或e=2.
∴e=2.
练习
1.填空题:
对任意的正整数n,1
n(n2)(11
nn2);
2.选择题:
若2xy
xy2
3,则x
y=
(A)1(B)5
4(C)46
5(D)5
3.正数x,y满足x2y22xy,求xy
xy的值.
4.计算111
122334...1
99100.
习题1.1
A组
1.解不等式:
(1)x3;
(2)x3x27;)(
(3)xx16.
2.已知xy1,求x3y33xy的值.
3.填空:
(1
)(218(219=________;
(2
2,则a的取值范围是________;
(3
________.B组
1.填空:
113a2ab;
(1)a,b,则2233a5ab2b2
x23xyy2
22
(2)若xxy2y0,则;22xy
2.已知:
x11,y
的值.23C组
则()1.选择题:
(1)
(A)ab(B)ab(C)ab0(D)ba0
()(A
(B
(C
)(D
)1122.解方程2(x2)3(x)10.xx
11113.计算:
.132435911
11114.试证:
对任意的正整数n,有<.123234n(n1)(n2)4(2
)计算
1.2分解因式
因式分解的主要方法有:
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1分解因式:
(1)x2-3x+2;
(2)x2+4x-12;
(3)x2(ab)xyaby2;(4)xy1xy.
解:
(1)如图1.2-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是x2-3x+2中的一次项,所以,有
x2-3x+2=(x-1)(x-2).
1xx1-1-2-ay-1
1xx16-2-by-2图1.2-3图1.2-1图1.2-4图1.2-2
说明:
今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.2-1中的两个x用1来表示(如图1.2-2所示).
(2)由图1.2-3,得
x2+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)由图1.2-4,得
x2(ab)xyaby2=(xay)(xb
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